第5章 一元一次方程 问题解决策略：直观分析教学设计 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

5.问题解决策略：直观分析（精品中的精品） 课题 5.问题解决策略：直观分析 单元 第五章 一元一次方程（问题解决策略） 学科 初中数学（北师大版2024） 年级 七年级 课时 1 课时（45 分钟） 课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：能借助直观手段（线段图、示意图、表格等）分析数量关系，发展几何直观和模型观念。对应核心素养：几何直观、模型观念、应用意识、推理意识、运算能力。 素养目标 1、【几何直观】能借助线段图、示意图、表格等直观手段分析数量关系，画出相应的直观图。 2、【模型观念】能将实际问题抽象为一元一次方程模型，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。 3、【应用意识】能运用直观分析的方法解决销售、行程、工程等实际问题。 4、【推理意识】能有条理地表达解题思路，检验结果的合理性。 5、【运算能力】能熟练解一元一次方程，准确求出未知数的值。 教材分析 本节课是北师大版（2024）七年级上册第五章的问题解决策略课，是在学习一元一次方程的概念、解法和基本应用后，专门训练如何用直观分析的方法解决复杂实际问题。 教材编写路径：由历史故事引入直观分析；学习常见的直观分析方法；通过销售、行程、工程三类典型例题掌握方法；通过课堂练习巩固提升。 本节是培养学生问题解决能力和数学核心素养的重要课型，在整个初中数学学习中具有承上启下的作用。 学情分析 已知基础：已学习一元一次方程的概念、解法和基本应用，能解简单的一元一次方程。 认知障碍：①不会主动用直观手段分析数量关系；②找等量关系困难，尤其是复杂问题；③解题思路不清晰，书写不规范；④对销售、行程、工程等问题的基本公式掌握不牢。 教学策略：通过历史故事引入激发兴趣；通过典型例题示范方法；通过分类练习巩固提升；通过分层作业满足不同层次学生的需求。 教学重点 用线段图、示意图等直观手段分析数量关系；列一元一次方程解销售、行程、工程类应用题。 教学难点 从复杂问题中找等量关系；将实际问题抽象为方程模型；规范书写解题过程。 教学准备 多媒体课件（PPT）、直尺、彩笔、学习任务单、课堂练习纸。 教学环节（时长） 教师活动 学生活动 设计意图 一、情境引入 “曹冲称象” （3分钟） 【活动1·历史故事】 教师讲述：曹冲称象的故事。曹冲是怎么称出大象重量的？ 学生：把大象的重量转化为石头的重量。 教师点题：这就是一种直观分析的思想——把复杂的问题转化为简单的问题。今天我们学习问题解决策略：直观分析。 1、听故事； 2、思考方法； 3、理解转化思想。 用历史故事引入，激发兴趣，渗透转化思想。 二、探究1 直观分析的意义 （10分钟） 【活动2·认识意义】 教师引导学生认识（见图1）：直观分析的意义： ·抽象问题：文字描述、数量关系复杂、不直观，容易出错； ·直观分析：画图、列表、线段图，把抽象的数量关系变成直观的图形，清晰、易理解。 教师归纳（见图1）：直观分析能帮助我们理清数量关系、找到解题思路，是解决复杂应用题的重要策略。 举例：要知道“一件商品按进价提高50%标价，再打八折出售，仍获利20元”中的数量关系，光看文字很难想清楚，但画个线段图就一目了然了。 图1 直观分析的意义 1、认识意义； 2、比较区别； 3、理解价值。 理解直观分析的意义，落实几何直观。 三、探究2 常见的直观分析方法 （10分钟） 【活动3·学习方法】 教师引导学生学习（见图2）：常见的直观分析方法： ·线段图：用线段表示数量之间的关系，适合行程问题、工程问题、销售问题； ·示意图：画简单的图形帮助理解题意，适合几何问题、分配问题； ·表格：列表整理已知量和未知量，适合对比问题、统计问题； ·树形图：用树形结构表示分类关系，适合分类讨论问题。 教师归纳（见图2）：选择合适的方法，能让复杂的问题变得简单。画线段图是最常用、最有效的方法。 图2 常见的直观分析方法 1、学习方法； 2、了解适用场景； 3、学会选择方法。 掌握直观分析方法，落实模型观念。 四、探究3 销售问题的直观分析 （10分钟） 【活动4·销售问题】 教师示范（见图3）：例1：一件商品按进价提高50%标价，再打八折出售，仍获利20元，求进价。 第一步：画线段图（见图3）： ·画一条线段表示进价x元； ·画一条更长的线段表示标价1.5x元（提高50%）； ·画一条稍短的线段表示售价1.2x元（打八折）； ·售价与进价的差就是利润0.2x元。 第二步：找等量关系：利润 = 售价 - 进价 = 20元。 第三步：列方程：1.5x × 0.8 - x = 20。 第四步：解方程： 1.2x - x = 20； 0.2x = 20； x = 100。 第五步：检验作答：进价100元，标价150元，售价120元，利润20元，符合题意。答：进价为100元。 图3 销售问题的线段图 1、观察示范； 2、跟着画线段图； 3、理解解题步骤。 掌握销售问题的解法，落实应用意识。 五、探究4 行程问题的直观分析 （7分钟） 【活动5·行程问题】 教师示范（见图4）：例2：甲、乙两地相距300km，一辆汽车以60km/h的速度从甲地开往乙地，需要多少小时？ 第一步：画线段图（见图4）： ·画一条线段表示总路程300km； ·在线段上标出汽车行驶的速度60km/h； ·设行驶时间为x小时。 第二步：找等量关系：速度 × 时间 = 路程。 第三步：列方程：60x = 300。 第四步：解方程：x = 5。 第五步：检验作答：60 × 5 = 300km，符合题意。答：需要5小时。 图4 行程问题的线段图 1、观察示范； 2、画线段图； 3、独立解答。 掌握行程问题的解法，落实推理意识。 六、探究5 工程问题的直观分析 （5分钟） 【活动6·工程问题】 教师示范（见图5）：例3：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作几天完成？ 第一步：画线段图（见图5）： ·把总工程量看作单位“1”； ·甲的工作效率是（每天完成总工程的）； ·乙的工作效率是（每天完成总工程的）； ·设两人合作x天完成。 第二步：找等量关系：（甲效率 + 乙效率）× 合作时间 = 总工程量。 第三步：列方程：(+)x = 1。 第四步：解方程：x = 1；x = 6。 第五步：检验作答：(+)×6 = ×6 = 1，符合题意。答：两人合作6天完成。 图5 工程问题的线段图 1、观察示范； 2、画线段图； 3、独立解答。 掌握工程问题的解法，落实运算能力。 七、典例精讲 （3分钟） 【活动7·综合例题】 例4：一件商品进价80元，标价120元，打八折出售，利润是多少元？ 解：设利润为x元，根据题意得： 售价 = 120 × 0.8 = 96（元）； 利润 = 售价 - 进价 = 96 - 80 = 16（元）。 答：利润是16元。 例5：小明有50元，买了3支钢笔，每支x元，还剩20元，求每支钢笔多少元？ 解：根据题意得： 3x + 20 = 50； 3x = 30； x = 10。 答：每支钢笔10元。 1、独立完成； 2、说出思路； 3、规范书写。 巩固方法，提升能力。 八、课堂练习 （3分钟） 1、一件商品进价100元，按标价打八折出售，仍获利20元，求标价。【答案】设标价为x元，0.8x - 100 = 20；0.8x = 120；x = 150（元）。答：标价150元。 2、甲、乙两地相距200km，一辆汽车以50km/h的速度从甲地开往乙地，需要多少小时？【答案】设需要x小时，50x = 200；x = 4（小时）。答：需要4小时。 3、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，两人合作几天完成？【答案】设合作x天完成，(+)x = 1；x = 1；x = 12（天）。答：两人合作12天完成。 独立完成，同桌互查。 当堂检测，及时反馈。 九、课堂小结 （2分钟） 一、直观分析的意义：理清数量关系、找到解题思路； 二、常见方法：线段图、示意图、表格、树形图； 三、解题步骤：审题→画直观图→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验作答； 四、常见类型：销售问题、行程问题、工程问题。 口头梳理，形成体系。 结构化认知，形成知识体系。 十、作业布置 （分层） A 层（基础题）：教材习题5.6“知识技能”第1、2、3题。 B 层（提高题）：一件商品按进价提高50%标价，再打八折出售，仍获利20元，求进价。 【解析】设进价为x元，则：标价 = (1+50%)x = 1.5x；售价 = 标价 × 80% = 1.5x × 0.8 = 1.2x；利润 = 售价 - 进价 = 1.2x - x = 0.2x。 【答案】根据题意得：0.2x = 20；解得x = 100。答：进价为100元。 C 层（拓展题）：编一道用直观分析方法解决的应用题，画出线段图并解答。【答案】略。 预习：回顾与思考。 记录作业，明确要求。 分层作业，满足不同层次需求。 板书设计 5.问题解决策略：直观分析 一、直观分析的意义： 理清数量关系、找到解题思路 二、常见方法： 线段图、示意图、表格、树形图 三、解题步骤： 审题→画图→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验作答 四、典型例题： 销售问题：进价x→标价1.5x→售价1.2x→利润0.2x=20→x=100 行程问题：速度×时间=路程 工程问题：(甲效率+乙效率)×时间=总工程量 — 板书结构化，一目了然。 预设 反思要点 1、目标达成：学生能否用直观手段分析数量关系？能否列方程解应用题？ 2、活动效果：曹冲称象、认识意义、学习方法、三个探究哪个最有效？ 3、易错预判：①不会画线段图；②找等量关系困难；③解方程不熟练；④书写不规范。 4、改进设想：若学生基础薄弱，多示范、多练习；若基础好，可增加更多类型的问题（如配套问题、年龄问题）。 — 提前预设，有的放矢。 课后反思（课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $