5.4三角函数图象与性质 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以三角函数性质对比为基础，通过五点法/三点两线法构建作图体系，聚焦定义域、单调性等核心性质应用，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点归纳|1表格+2作图方法|五点法、三点两线法作图；性质对比分析|性质概念（定义域/值域等）→作图方法→性质应用| |典型例题|6例+6变式|定义域求解、单调性判断、对称性分析|性质应用题型分类（选择/填空），典例覆盖核心考法| |练习|13题（选择/填空/解答）|参数范围、值域求解、奇偶性判断|从基础应用到综合探究，形成性质应用逻辑链|

5.4三角函数图象与性质 【知识点归纳】 1.三角函数性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] R 最值 x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 无 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 为增； 为减 为减； [2kπ－π，2kπ]为增　　　　　 为增 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 无 对称 中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 五个关键点： 五个关键点： 单位圆画出正弦函数图象 3. 三点两线法作正切曲线简图 “三点”； “两线”是指直线和，可以大致画出正切函数在区间上的简图.再按周期左右平移. 如下图，设，在平面直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（）.过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A（1,0）作轴的垂线与角的终边交于点T，则 【典型例题】 例 1．求下列函数的定义域： （1）；(2)求的定义域： 【解析】（1） 【答案】 【解析】要使有意义，则， 解得， 故定义域为； （2）【答案】 【解析】要使有意义，则由题得. 所以函数的定义域为. 【变式1】求函数的定义域； 【答案】 【解析】要使有意义，可得，即，解得，故定义域为； 例2.（填空题）函数的最小值是______． 【答案】 【解析】 形如的值域求法. 函数，， 当时，函数取得最小值. 【变式2】函数的最大值为________ 【答案】5 【分析】化简可得，结合以及二次函数的基本性质可求得原函数的最大值. 【解析】因为，， 故当时，函数取最大值，且. 例3．（单选题）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令， 解得，即函数的单调递减区间为， 取可得，为函数的单调递减区间，B正确； 取可得，为函数的单调递减区间， 令，解得， 即函数的单调递增区间为，取可得，为函数的单调递增区间，A错误；因为在上单调递增，C错误；取可得，为函数的单调递增区间，所以在上单调递增，D错误,故选B 【变式3】（单选题）已知函数，则（    ） A．增区间为，B．增区间为， C．减区间为，D．减区间为， 【答案】C 【解析】由解得 .因此，函数的单调递减区间为，.故选C 例4．（单选题）函数的图象的一个对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：对于函数，令，得，故函数的对称轴方程为，令，可知函数的一条对称轴为.故选C 【变式4】（填空题）已知函数，则的对称中心是______． 【答案】 【解析】由得， ∴，，此时，故的对称中心是.故答案为：． 例5．（多选题）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于直线对称 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】BC 【解析】因为，，A错误； ，B正确； ，所以是奇函数，C正确； 易知，所以不是偶函数，D错误．故选BC 【变式5】（单选题）如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，则有，于是得，显然对于是递增的，而时，，，当时，，，所以|φ|的最小值为.故选A 例6．（单选题）若函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（    ）． A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】函数的最小正周期，相邻两条对称轴之间的距离为，于是得，解得，所以.故选C 【变式6】（单选题）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，可得，得：，又，所以，即. 给定单调区间求参数 一是正推 解出函数单调递增区间通解，让给定区间是通解的子集 二是反推 由x范围推出整体范围 ，该区间是整体单调区间子集，再找端点大小关系如答案 三是先验证区间长度是否小于半个周期 可排除B C，再是的子集,故选D 【练习】（1-7单选题） 1．用“五点法”画函数的图像时，首先应描出五点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦函数的五点作图法，可得描出的五点的横坐标与函数的五点的横坐标相同，即五个点的横坐标分别为.故选B 2.时，函数与的图象交点个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象， 根据图象可知：与的图象在有4个交点， 故选：C 3.函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数的定义域为. 故选D. 4.已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】A 【解析】令，得，. 当时可得的一个单调递减区间为. 令，得，. 当时可得的一个单调递增区间为. ， 在区间上单调递减.故选A 5.下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，， 所以，函数的对称中心的是，.对于A项，由，可得，故A项错误；对于B项，由，可得，故B项错误；对于C项，由，可得，故C项错误；对于D项，由，可得,故选D 6.已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的图象对称轴方程，再结合已知列出不等式组求解. 【解析】函数，由，得， 由，函数的图象在内恰有3条对称轴，得且， 解得，所以的取值范围是.故选D 7.已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据同角的平方关系，利用换元法，令，结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【解析】， 令，由得， 设， 其图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 因为在上取得最大值2， 所以，解得.故选D 8.（多选题）下列说法正确的有(    ) A. 若是锐角，则是第一象限角 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则为第一或第二象限角 D. 小圆中弧度的圆心角比大圆中弧度制的圆心角小 【答案】AB  【解析】解：对，若是锐角，则，是第一象限角，A正确； 对，若，则，充分性成立， 若，则或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对，若，则， 即为第一或第二象限角，或者终边在轴的非负半轴上，C错误； 对，弧度的圆心角是指弧长等于半径的弧所对的角，与圆的大小无关，D错误． 故选： 9.（多选题）已知函数，则下列描述中正确的是（   ）． A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的最小正周期为2 C．函数的单调增区间为，D．函数的图象没有对称轴 【答案】BD 【解析】对于A：令，令得，不是整数，故A不正确；对于B：函数f（x）的最小正周期为T＝，故B正确； 对于C：令，解不等式可得函数的单调递增区间为，故C错误；对于D：正切函数不是轴对称图形故D正确.故选BD 10.（填空题）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解. 【解析】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 11.（填空题）已知，下列四个命题中正确的序号为______ ①函数的图象关于直线对称；②函数在上单调递增； ③函数的图象关于点对称；④函数在上的值域是. 【答案】③ 【解析】对于①，， 所以函数的图象不关于直线对称，故①错误；对于②，由，可得，因为，所以函数在上不单调，故②错误； 对于③，，所以函数的图象关于点对称，故③正确；对于④，若，则，所以， 所以函数在上的值域是，故④错误 12.（解答题）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)偶函数 (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合函数奇偶性的定义和余弦函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，把不等式转化为，结合余弦函数的性质，即可求解. 【解析】（1）解：由函数， 可得， 令，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数， 所以函数为偶函数. （2）解：由函数， 可得， 因为不等式，可得， 则满足，解得， 故该不等式解集为. 13.（解答题）已知函数. (1)求函数图象的对称中心；(2)求函数的单调递减区间； (3)若，求函数的值域. 【答案】(1) （2）（3） 【解析】(1)由，得. ∴函数图像的对称中心为. (2)∵函数的单调递增区间为， ∴函数的单调递减区间为. 令，解得， ∴函数的单调递减区间为. (3)∵函数的单调递减区间为， ∴函数的一个单调递减区间为. 又∵是的子集，∴函数在上单调递减，所以若， ∴，， 则函数的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4三角函数图象与性质 【知识点归纳】 1.三角函数性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] R 最值 x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 无 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 为增； 为减 为减； [2kπ－π，2kπ]为增　　　　　 为增 对称轴 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 无 对称 中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 五个关键点： 五个关键点： 单位圆画出正弦函数图象 3. 三点两线法作正切曲线简图 “三点”； “两线”是指直线和，可以大致画出正切函数在区间上的简图.再按周期左右平移. 如下图，设，在平面直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（）.过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A（1,0）作轴的垂线与角的终边交于点T，则 【典型例题】 例 1．求下列函数的定义域： （1）；(2)求的定义域： 【变式1】求函数的定义域 例2.（填空题）函数的最小值是______． 例3．（单选题）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（单选题）已知函数，则（    ） A．增区间为，B．增区间为， C．减区间为，D．减区间为， 例4．（单选题）函数的图象的一个对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（填空题）已知函数，则的对称中心是______． 例5．（多选题）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于直线对称 C．为奇函数 D．为偶函数 【变式5】（单选题）如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 例6．（单选题）若函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（    ）． A．1 B． C．2 D．3 【变式6】（单选题）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【练习】（1-7单选题） 1．用“五点法”画函数的图像时，首先应描出五点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 2.时，函数与的图象交点个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 3.函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 5.下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 6.已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 8.（多选题）下列说法正确的有(    ) A. 若是锐角，则是第一象限角 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则为第一或第二象限角 D. 小圆中弧度的圆心角比大圆中弧度制的圆心角小 9.（多选题）已知函数，则下列描述中正确的是（   ）． A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的最小正周期为2 C．函数的单调增区间为，D．函数的图象没有对称轴 10.（填空题）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为______. 11.（填空题）已知，下列四个命题中正确的序号为______ ①函数的图象关于直线对称；②函数在上单调递增； ③函数的图象关于点对称；④函数在上的值域是. 12.（解答题）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集. 13.（解答题）已知函数. (1)求函数图象的对称中心；(2)求函数的单调递减区间； (3)若，求函数的值域. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $