3.1.1 第1课时 基本计数原理(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学生用书（人教B版）

3.1　排列与组合 3.1.1　基本计数原理 第1课时　基本计数原理 【学习目标】 1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义; 2.正确理解“完成一件事”的含义,能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”; 3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题. ◆ 知识点一　分类加法计数原理 定义:完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=　　　　　　　　种不同的方法.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同办法中的方法可以相同. (　 ) (2)在分类加法计数原理中,每类办法中的方法都能独立完成这件事. (　 ) (3)从甲地到乙地乘坐公交车有3个班次,乘坐动车有2个班次,则从甲地到乙地共有6种方法. (　 ) ◆ 知识点二　分步乘法计数原理 定义:完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=　　　　　　　　种不同的方法.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分步乘法计数原理中,任何一个单独的步骤都能完成这件事. (　 ) (2)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. (　 ) (3)从甲地到乙地有3条路线,从乙地到丙地有2条路线,则从甲地经乙地到丙地共有6条路线. (　 ) 2.完成一件事时,如何区分是分类还是分步? ◆ 探究点一　分类加法计数原理 例1 (1)有三个袋子,分别装有不同编号的红色小球3个,白色小球4个,黄色小球2个.若从三个袋子中任取1个小球,则不同的取法有 (　 ) A.5种 B.10种 C.9种 D.24种 (2)如果x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的不同的有序数对(x,y)的个数是 (　 ) A.15 B.12 C.5 D.4 变式 (1)若例1(1)中从三个袋子中任取2个颜色相同的小球,则不同的取法有　　　　种.  (2)要用红色、黄色、蓝色填涂四个格子(如图所示),要求红色用两次,共有　　　　种不同的填涂方法.  [素养小结] (1)分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键对象、关键位置,恰当地选择一个分类标准. (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复. (3)分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏. ◆ 探究点二　分步乘法计数原理的应用 例2 [2026·郑州高二月考] 有三件不同颜色的上衣以及两条不同颜色的裤子,如果一件上衣和一条裤子配成一套,则不同的搭配种数为(　 ) A.5 B.6 C.8 D.9 变式 [2026·兰州高二期末] 甲、乙、丙、丁四名同学可以随机地选修音乐、美术、体育中任何一门课程,则不同的选课方案有 (　 ) A.24种 B.36种 C.64种 D.81种 [素养小结] (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成. (2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成. ◆ 探究点三　两个计数原理的简单应用 例3 某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语.从中选出会英语和会日语的各1人,有　　　　种不同的选法.  变式 (1)将2个相同的红球和2个相同的黑球放入2个不同的盒子中,每个盒子中至少放1个球,则不同的放法有 (　 ) A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 (2)如图,一条电路从A处到B处接通时,可以有　　　　条不同的线路(每条线路仅含一条通路).  [素养小结] (1)运用两个计数原理的关键在于正确区分“分类”与“分步”.“分类”需确定好分类标准,做到“不重不漏”;“分步”需明确完成事件的步骤. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰. 1.某班同学报名参加学校的艺术节,报名舞蹈表演的同学有3人,报名小品表演的同学有4人,有2名同学两项表演都进行了报名,若要从报名的同学中选出1人,则不同的选法种数为 (　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.从A地到B地可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内乘坐这三种交通工具不同的走法种数为 (　 ) A.3 B.9 C.24 D.25 3.已知集合M={1,-2,3},N={-3,5,6,-4},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数为 (　 ) A.2 B.4 C.5 D.6 4.设椭圆+=1(a>0,b>0)的焦点在y轴上,其中a∈{1,2,3,4,5},b={1,2,3,4,5,6,7},则满足上述条件的椭圆个数为　　　　.  5.将三个分别标有A,B,C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.若1号盒中无球,则不同的放法种数为　　　　;若1号盒中有球,则不同的放法种数为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1　排列与组合 3.1.1　基本计数原理 第1课时　基本计数原理 【课前预习】 知识点一 m1+m2+…+mn 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)在分类加法计数原理中,n类不同办法中的方法是不同的. (2)在分类加法计数原理中,每类办法中的每个方法都能独立完成这件事. (3)根据分类加法计数原理可知从甲地到乙地共有5种方法. 知识点二 m1×m2×…×mn 诊断分析 1.(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)在分步乘法计数原理中,任何一个单独的步骤都不能独立完成这件事. (2)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. (3)根据分步乘法计数原理可知从甲地经乙地到丙地共有3×2=6(条)路线. 2.解:“分类”与“分步”的区别:①“分类”中,每种方法都能完成这件事,而“分步”中,每一步得到的只能是中间结果,缺少任何一个步骤都不能完成这件事. ②“分类”中,各个类别之间是独立的,而“分步”中,各步之间是关联的. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)C　(2)A　[解析] (1)第一类,从第一个袋子中任取1个红色小球,有3种不同的取法;第二类,从第二个袋子中任取1个白色小球,有4种不同的取法;第三类,从第三个袋子中任取1个黄色小球,有2种不同的取法.根据分类加法计数原理,不同的取法共有3+4+2=9(种).故选C. (2)当x=1时,y=0,1,2,3,4,5,有6个满足题意的有序数对;当x=2时,y=0,1,2,3,4,有5个满足题意的有序数对;当x=3时,y=0,1,2,3,有4个满足题意的有序数对.根据分类加法计数原理,不同的有序数对共有6+5+4=15(个).故选A. 变式　(1)10　(2)12　[解析] (1)第一类,从第一个袋子中任取2个红色小球,有3种不同的取法;第二类,从第二个袋子中任取2个白色小球,有6种不同的取法;第三类,从第三个袋子中任取2个黄色小球,有1种不同的取法.根据分类加法计数原理,不同的取法共有3+6+1=10(种). (2)若两个红色格子相邻,则有6种不同的填涂方法;若两个红色格子不相邻,则有6种不同的填涂方法.由分类加法计数原理可知共有6+6=12(种)不同的填涂方法. 探究点二 例2　B　[解析] 先选上衣,有3种选法,再选裤子,有2种选法,根据分步乘法计数原理得,不同的搭配种数为3×2=6.故选B. 变式　D　[解析] 甲、乙、丙、丁四名同学每人均有3种选课方法,根据分步乘法计数原理得,不同的选课方案有34=81(种).故选D. 探究点三 例3　20　[解析] 由题意得,既会英语又会日语的有1人,6人只会英语,2人只会日语.第一类:从只会英语的6人中选会英语的1人,有6种选法,此时选会日语的1人有3种选法,由分步乘法计数原理可得有6×3=18(种)不同的选法.第二类:从既会英语又会日语的1人中选会英语的1人,有1种选法,此时从只会日语的2人中选会日语的1人,有2种选法,由分步乘法计数原理可得有1×2=2(种)不同的选法.由分类加法计数原理可知,不同的选法共有18+2=20(种). 变式　(1)C　(2)9　[解析] (1)分两类:第一类,每个盒子放2个球,不同的放法有3种;第二类,一个盒子放1个球,另一个盒子放3个球,不同的放法有2×2=4(种).由分类加法计数原理可得,不同的放法有3+4=7(种).故选C. (2)依题意按上、中、下可分为三类,上的线路有2条,中的线路有1条,下的线路有2×3=6(条).根据分类加法计数原理,共有2+1+6=9(条)线路. 【课堂评价】 1.A　[解析] 由题意只报名一项的同学有3人,两项都报名的同学有2人.从只报名一项的同学中选一人有3种选法,从两项都报名的同学中选一人有2种选法,根据分类加法计数原理,共有3+2=5(种)不同的选法.故选A. 2.B　[解析] 分三类:第一类,乘汽车,从3次中选1次,有3种走法;第二类,乘火车,从4次中选1次,有4种走法;第三类,乘轮船,从2次中选1次,有2种走法.由分类加法计数原理可知,共有3+4+2=9(种)不同的走法.故选B. 3.D　[解析] 第二象限的横坐标是负数,纵坐标是正数.若集合M提供横坐标,集合N提供纵坐标,则有1×2=2(个)点;若集合M提供纵坐标,集合N提供横坐标,则有2×2=4(个)点.综上,共有2+4=6(个)符合题意的点.故选D. 4.20　[解析] 因为椭圆的焦点在y轴上,所以a<b.当a=1时,b=2,3,4,5,6,7,有6个满足题意的椭圆;当a=2时,b=3,4,5,6,7,有5个满足题意的椭圆;当a=3时,b=4,5,6,7,有4个满足题意的椭圆;当a=4时,b=5,6,7,有3个满足题意的椭圆;当a=5时,b=6,7,有2个满足题意的椭圆.由分类加法计数原理得,共有6+5+4+3+2=20(个)满足题意的椭圆. 5.27　37　[解析] 1号盒中无球,即A,B,C三个球只能放入2,3,4号盒子中,有3×3×3=27(种)放法.1号盒中有球可分三类:第一类,1号盒中有一个球,有3×3×3=27(种)放法;第二类,1号盒中有两个球,有3×3=9(种)放法;第三类,1号盒中有三个球,有1种放法.故若1号盒中有球,则不同的放法共有27+9+1=37(种). 学科网（北京）股份有限公司 $