3.1.1 第2课时 基本计数原理的应用(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学生用书（人教B版）

第2课时　基本计数原理的应用 【学习目标】 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理; 2.能根据具体问题的特征,选择两种计数原理解决一些实际问题. ◆ 知识点　两个计数原理的联系与区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类完成,类类相加 分步完成,步步相乘 每类办法中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事 注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,步骤完整 ◆ 探究点一　组数问题 例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个数字不重复的三位数? (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数? (3)可以组成多少个数字不重复的三位奇数? (4)可以组成多少个数字不重复且小于1000的自然数? (5)可以组成多少个大于3000,小于5421且数字不重复的四位数? 变式 (多选题)[2026·辽宁丹东高二期末] 下列说法正确的是 (　 ) A.由数字1,2,3,4能够组成24个没有重复数字的三位数 B.由数字1,2,3,4能够组成16个没有重复数字的三位偶数 C.由数字1,2,3,4能够组成64个三位密码 D.由数字1,2,3,4能够组成28个比320大的三位数 [素养小结] (1)关于组数问题,一般要遵循特殊优先的原则,即特殊位置优先或特殊元素优先.特殊位置如首位或末尾,特殊元素如0、奇数、偶数等,两种特殊择其一即可. (2)解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘. ◆ 探究点二　抽取与分配问题 例2 (1)某公司新聘用8名员工,平均分给甲、乙两个部门,其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门,3名电脑编程人员也不能分给同一个部门,则不同的分配方法共有 (　 ) A.18种 B.24种 C.36种 D.72种 (2)[2025·福建泉州高二期中] 设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入这五个盒子内,要求每个盒子内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则这样的投放方法的种数为　　　　.  变式 [2025·湖北武汉高二期末] 有四对双胞胎共8人,从中随机选出4人,则其中恰有一对双胞胎的选法种数为 (　 ) A.40 B.48 C.52 D.60 [素养小结] 求解抽取(分配)问题的方法: (1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接法,直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理;②间接法,去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. ◆ 探究点三　涂色问题 [探索] (1)涂色问题的基本要求是什么? (2)怎样解决涂色问题? 例3 [2026·辽宁锦州高二期末] 在如图所示的五块土地上种植四种庄稼,有五种庄稼秧苗可供选择,要求相邻的土地不种同一种庄稼,则不同的种植方法共有 (　 ) A.240种 B.300种 C.360种 D.420种 变式 (1)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形,使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则不同的涂法种数为(　 ) A.18 B.36 C.54 D.108 (2)如图,在四棱锥P-ABCD中,给5个顶点安装彩色灯泡,要求相邻顶点的灯泡不能使用同一颜色,有4种不同颜色的灯泡可供选择,则不同的安装方法共有　　　　种.  [素养小结] 涂色与种植问题是考查计数方法的一种常见问题,由于这类问题常常涉及分类与分步,所以在高考题中经常出现,处理这类问题的关键是要找准分类标准,求解涂色与种植问题一般是直接利用两个计数原理求解,常用的方法有: (1)按区域的不同以区域为主分步计数,并用分步乘法计数原理计算. (2)以颜色(种植作物)为主的分类讨论法,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理计算. (3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题. (4)对于不相邻的区域,常分为同色和不同色两类,这是常用的分类标准. (5)对于相邻不同色的记忆口诀“相邻则递减,不相邻则分类”. 1.用0~9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数为 (　 ) A.480 B.504 C.648 D.720 2.如图,用4种不同的颜色对A,B,C,D四个区域涂色,要求相邻的两个区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方法有 (　 ) A.8种 B.16种 C.24种 D.48种 3.设集合I={1,2,3,4,5},选择集合I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有 (　 ) A.50种 B.49种 C.48种 D.47种 4.(多选题)[2026·长春高二期末] 高二年级安排甲、乙、丙三名学生到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动,每名学生只能选择一个社区,且多个学生可以选择同一个社区,则下列说法正确的有 (　 ) A.所有可能的安排方法共有35种 B.如果社区A必须有学生选择,则不同的安排方法有61种 C.如果学生甲必须选择社区A,则不同的安排方法有25种 D.如果甲、乙两名学生必须在同一个社区,则不同的安排方法有20种 5.假如某人有壹元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张,要支付贰佰壹拾贰元的货款,则有　　　　种不同的支付方式.