3.1.2 第2课时 排列数的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

第2课时　排列数的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 　[课时目标]　进一步加深对排列概念的理解，掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. 题型(一)　排列数的简单应用 [例1]　现有红、黄、蓝3种颜色的旗子各一面，如果用它们其中的若干面挂在一个旗杆上发出信号，那么一共可以组成多少种信号? 解:由已知可知需分3类:第1类，用1面旗表示的信号有种；第2类，用2面旗表示的信号有种；第3类，用3面旗表示的信号有种，由分类加法计数原理，知所求的信号种数是++=3+3×2+3×2×1=15，即一共可以表示15种不同的信号. |思|维|建|模| 　　对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法.若情况较多，可以分类后进行计算. 　　[针对训练] 1.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从2，3，4，5，6，9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 (　　) A.120个 B.80个 C.40个 D.20个 解析:选C　由题意知可按十位数字的取值进行分类:第一类，十位数字取9，有个；第二类，十位数字取6，有个；第三类，十位数字取5，有个；第四类，十位数字取4，有个.所以“伞数”的个数为+++=40. 2.一条直线的方程是Ax+By=0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A，B的值，则所得不同直线的条数是 (　　) A.20 B.19 C.18 D.16 解析:选C　因为从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A，B的值有=20种结果，在这些直线中有重复的直线，当A=1，B=2和A=2，B=4时，结果相同，把A，B交换位置又有一组相同的结果，所以所得不同直线的条数是20-2=18. 题型(二)　元素的“在”与“不在”问题 [例2]　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. (1)甲不在首位的排法有多少种? (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种? (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种? (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种? 解:(1)法一:把元素作为研究对象 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的6名同学中选出5名放在5个位置上，有种排法； 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，有4×种排法. 由分类加法计数原理知，共有+4×=2 160(种)排法. 法二:把位置作为研究对象 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种排法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种排法. 由分步乘法计数原理知，共有·=2 160(种)排法. 法三:间接法　先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种， 所以符合要求的排法有-=2 160(种). (2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有·=1 800(种)排法. (3)把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有·=1 200(种)排法. (4)总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法，所以共有-2+=1 860(种)排法. |思|维|建|模| 　　解决排列应用题，常用的方法有直接法和间接法.排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”. [针对训练] 3.从六人(含甲)中选四人完成四项不同的工作(含翻译)，则甲被选中且甲不参加翻译工作的不同选法共有 (　　) A.120种 B.150种 C.180种 D.210种 解析:选C　依题意可得，甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项，有3种选法，再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作，有=60种选法，所以满足条件的不同选法共有3=180种. 4.要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100 m接力赛，其中已确定1人跑第1棒或第4棒，另有2人只能跑第2，3棒，还有1人不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为 (　　) A.56 B.60 C.84 D.120 解析:选B　由题设六人中确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒，当甲跑第1棒时，乙、丙均不参与则有=6种，乙、丙至少有一人参与则有+2=6+24=30种；当甲跑第4棒时，乙、丙均不参与则有=4种，乙、丙至少有一人参与则有+2=4+16=20种.故合适的选择方法种数为6+30+4+20=60. 题型(三)　“相邻”与“不相邻”问题 [例3]　现有4名男生和3名女生相约一起去看电影，他们的座位在同一排且连在一起.(列出算式，并计算出结果) (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种? (2)女生互不相邻的坐法有多少种? (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种? 解:(1)根据题意，先将3个女生排在一起，有=6种排法， 将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有=120种排法， 由分步乘法计数原理知，共有6×120=720种排法. (2)根据题意，先将4个男生排好，有=24种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有=60种方法， 故符合条件的排法共有24×60=1 440种. (3)根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有=24种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有=2种排法， 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空位中有=20种排法，故符合条件的排法共有24×2×20=960种. |思|维|建|模| 　　处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 　　[针对训练] 5.某次运动会火炬需在某城市传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有 (　　) A.288种 B.360种 C.480种 D.504种 解析:选C　先安排甲、乙以外的4个人，然后插空安排甲、乙两人，所以不同的传递方案共有=480种. 6.某班上午有5节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各1节课，要求语文与化学相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是 (　　) A.36 B.24 C.18 D.12 解析:选A　将语文和化学捆绑，与英语、物理全排列有种排法，数学不排在第一节课，将数学插空有3种排法，由分步乘法计数原理可得不同的排课法的种数是×3=36，故选A. 题型(四)　定序问题 [例4]　某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相. (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种? (2)3位老者与2位年轻人都要分别按从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种? 解:(1)5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有=20(种). (2)5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序已定，2位年轻人的排列顺序已定，所以出场顺序有=10(种). |思|维|建|模| 　　在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个: (1)整体法:若有(m+n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m+n)个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法. (2)插空法:m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中. [针对训练] 7.某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为 (　　) A.20 B.120 C.360 D.720 解析:选B　因为甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，所以不同的上台顺序种数为=120. 8.六名同学站一排照相，要求A，B，C三人按从左到右的顺序站，可以不相邻，也可以相邻，则不同的排法共有 (　　) A.720种 B.360种 C.120种 D.90种 解析:选C　根据题意，六名同学并排站成一排，有种情况，其中A，B，C三人顺序固定，按从左到右的顺序站，则不同的排法数为==6×5×4=120. 学科网（北京）股份有限公司 $