3.1.1 第2课时 两个计数原理的应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

第2课时　两个计数原理的应用 知识层面 1.进一步理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．　2.会用这两个计数原理分析和解决一些较为复杂的实际计数问题. 素养层面 通过解决一些较为复杂的实际计数问题，继续提升逻辑推理、数学建模及数学运算素养. 1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有(　　) A．21种　　　　　　　　 B．315种 C．143种 D．153种 答案：C 解析：可分三类．一类：语文、数学各1本，共有9×7＝63(种)；二类：语文、英语各1本，共有9×5＝45(种)；三类：数学、英语各1本，共有7×5＝35(种)，所以共有63＋45＋35＝143(种)不同选法．故选C． 2．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　 ) A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 答案：D 解析：可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法． 3．小张正在玩一款“种菜”的游戏，他计划从仓库里的豆角、白菜、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种． 答案：48 解析：当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24种不同的种法，故共有48种不同的种植方案． 4．如图所示，从点A沿圆或三角形的边运动到点C，则不同的走法有________种． 答案：6 解析：由A直接到C有2种不同的走法，由A经点B到C有2×2＝4种不同的走法．因此由分类加法计数原理共有2＋4＝6种不同走法． 题型一　两个计数原理在排数中的应用 例1　从0，1，2，3，4，5这六个数字中取四个数字组成一个无重复数字四位数，问： (1)能组成多少个四位数？ (2)能被5整除的四位数有多少个？ [思路点拨]　(1)要完成的一件事是组成四位数，所以首位数字不能是0；(2)要使所组成的四位数能被5整除，则末位数字必须是0和5中的一个． 解：(1)第一步，千位上的数不能取0，只能取1，2，3，4，5，有5种选择； 第二步，由于千位取了一个数，还剩下5个数供百位取，所以有5种选择； 第三步，由于千位、百位分别取了一个数，还剩下4个数供十位取，所以有4种选择； 第四步，由于千位、百位、十位分别取了一个数，还剩下3个数供个位取，所以有3种选择． 根据分步乘法计数原理，组成的四位数共有5×5×4×3＝300(个)． (2)因为满足要求的四位数能被5整除，所以个位上的数字只能是0或5. 第一类，当个位上的数字为0时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有5种选择、4种选择、3种选择，所以有5×4×3＝60个满足要求的四位数； 第二类，当个位数字为5时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有4种选择、4种选择、3种选择，所以有4×4×3＝48个满足要求的四位数． 根据分类加法计数原理，能被5整除的四位数共有60＋48＝108(个)． 对点练1.用0，1，2，3，…，9十个数字可组成不同的： (1)三位数________个； (2)无重复数字的三位数________个； (3)小于500且无重复数字的三位奇数________个． 答案：(1)900　(2)648　(3)144 解：(1)由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个)． (2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648个无重复数字的三位数． (3)小于500且无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：百位只能从1，2，3，4中选，个位必须为奇数，按百位分两类： 第一类，百位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，所以共有(4×8)×2＝64个． 第二类，百位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，所以共有(5×8)×2＝80个， 由分类加法计数原理知，共有64＋80＝144个． 题型二　两个计数原理在涂色和种植问题中的应用 例2　如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则有多少种不同的涂法？ 解：方法一：第一步，先对区域A涂色，有6种涂色方法；第二步，区域B的涂色方法有5种；第三步，区域C的涂色方法有4种；第四步，给区域D涂色，需分两种情况：(1)若区域D，A同色，则有1种涂色方法；(2)若区域D，A不同色，则有3种涂色方法．故给区域D涂色的方法有1＋3＝4(种)．依据分步乘法计数原理，可得不同的涂法有6×5×4×4＝480(种)． 方法二：第一类，用4种颜色进行涂色，从区域A开始进行涂色，区域A，B，C，D的涂色方法分别有6，5，4，3种，依据分步乘法计数原理可得，当用4种颜色进行涂色时，有6×5×4×3＝360(种)涂色方法；第二类，用3种颜色进行涂色，则区域A与区域D所涂颜色必定相同，从区域A开始进行涂色，区域A，B，C的涂色方法分别有6，5，4种，依据分步乘法计数原理可得，当用3种颜色进行涂色时，有6×5×4＝120(种)涂色方法．依据分类加法计数原理，可得总共有360＋120＝480(种)涂色方法． 学生用书↓第7页 求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有： 1．按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； 2．以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析； 3．对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题． 对点练2.(1)如图①所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有________种不同的涂法． (2)如图②所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为________． 答案：(1)18　(2)420 解析：(1)①若A，C涂色相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，2，则有3×2×1×2＝12种不同的涂法． ②若A，C涂色不相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，1，则有3×2×1×1＝6种不同的涂法． 所以，根据分类加法计数原理，共有12＋6＝18种不同的涂法． (2)按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180种不同的染色方法．第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240种不同的染色方法．根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420种不同的染色方法． 题型三　两个原理在抽取(分配)问题中的应用 例3　在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋．现在从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ [思路点拨]　本题应先分类，再分步． 解：方法一：分四类：第一类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有选法3×2＝6(种)； 第二类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有选法3×2＝6(种)； 第三类，从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有选法2×2＝4(种)； 第四类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛，有选法2×1＝2(种)． 故不同的选法共有6＋6＋4＋2＝18(种)． 方法二：分两类：第一类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，这时7人中还有4人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛．有选法3×4＝12(种)． 第二类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选一名参加象棋比赛，这时7人中还有3人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛．有选法2×3＝6(种)．故不同的选法共有12＋6＝18(种)． 求解抽取(分配)问题的方法 1．当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法； 2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 学生用书↓第8页 对点练3.有A，B，C型号的高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？ 解：第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4(种)方法；第二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第三类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．依据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8(种)选派方法． 易错点　分类计数时考虑不全致误 有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？ [易错分析]　每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同，易忽略这点致误． [误区警示]　审题时要细致，把题意弄清楚．本题中没有规定升起旗子的颜色不同，故既要考虑升起旗子的面数，又要考虑其颜色，不可偏废遗漏． [正解]　每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号 1．由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 答案：B 解析：本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为 12－2－23－3－34－4－412－1－13－1－14－1－11－12－13－14－11－1－1234，由此可知共有12个符合题意的四位数．故选B． 2．(多选)现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是(　　) A．选1人为负责人的选法种数为30 B．每组选1名组长的选法种数为3 024 C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335 D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 答案：ABC 解析：对于A，选1人为负责人的选法种数为6＋7＋8＋9＝30，故A正确；对于B，每组选1名组长的选法种数为6×7×8×9＝3 024，故B正确；对于C，2人需来自不同的小组的选法种数为6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335，故C正确；对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择，所以不同的选法有43－33＝37，故D错误．故选ABC． 3.用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种． 答案：48 解析：先涂区域1，有4种选择，再涂区域2，有3种选择，接着涂区域3，有2种选择，最后涂剩下的两个区 域有2种选择．故不同的涂色方法有4×3×2×2＝48种． 4．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以，则甲、乙、丙、丁购物后依次结账，他们结账方式共有________种． 答案：20 解析：当乙用现金结账时，此时甲和乙都用现金结账，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有3×4＝12(种)方法；当乙用银联卡结账时，此时甲用现金结账，丙有2种方法，丁有4种方法，共有2×4＝8(种)方法．综上，共有12＋8＝20(种)方法． 学科网（北京）股份有限公司 $