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　基本计数原理的应用 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)若组成数字不重复的三位数,则百位上的数不为0,个位和十位上的数不重复且与百位上的数不相同,所以数字不重复的三位数的个数为5×5×4=100. (2)若组成数字允许重复的三位数,则百位上的数不为0,个位和十位上的数无限制,所以数字允许重复的三位数的个数为5×62=180. (3)先选个位上的数,由于组成的是三位奇数,因此有3种选法; 再选百位上的数,有4种选法;十位上的数也有4种选法. 由分步乘法计数原理知,所求三位数共有3×4×4=48(个). (4)分以下三类: ①自然数为一位数,有6个; ②自然数为两位数,则十位上的数不能为0,个位上的数无限制,有5×5=25(个); ③自然数为三位数,由(1)知有100个. 综上所述,数字不重复且小于1000的自然数的个数为6+25+100=131. (5)分以下四类: ①千位上的数为3或4时,个位、十位、百位上的数不重复且与千位上的数不相同,此时有2×5×4×3=120(个); ②千位上的数为5,百位上的数为0,1,2或3时,有4×4×3=48(个); ③千位上的数为5,百位上的数是4,十位上的数为0或1时,有2×3=6(个); ④5420也满足条件. 综上可得,所求的四位数共有120+48+6+1=175(个). 变式　ACD　[解析] 由数字1,2,3,4能够组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2=24,故A正确;若三位数是偶数,则个位可以是2或4,则共有2×3×2=12(个)没有重复数字的三位偶数,故B错误;由数字1,2,3,4能够组成三位密码的个数为4×4×4=64,故C正确;若百位是4,则有4×4=16(个)比320大的三位数,若百位是3,则有3×4=12(个)比320大的三位数,则比320大的三位数有16+12=28(个),故D正确.故选ACD. 探究点二 例2　(1)C　(2)45　[解析] (1)可以分为两类:第一类,甲部门分2名电脑编程人员,则有3种分配方法,翻译人员的分配方法有2种,再从剩下的3人中选1人,有3种方法,则共有3×2×3=18(种)不同的分配方法;第二类,甲部门分1名电脑编程人员,则有3种分配方法,翻译人员的分配方法有2种,再从剩下的3人中选2人,有3种方法,则共有3×2×3=18(种)不同的分配方法.由分类加法计数原理可得,不同的分配方法共有18+18=36(种).故选C. (2)先选出1个小球,放到对应序号的盒子里,有5种选法,例如:5号球放在5号盒子里,其余四个球的放法有(2,1,4,3),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(3,1,4,2),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,3,1,2),(4,3,2,1),共9种,故符合题意的投放方法的种数为5×9=45. 变式　B　[解析] 先从四对双胞胎中选出一对,有4种选法;然后从剩下的六个人中选出两个人,且不能是同一对双胞胎,即从三对双胞胎中选出两对,再从每对中选出一个人,共有3×2×2=12(种)选法.根据分步乘法计数原理,共有4×12=48(种)选法.故选B. 探究点三 探索 解:(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,一般情况下,不相邻的区域可以同色. (2)首先要关注图形的结构特征,如果图形不规则,那么要从某一块出发进行分步涂色,从而选用分步乘法计数原理,如果图形具有一定的对称性,那么就要先对涂色方案进行分类,每一类再进行分步;其次要注意前一步的涂色对下一步的涂色方法数有无影响,无影响直接分步,有影响则要分类.涂色问题往往涉及两个计数原理的综合应用,因此,要找准分类标准,在兼顾条件的情况下分步涂色. 例3　A　[解析] 根据题意,五块土地上种植四种庄稼,先选出4种庄稼,共有5种选择;1,5种植相同庄稼或2,4种植相同庄稼,共有2×(4×3×2×1)=48(种)种植方法.根据分步乘法计数原理,共有5×48=240(种)种植方法.故选A. 变式　(1)D　(2)72　[解析] (1)把小正方形分成三部分:第一部分为1,5,9,有3种涂法.第二部分为4,7,8.当5,7同色时,4,8各有2种涂法;当5,7异色时,7有2种涂法,4,8均只有1种涂法.故第二部分共有2×2+2×1=6(种)涂法.第三部分为2,3,6,与第二部分一样,共有6种涂法.根据分步乘法计数原理可得,共有3×6×6=108(种)不同的涂法.故选D. (2)若A,C使用同一颜色的灯泡,则由分步乘法计数原理可知有4×3×2×2=48(种)不同的安装方法;若A,C不使用同一颜色的灯泡,则由分步乘法计数原理可知有4×3×2×1×1=24(种)不同的安装方法.由分类加法计数原理可得共有48+24=72(种)不同的安装方法. 【课堂评价】 1.C　[解析] 百位数字不为0,有9种选法,十位数字有9种选法,个位数字有8种选法,所以可以组成9×9×8=648(个)没有重复数字的三位数.故选C. 2.D　[解析] 对于区域A有4种涂色方法,对于区域B有3种涂色方法,对于区域C有2种涂色方法,对于区域D有2种涂色方法,由分步乘法计数原理可得有4×3×2×2=48(种)不同的涂色方法.故选D. 3.B　[解析] 由A中的最大数进行分类:①若A中的最大数为1,则A={1},则B是集合{2,3,4,5}的非空子集,有24-1=15(种)选择方法,所以此时有1×15=15(种)选择方法;②若A中的最大数为2,则A有2种选择方法,则B是集合{3,4,5}的非空子集,有23-1=7(种)选择方法,所以此时有2×7=14(种)选择方法;③若A中的最大数为3,则A有4种选择方法,则B是集合{4,5}的非空子集,有22-1=3(种)选择方法,所以此时有4×3=12(种)选择方法;④若A中的最大数为4,则A有8种选择方法,则B是集合{5}的非空子集,有1种选择方法,所以此时有8×1=8(种)选择方法.综上可得,不同的选择方法共有15+14+12+8=49(种).故选B. 4.BC　[解析] 对于A,所有可能的安排方法共有5×5×5=53(种),故A错误;对于B,如果社区A必须有学生选择,则不同的安排方法有53-43=61(种),故B正确;对于C,如果学生甲必须选择社区A,则不同的安排方法有52=25(种),故C正确;对于D,如果甲、乙两名学生必须在同一个社区,则不同的安排方法有5×5=25(种),故D错误.故选BC. 5.3　[解析] 2元的支付方式只有1+1,共1种,200元的支付方式有2×100或者100+2×50或者100+50+2×20+10,共3种,10元的支付只能用1张10元,所以共有1×3×1=3(种)不同的支付方式. 学科网（北京）股份有限公司 $