3.1.1 第1课时 两个基本计数原理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

　排列、组合与二项式定理 3.1　排列与组合 3.1.1　基本计数原理 第1课时　两个基本计数原理 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　[课时目标]　理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 逐点清(一)　分类加法计数原理 [多维理解] 完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. |微|点|助|解| (1)完成这件事的若干种方法可以分成n类，每类方法都可以完成这件事，且类与类之间两两不交，分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”. (2)利用分类加法计数原理计数时的解题思路. [微点练明] 1.解一道数学题有三种方法，有3个人只会用第一种方法解答，有4个人只会用第二种方法解答，有3个人只会用第三种方法解答，从这10个人中选一个人解答这道题目，则所有不同的选法有 (　　) A.20种 B.10种 C.21种 D.36种 解析:选B　根据分类加法计数原理可得，不同的选法共有3+4+3=10(种). 2.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 (　　) A.26 B.24 C.20 D.19 解析:选D　由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3，4，6，6，由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 3.从集合{3，5，7，9，11}任取两个数作为a，b，可以得到不同的焦点在x轴上的椭圆方程+=1的个数为 (　　) A.25 B.20 C.10 D.16 解析:选C　焦点在x轴上的椭圆方程中，必有a>b，则a可取5，7，9，11，共4个可能，b可取3，5，7，9，共4个可能，若a=5，则b=3，1个椭圆；若a=7，则b=3，5，2个椭圆；若a=9，则b=3，5，7，3个椭圆；若a=11，则b=3，5，7，9，4个椭圆，所以共有1+2+3+4=10个椭圆. 4.某高中为高一学生提供四门课外选修课:数学史、物理模型化思维、英语经典阅读、《红楼梦》人物角色分析.要求每个学生选且只能选一门课程.若甲只选英语经典阅读，乙只选数学史或物理模型化思维，学生丙、丁任意选，这四名学生选择后，恰好选了其中三门课程，则他们选课方式的可能情况有　　　　种.  解析:若乙选数学史:丙若选数学史，则丁有2种选法；丙若选物理模型化思维，则丁有3种选法；丙若选英语经典阅读，则丁有2种选法；丙若选《红楼梦》人物角色分析，则丁有3种选法，共10种，若乙选物理模型化思维，同理有10种.故共有20种. 答案:20 逐点清(二)　分步乘法计数原理 [多维理解] 完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. |微|点|助|解| (1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可. (2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路 ①分步:将完成这件事的过程分成若干步； ②计数:求出每一步中的方法数； ③结论:将每一步中的方法数相乘得最终结果. [微点练明] 1.[多选]下列结论正确的是 (　　) A.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 B.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 C.在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成 D.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同 答案:BC 2.某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生和女生各1名去参加座谈会，则不同的选法有 (　　) A.48种 B.24种 C.14种 D.12种 解析:选A　按照男生和女生分步完成，第一步:先选男生有8种方法；第二步:选女生有6种方法；完成这个事件的选法有8×6=48种. 3.已知x∈{2，3，7}，y∈{-3，-4，8}，则xy可表示不同的值的个数为 (　　) A.8 B.12 C.10 D.9 解析:选D　因为从集合{2，3，7}中任取一个值共有3种情况，从集合{-3，-4，8}中任取一个值共有3种情况，故xy可表示3×3=9个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同，所以xy可表示不同的值有9个. 4.有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，则不同的报名方法有 (　　) A.81种 B.64种 C.24种 D.4种 解析:选A　根据题意可知，需分四步进行，每一步中每名同学都有数学、物理、化学三种科目可报，所以共有3×3×3×3=34=81种. 逐点清(三)　两个原理的简单应用 [典例]　口袋中装有8个白球和10个红球，每个球有不同编号，现从中取出2个球. (1)至少有一个白球的取法有多少种? (2)两球的颜色相同的取法有多少种? 解:(1)根据题意分2类完成任务: 第一类:白球、红球各一个，有8×10=80种， 第二类:均为白球，有×(8×7)=28种， 所以共有80+28=108种. (2)根据题意分2类完成任务: 第一类:均为白球，有×(8×7)=28种， 第二类:均为红球，有×(10×9)=45种， 所以共有28+45=73种. |思|维|建|模| (1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰. 　 　[针对训练] 为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数有多少? 解:依题意可分为两种情况，一种是参加乐器培训的是女生，则参加舞蹈和演唱培训的都是1名男生和1名女生，共有3×2×2=12种方案； 另一种是参加乐器培训的是男生，则参加舞蹈培训的有1名女生和1名男生或者是2名女生，剩下的2人参加演唱培训，共有2×(3+3)=12种方案， 根据分类加法计数原理知共有12+12=24种. 学科网（北京）股份有限公司 $