专题07 三角函数的图象与性质 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题07　三角函数的图象与性质 高中数学辅导资料 专题07 三角函数的图象与性质 考点预览 考点一 正弦函数、余弦函数的图象与性质 考点二 正切函数的图象与性质 考点三 函数 的图象（变换与五点法） 考点四 函数 的解析式与性质 考点五 三角函数的应用 一、知识填空 1．正弦函数、余弦函数的图象与性质 （1） 是 函数，最小正周期为 ，图象关于直线 对称． （2） 是 函数，最小正周期为 ，图象关于直线 对称． （3）两者的值域均为 ； 在 上单调递增． 2．正切函数的图象与性质 （1） 是 函数，最小正周期为 ． （2）定义域为 ，渐近线方程为 ． （3）在 上单调递增，值域为 ． 3．函数 的图象变换 （1）平移变换：左移 得 ，右移 得 （左加右减）． （2）伸缩变换：横坐标变为原来的 倍得 ；纵坐标变为原来的 倍得 ． （3）振幅为 ，最小正周期为 ． 4．函数 的解析式与性质 （1）振幅 ；由周期 可得角频率 ． （2）求初相 ：将图象上的特殊点坐标代入 求解． （3）对称轴满足 ；对称中心满足 ． 5．三角函数的应用 （1）简谐运动的位移可表示为 （其中 为振幅， 为角频率）． （2）周期 ，频率 ，二者满足 ． （3）三角函数模型适合刻画具有 特征的自然与社会现象． 自检自纠： 1．（1）奇；　（2）偶；　（3） 2．（1）奇；　（2）　（3） 3．（1）　（2）　（3）； 4．（1）　（2）　（3）（） 5．（1）　（2）　（3）周期性 二、考点专练 考点一 正弦函数、余弦函数的图象与性质 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 2．函数 是（　　） A．奇函数 B．非奇非偶函数 C．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 3．当 取得最大值时， 的取值为（　　） A． B． C． D． 4．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．它是奇函数 B．它的最小正周期为 C．它的图象关于直线 对称 D．它在 上单调递增 5．函数 图象的对称中心为 ． 6．函数 的单调递增区间是 ． 【变式训练】 1．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 3．函数 图象的对称轴方程为（　　） A． B． C． D． 4．下列区间中，函数 单调递增的是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的奇偶性为（　　） A．奇函数 B．非奇非偶函数 C．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 6．（多选）下列函数中，最小正周期为 的是（　　） A． B． C． D． 7．（多选）下列函数中，既是偶函数又周期为 的是（　　） A． B． C． D． 8．函数 的值域为 ． 【巩固练习】 1．函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．函数 在 处（　　） A．取得最小值 B．函数值为 C．取得最大值 D．无定义 3．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 4．函数 图象的对称中心的横坐标为（　　） A． B． C． D． 5．下列函数为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 6．函数 取得最大值时， 的取值为（　　） A． B． C． D． 7．函数 的一个单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 8．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 9．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．它是偶函数 B．它的最小正周期为 C．它在 上单调递增 D．它在 上单调递增 10．函数 在区间 上的最大值为 ． 考点二 正切函数的图象与性质 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的奇偶性为（　　） A．偶函数 B．非奇非偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．奇函数 3．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．它是奇函数 B．它的最小正周期为 C．它在 上单调递增 D．其定义域为 5．函数 的对称中心为 ． 6．函数 的单调递增区间为 ． 【变式训练】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 2．在区间 上单调递增且值域为 的函数是（　　） A． B． C． D． 3．函数 图象的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 4．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 5．若 ，则 的取值为（　　） A． B． C． D． 6．（多选）关于函数 与 ，下列说法正确的有（　　） A．两者均为奇函数 B．两者的最小正周期均为 C． 的值域为 ，而 的值域为 D．两者在 上均单调递增 7．（多选）下列函数中定义域为 的是（　　） A． B． C． D． 8．不等式 的解集为 ． 【巩固练习】 1．函数 在 处的值为（　　） A． B． C．无定义 D． 2．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 3．函数 图象与 轴的交点为（　　） A． B． C．无交点 D． 4．下列函数中为奇函数且在 上有定义的是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的对称中心的横坐标是（　　） A． B． C． D． 6．函数 有意义时须满足（　　） A． B． C． D． 7．函数 在区间 上（　　） A．单调递减 B．先增后减 C．先减后增 D．单调递增 8．关于函数 ，下列结论正确的是（　　） A．有最大值 B．有最小值 C．既无最大值也无最小值 D．既有最大值又有最小值 9．（多选）关于正切函数，下列说法正确的有（　　） A．定义域为 B．值域为 C．对称中心为 D．在整个定义域上单调递增 10．函数 的值域为 ． 考点三 函数 的图象（变换与五点法） 【例题精讲】 1．将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数为（　　） A． B． C． D． 2．将函数 图象上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），所得函数为（　　） A． B． C． D． 3．要得到 的图象，可先将 向左平移 再横坐标缩短为原来的 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．可由 先左移 再横坐标缩短为 得到 B．其最小正周期为 C．可由 向左平移 得到 D．其振幅为 5．函数 的最小正周期为 ． 6．用五点法作 的图象时，五个关键点的横坐标依次为 ． 【变式训练】 1．将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得函数为（　　） A． B． C． D． 2．将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 倍，所得函数为（　　） A． B． C． D． 3．将函数 图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，所得函数为（　　） A． B． C． D． 4．函数 的最小正周期为 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．将函数 图象上所有点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），所得函数为（　　） A． B． C． D． 6．（多选）下列函数中，最小正周期为 且为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 7．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．其最小正周期为 B．其最小正周期为 C．可由 纵坐标变为原来的 倍得到 D．其最大值为 8．函数 的最小正周期公式为 ． 【巩固练习】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 2．将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得函数为（　　） A． B． C． D． 3．要由 的图象得到 的图象，应（　　） A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 4．函数 的振幅是（　　） A． B． C． D． 5．将函数 的图象先横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位，所得函数为（　　） A． B． C． D． 6．函数 的一条对称轴方程为（　　） A． B． C． D． 7．将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），所得函数为（　　） A． B． C． D． 8．函数 与 的图象之间的关系是（　　） A．完全相同 B．关于 轴对称 C．向左平移 得到 D．向右平移 得到 9．（多选）关于三角函数图象的平移与伸缩变换，下列说法正确的有（　　） A． 向左平移 得 B． 横坐标伸长到原来的 倍得 C． 向右平移 得 D． 向左平移 得 10．将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得函数的解析式是 ． 考点四 函数 的解析式与性质 【例题精讲】 1．某三角函数图象的最高点纵坐标为 ，最低点纵坐标为 ，则其振幅 （　　） A． B． C． D． 2．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 3．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．（多选）关于函数 ，下列结论正确的有（　　） A．其振幅为 B．其最大值为 C．其最小正周期为 D．该函数为偶函数 5．函数 的最大值为 ． 6．函数 在区间 上取得最大值时， ． 【变式训练】 1．函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．当 时，函数 的值为（　　） A． B． C． D． 3．函数 的最小正周期为 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．函数 与 的最小正周期（　　） A．相同，均为 B．前者是后者的一半 C．前者是后者的 倍 D．没有确定的关系 6．（多选）下列函数中，最小值为 的是（　　） A． B． C． D． 7．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．其最小正周期为 B．它是奇函数 C．其最大值为 D．它在 上单调递增 8．函数 的最小正周期为 ． 【巩固练习】 1．当 时，函数 的值为（　　） A． B． C． D． 2．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 3．函数 在区间 上（　　） A．单调递减 B．单调递增 C．先增后减 D．先减后增 4．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 5．函数 化简后是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 6．函数 取得最大值 时， 的取值为（　　） A． B． C． D． 7．函数 在区间 上（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 8．函数 的图象与 的图象相比（　　） A．横坐标缩短为 B．向左平移 个单位 C．纵坐标伸长为原来的 倍 D．关于 轴对称 9．（多选）下列函数中为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 10．函数 的最小正周期为 ． 考点五 三角函数的应用 【例题精讲】 1．简谐运动的位移函数 （其中 为时间），其振幅为（　　） A． B． C． D． 2．简谐运动 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 3．简谐运动 的频率为（　　） A． B． C． D． 4．（多选）关于简谐运动 ，下列结论正确的有（　　） A．其频率为 B．其周期为 C．其振幅为 D．其初相为 5．简谐运动 的振幅为 ． 6．简谐运动 的最小正周期为 ． 【变式训练】 1．物体做简谐运动 ，其振幅为（　　） A． B． C． D． 2．物体做简谐运动 ，其周期为（　　） A． B． C． D． 3．物体做简谐运动 ，其频率为（　　） A． B． C． D． 4．对于简谐运动 ，频率 与周期 的关系为（　　） A． B． C． D． 5．简谐运动每经过一个周期，物体（　　） A．完成一次全振动并回到原状态 B．只完成半个振动 C．位移变为原来的 倍 D．速度变为原来的 倍 6．（多选）关于简谐运动的描述，下列说法正确的有（　　） A．位移随时间按正弦（或余弦）规律变化 B．振幅越大，周期就越大 C．频率与振幅成正比 D．周期由系统本身决定，与振幅无关 7．（多选）下列实际问题中，适合用函数 建模的有（　　） A．海水潮汐水位的周期性涨落 B．一年中气温的周期性变化 C．匀速直线运动的位移 D．自由落体运动的下落距离 8．简谐运动 的频率为 ． 【巩固练习】 1．简谐运动 的周期为（　　） A． B． C． D． 2．简谐运动的振幅为 ，则其位移的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．函数 中，当时间 增加整数个周期 后，位移 （　　） A．与原值相同 B．变为原来的 倍 C．变为相反数 D．变为 4．简谐运动的频率为 ，则其角频率 （　　） A． B． C． D． 5．简谐运动 在 时的位移为（　　） A． B． C． D． 6．一个简谐运动的周期为 ，则其角频率 （　　） A． B． C． D． 7．函数 化简后为 ，它是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 8．在实际问题中引入三角函数模型，主要是为了刻画（　　） A．线性增长过程 B．爆发式增长过程 C．具有周期性的现象 D．完全随机的过程 9．（多选）关于三角函数的实际应用，下列说法正确的有（　　） A．可以描述潮汐、气温等周期现象 B．该模型只适用于物理学问题 C．可由解析式求出位移的最大值与最小值 D．任何实际问题都可直接套用该模型 10．简谐运动 的振幅与周期分别为 ． 三、达标检测 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的振幅为（　　） A． B． C． D． 4．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 5．函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 6．函数 在 处（　　） A．取得最大值 B．取得最小值 C．函数值为 D．无定义 7．将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得函数为（　　） A． B． C． D． 8．简谐运动 的振幅为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．） 9．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．它是奇函数 B．它的最小正周期为 C．它的图象关于直线 对称 D．它在 上单调递增 10．（多选）下列函数中，最小正周期为 的有（　　） A． B． C． D． 11．（多选）下列函数中，定义域为 的有（　　） A． B． C． D． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12．函数 的值域为 ． 13．函数 的最小正周期为 ． 14．简谐运动 的最小正周期为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $专题07　三角函数的图象与性质 高中数学辅导资料 专题07 三角函数的图象与性质 考点预览 考点一 正弦函数、余弦函数的图象与性质 考点二 正切函数的图象与性质 考点三 函数 的图象（变换与五点法） 考点四 函数 的解析式与性质 考点五 三角函数的应用 一、知识填空 1．正弦函数、余弦函数的图象与性质 （1） 是 函数，最小正周期为 ，图象关于直线 对称． （2） 是 函数，最小正周期为 ，图象关于直线 对称． （3）两者的值域均为 ； 在 上单调递增． 2．正切函数的图象与性质 （1） 是 函数，最小正周期为 ． （2）定义域为 ，渐近线方程为 ． （3）在 上单调递增，值域为 ． 3．函数 的图象变换 （1）平移变换：左移 得 ，右移 得 （左加右减）． （2）伸缩变换：横坐标变为原来的 倍得 ；纵坐标变为原来的 倍得 ． （3）振幅为 ，最小正周期为 ． 4．函数 的解析式与性质 （1）振幅 ；由周期 可得角频率 ． （2）求初相 ：将图象上的特殊点坐标代入 求解． （3）对称轴满足 ；对称中心满足 ． 5．三角函数的应用 （1）简谐运动的位移可表示为 （其中 为振幅， 为角频率）． （2）周期 ，频率 ，二者满足 ． （3）三角函数模型适合刻画具有 特征的自然与社会现象． 自检自纠： 1．（1）奇；　（2）偶；　（3） 2．（1）奇；　（2）　（3） 3．（1）　（2）　（3）； 4．（1）　（2）　（3）（） 5．（1）　（2）　（3）周期性 二、考点专练 考点一 正弦函数、余弦函数的图象与性质 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正弦函数 的最小正周期为 ．故选 C． 2．函数 是（　　） A．奇函数 B．非奇非偶函数 C．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】C 【详解】余弦函数满足 ，故为偶函数．故选 C． 3．当 取得最大值时， 的取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 在 处取得最大值 ．故选 C． 4．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．它是奇函数 B．它的最小正周期为 C．它的图象关于直线 对称 D．它在 上单调递增 【答案】ABD 【详解】A 正确，，为奇函数； B 正确，最小正周期为 ； C 错误，对称轴应为 ，而非 ； D 正确， 在 上单调递增．故选 ABD． 5．函数 图象的对称中心为 ． 【答案】 【详解】令 得 ，故对称中心为 （）．故答案为 ． 6．函数 的单调递增区间是 ． 【答案】 【详解】余弦函数在 上单调递增．故答案为 ． 【变式训练】 1．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 的最大值为 ，故 的最大值为 ．故选 C． 2．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由公式 得 ．故选 C． 3．函数 图象的对称轴方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】余弦函数的对称轴满足 ，即 ．故选 C． 4．下列区间中，函数 单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 在 上递增，取 得 ．故选 C． 5．函数 的奇偶性为（　　） A．奇函数 B．非奇非偶函数 C．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】C 【详解】 为偶函数，，故 仍为偶函数．故选 C． 6．（多选）下列函数中，最小正周期为 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A 正确， 周期为 ； B 错误， 周期为 ； C 正确， 周期为 ； D 错误， 周期为 ．故选 AC． 7．（多选）下列函数中，既是偶函数又周期为 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A 错误， 为奇函数； B 正确， 为偶函数且周期 ； C 错误， 为奇函数且周期 ； D 正确， 为偶函数且周期 ．故选 BD． 8．函数 的值域为 ． 【答案】 【详解】正弦函数的值域为 ，故答案为 ． 【巩固练习】 1．函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 最小值为 ，故 最小值为 ．故选 C． 2．函数 在 处（　　） A．取得最小值 B．函数值为 C．取得最大值 D．无定义 【答案】C 【详解】 为最大值．故选 C． 3．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】．故选 C． 4．函数 图象的对称中心的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对称中心在 轴上且 ，故 ．故选 C． 5．下列函数为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】余弦函数是偶函数，其余三项均为奇函数．故选 C． 6．函数 取得最大值时， 的取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在 处取得最大值 ．故选 D． 7．函数 的一个单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在 上递减，取 得 ．故选 D． 8．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 将负半周翻折到上方，周期由 减半为 ．故选 B． 9．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．它是偶函数 B．它的最小正周期为 C．它在 上单调递增 D．它在 上单调递增 【答案】ABC 【详解】A 正确，，为偶函数； B 正确，周期为 ； C 正确，在 上 递增； D 错误，在 上 递减．故选 ABC． 10．函数 在区间 上的最大值为 ． 【答案】 【详解】 在 上递增，最大值为 ，故答案为 ． 考点二 正切函数的图象与性质 【例题精讲】 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正切函数的最小正周期为 ．故选 D． 2．函数 的奇偶性为（　　） A．偶函数 B．非奇非偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．奇函数 【答案】D 【详解】，故正切函数为奇函数．故选 D． 3．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当 时 ， 无定义．故选 C． 4．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．它是奇函数 B．它的最小正周期为 C．它在 上单调递增 D．其定义域为 【答案】ABD 【详解】A 正确，； B 正确，周期为 ； C 错误， 在 上为负，并非在整个 递增； D 正确，定义域排除渐近线位置．故选 ABD． 5．函数 的对称中心为 ． 【答案】 【详解】正切函数的对称中心为 ．故答案为 ． 6．函数 的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】 在每个开区间 上递增．故答案为 ． 【变式训练】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选 B． 2．在区间 上单调递增且值域为 的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 在 上递增但值域为 ； 递增且值域为 ．故选 C． 3．函数 图象的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正切函数在 处无定义且图象趋于无穷，故渐近线为 ．故选 B． 4．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，周期仍为 ．故选 D． 5．若 ，则 的取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 等价于 ．故选 D． 6．（多选）关于函数 与 ，下列说法正确的有（　　） A．两者均为奇函数 B．两者的最小正周期均为 C． 的值域为 ，而 的值域为 D．两者在 上均单调递增 【答案】ACD 【详解】A 正确，两者都是奇函数； B 错误， 的周期为 而非 ； C 正确，正切值域为 ，正弦值域为 ； D 正确，两者在 上都递增．故选 ACD． 7．（多选）下列函数中定义域为 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A、B 错误，正切函数在 处无定义，定义域不是 ； C、D 正确，正弦、余弦函数在 上均有定义．故选 CD． 8．不等式 的解集为 ． 【答案】 【详解】 当且仅当 在第一、三象限，即 ．故答案为 ． 【巩固练习】 1．函数 在 处的值为（　　） A． B． C．无定义 D． 【答案】D 【详解】．故选 D． 2．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选 B． 3．函数 图象与 轴的交点为（　　） A． B． C．无交点 D． 【答案】D 【详解】 时 ，交点为 ．故选 D． 4．下列函数中为奇函数且在 上有定义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A 错误， 在 处无定义；B 正确， 为奇函数且定义域为 ；C、D 定义域均非 ．故选 B． 5．函数 的对称中心的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正切对称中心为 ，横坐标为 ．故选 C． 6．函数 有意义时须满足（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正切有意义要求整体不等于 ，即 ．故选 D． 7．函数 在区间 上（　　） A．单调递减 B．先增后减 C．先减后增 D．单调递增 【答案】D 【详解】正切函数在每个连续区间 上单调递增．故选 D． 8．关于函数 ，下列结论正确的是（　　） A．有最大值 B．有最小值 C．既无最大值也无最小值 D．既有最大值又有最小值 【答案】C 【详解】 的值域为 ，在定义域内既无最大值也无最小值．故选 C． 9．（多选）关于正切函数，下列说法正确的有（　　） A．定义域为 B．值域为 C．对称中心为 D．在整个定义域上单调递增 【答案】AB 【详解】A 正确，定义域排除渐近线位置； B 正确，值域为 ； C 错误，对称中心应为 ； D 错误，正切函数在每个连续区间上递增，但在整个定义域上不单调（有间断）．故选 AB． 10．函数 的值域为 ． 【答案】 【详解】正切函数的值域为全体实数 ，故答案为 ． 考点三 函数 的图象（变换与五点法） 【例题精讲】 1．将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】左加右减，向左平移 得 ．故选 D． 2．将函数 图象上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】横坐标缩短为 即用 替换 ，得 ．故选 D． 3．要得到 的图象，可先将 向左平移 再横坐标缩短为原来的 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先左移 得 ，再横坐标缩短为 得 ，故 ．故选 D． 4．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．可由 先左移 再横坐标缩短为 得到 B．其最小正周期为 C．可由 向左平移 得到 D．其振幅为 【答案】AB 【详解】A 正确，； B 正确，； C 错误， 左移 得 ； D 错误，振幅为 ．故选 AB． 5．函数 的最小正周期为 ． 【答案】 【详解】，故答案为 ． 6．用五点法作 的图象时，五个关键点的横坐标依次为 ． 【答案】 【详解】五点法取一个周期内的五个点，末点为 ，故答案为 ． 【变式训练】 1．将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】右移 得 ．故选 D． 2．将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 倍，所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先右移得 ，再横坐标伸长到 倍（用 替换 ）得 ．故选 D． 3．将函数 图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】横坐标缩短为 得 ．故选 D． 4．函数 的最小正周期为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ．故选 B． 5．将函数 图象上所有点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】纵坐标变为原来的 倍得 ．故选 D． 6．（多选）下列函数中，最小正周期为 且为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A 正确， 周期 且为奇函数； B 错误， 为偶函数； C 错误， 周期为 ； D 正确， 周期 且为奇函数．故选 AD． 7．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．其最小正周期为 B．其最小正周期为 C．可由 纵坐标变为原来的 倍得到 D．其最大值为 【答案】BCD 【详解】A 错误，周期仍为 ； B 正确，周期为 ； C 正确，纵向伸缩即得； D 正确，最大值为 ．故选 BCD． 8．函数 的最小正周期公式为 ． 【答案】 【详解】周期由角频率 决定，，故答案为 ． 【巩固练习】 1．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选 B． 2．将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】左移 得 ．故选 D． 3．要由 的图象得到 的图象，应（　　） A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 【答案】D 【详解】令 ，得 ，故向右平移 ．故选 D． 4．函数 的振幅是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】形如 的振幅为 ．故选 D． 5．将函数 的图象先横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位，所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先缩短得 ，再右移 得 ．故选 B． 6．函数 的一条对称轴方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对称轴满足 ，取 得 ．故选 D． 7．将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】横坐标变为原来的 倍得 ．故选 B． 8．函数 与 的图象之间的关系是（　　） A．完全相同 B．关于 轴对称 C．向左平移 得到 D．向右平移 得到 【答案】B 【详解】，两图象关于 轴对称．故选 B． 9．（多选）关于三角函数图象的平移与伸缩变换，下列说法正确的有（　　） A． 向左平移 得 B． 横坐标伸长到原来的 倍得 C． 向右平移 得 D． 向左平移 得 【答案】AC 【详解】A 正确，左加右减； B 错误，横坐标伸长到原来的 倍应得 ； C 正确，右移 得 ； D 错误，左移应为 ．故选 AC． 10．将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得函数的解析式是 ． 【答案】 【详解】右移 得 ，故答案为 ． 考点四 函数 的解析式与性质 【例题精讲】 1．某三角函数图象的最高点纵坐标为 ，最低点纵坐标为 ，则其振幅 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】振幅 ．故选 B． 2．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选 B． 3．函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 最大值为 ，故 最大值为 ．故选 D． 4．（多选）关于函数 ，下列结论正确的有（　　） A．其振幅为 B．其最大值为 C．其最小正周期为 D．该函数为偶函数 【答案】AC 【详解】A 正确，振幅 ； B 错误，最大值为 而非 ； C 正确，； D 错误，含相位偏移，一般不是偶函数．故选 AC． 5．函数 的最大值为 ． 【答案】 【详解】最大值为 ，故答案为 ． 6．函数 在区间 上取得最大值时， ． 【答案】 【详解】在 上 于 处取最大值 ，故答案为 ． 【变式训练】 1．函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在该区间递增，最大值为 ．故选 A． 2．当 时，函数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选 B． 3．函数 的最小正周期为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ．故选 C． 4．函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】最小值为 ．故选 C． 5．函数 与 的最小正周期（　　） A．相同，均为 B．前者是后者的一半 C．前者是后者的 倍 D．没有确定的关系 【答案】A 【详解】两者最小正周期均为 ．故选 A． 6．（多选）下列函数中，最小值为 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A 错误， 最小值为 ； B 正确， 最小值为 ； C 错误， 最小值为 ； D 正确， 最小值为 ．故选 BD． 7．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．其最小正周期为 B．它是奇函数 C．其最大值为 D．它在 上单调递增 【答案】AB 【详解】A 正确，； B 正确，； C 错误，最大值为 ； D 错误，在 上递减．故选 AB． 8．函数 的最小正周期为 ． 【答案】 【详解】，故答案为 ． 【巩固练习】 1．当 时，函数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】．故选 A． 2．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】纵向伸缩不改变周期，．故选 B． 3．函数 在区间 上（　　） A．单调递减 B．单调递增 C．先增后减 D．先减后增 【答案】A 【详解】 在 上由 减到 ，单调递减．故选 A． 4．函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 ．故选 C． 5．函数 化简后是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【详解】，为偶函数．故选 B． 6．函数 取得最大值 时， 的取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 当且仅当 ．故选 A． 7．函数 在区间 上（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 【答案】A 【详解】 在 上由 增到 ．故选 A． 8．函数 的图象与 的图象相比（　　） A．横坐标缩短为 B．向左平移 个单位 C．纵坐标伸长为原来的 倍 D．关于 轴对称 【答案】C 【详解】 是将 的纵坐标伸长为原来的 倍得到．故选 C． 9．（多选）下列函数中为偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A、B 错误，正弦型（无相位偏移）为奇函数； C 正确， 为偶函数；D 正确， 也是偶函数．故选 CD． 10．函数 的最小正周期为 ． 【答案】 【详解】纵向伸缩不改变周期，，故答案为 ． 考点五 三角函数的应用 【例题精讲】 1．简谐运动的位移函数 （其中 为时间），其振幅为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】形如 的振幅为 ．故选 A． 2．简谐运动 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】周期 ．故选 A． 3．简谐运动 的频率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】频率 ．故选 B． 4．（多选）关于简谐运动 ，下列结论正确的有（　　） A．其频率为 B．其周期为 C．其振幅为 D．其初相为 【答案】BC 【详解】A 错误，频率为 ； B 正确，周期 ； C 正确，振幅为 ； D 错误，初相为 而非 ．故选 BC． 5．简谐运动 的振幅为 ． 【答案】 【详解】振幅为 ，故答案为 ． 6．简谐运动 的最小正周期为 ． 【答案】 【详解】，故答案为 ． 【变式训练】 1．物体做简谐运动 ，其振幅为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】振幅为 ．故选 A． 2．物体做简谐运动 ，其周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选 B． 3．物体做简谐运动 ，其频率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】频率 ．故选 A． 4．对于简谐运动 ，频率 与周期 的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】频率与周期互为倒数，即 ．故选 A． 5．简谐运动每经过一个周期，物体（　　） A．完成一次全振动并回到原状态 B．只完成半个振动 C．位移变为原来的 倍 D．速度变为原来的 倍 【答案】A 【详解】一个周期内物体完成一次全振动，位移、速度等状态完全重复．故选 A． 6．（多选）关于简谐运动的描述，下列说法正确的有（　　） A．位移随时间按正弦（或余弦）规律变化 B．振幅越大，周期就越大 C．频率与振幅成正比 D．周期由系统本身决定，与振幅无关 【答案】AD 【详解】A 正确，简谐运动的位移是正弦型函数； B 错误，周期与振幅无关； C 错误，频率也与振幅无关； D 正确，周期由系统本身决定．故选 AD． 7．（多选）下列实际问题中，适合用函数 建模的有（　　） A．海水潮汐水位的周期性涨落 B．一年中气温的周期性变化 C．匀速直线运动的位移 D．自由落体运动的下落距离 【答案】AB 【详解】A 正确，潮汐是周期现象； B 正确，气温年变化是周期现象； C 错误，匀速直线运动是线性函数； D 错误，自由落体是二次函数．故选 AB． 8．简谐运动 的频率为 ． 【答案】 【详解】频率 ，故答案为 ． 【巩固练习】 1．简谐运动 的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选 B． 2．简谐运动的振幅为 ，则其位移的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】振幅即最大位移的绝对值，最大值为 ．故选 A． 3．函数 中，当时间 增加整数个周期 后，位移 （　　） A．与原值相同 B．变为原来的 倍 C．变为相反数 D．变为 【答案】A 【详解】周期为 ，故 ，位移重复．故选 A． 4．简谐运动的频率为 ，则其角频率 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ．故选 A． 5．简谐运动 在 时的位移为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】．故选 A． 6．一个简谐运动的周期为 ，则其角频率 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ．故选 A． 7．函数 化简后为 ，它是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【详解】 为偶函数．故选 B． 8．在实际问题中引入三角函数模型，主要是为了刻画（　　） A．线性增长过程 B．爆发式增长过程 C．具有周期性的现象 D．完全随机的过程 【答案】C 【详解】三角函数模型适合描述周期性重复出现的现象．故选 C． 9．（多选）关于三角函数的实际应用，下列说法正确的有（　　） A．可以描述潮汐、气温等周期现象 B．该模型只适用于物理学问题 C．可由解析式求出位移的最大值与最小值 D．任何实际问题都可直接套用该模型 【答案】AC 【详解】A 正确，三角函数适合刻画周期现象； B 错误，也广泛用于地理、经济等领域； C 正确，由振幅可求最值； D 错误，需符合周期特征才能建模．故选 AC． 10．简谐运动 的振幅与周期分别为 ． 【答案】振幅为 ，周期为 【详解】振幅 ，周期 ，故答案为振幅为 ，周期为 ． 三、达标检测 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正弦函数的最小正周期为 ．故选 B． 2．函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正切函数的最小正周期为 ．故选 A． 3．函数 的振幅为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】形如 的振幅为 ．故选 A． 4．函数 的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选 B． 5．函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【详解】，故为偶函数．故选 B． 6．函数 在 处（　　） A．取得最大值 B．取得最小值 C．函数值为 D．无定义 【答案】A 【详解】 为最大值．故选 A． 7．将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】左移 得 ．故选 A． 8．简谐运动 的振幅为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】振幅为 ．故选 A． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．） 9．（多选）关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．它是奇函数 B．它的最小正周期为 C．它的图象关于直线 对称 D．它在 上单调递增 【答案】ABD 【详解】A 正确，； B 正确，周期为 ； C 错误，对称轴应为 ； D 正确，在 上递增．故选 ABD． 10．（多选）下列函数中，最小正周期为 的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A 错误， 周期 ； B 正确， 周期 ； C 正确， 周期 ； D 错误， 周期 ．故选 BC． 11．（多选）下列函数中，定义域为 的有（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A、B 错误，正切函数在 处无定义； C、D 正确，正弦、余弦定义域为 ．故选 CD． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12．函数 的值域为 ． 【答案】 【详解】正弦函数的值域为 ，故答案为 ． 13．函数 的最小正周期为 ． 【答案】 【详解】，故答案为 ． 14．简谐运动 的最小正周期为 ． 【答案】 【详解】，故答案为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $