2.3.4 两条平行直线间的距离 作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过"基础巩固+能力进阶"分层设计，以两条平行直线间距离公式为核心，构建从单一运算到综合应用的知识巩固路径，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|距离公式直接应用、参数求解、等距直线方程|6题，含选择、填空、解答，如直接求距离（题1）、已知距离求参数（题4），强化公式记忆与运算能力| |能力进阶|几何情境应用、代数综合、开放问题|4题，结合三角形（题7）、二次方程（题9）、开放条件选择（题10），提升推理意识与应用意识|

2.3.4 两条平行直线间的距离 【基础巩固】 1．直线l1：3x＋4y－7＝0与直线l2：6x＋8y＋1＝0之间的距离为(　　) A．8 B．4 C． D． 2．已知P，Q分别为直线l1：3x＋4y－4＝0与l2：3x＋4y＋1＝0上的两个动点，则线段PQ的长度的最小值为(　　) A． B．1 C． D．2 3．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的值为(　　) A．3 B．－17 C．－3 D．17 4．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝ ． 5．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则l的方程为 ． 6．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程． 【能力进阶】 7．已知△ABC的三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(3，3)．若△ABC夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间距离的最小值是(　　) A． B． C． D． 8．(2024·浙江杭州高二期中)若直线l1：x＋2y－5＝0与直线l2：kx－y＋k＋1＝0平行，则这两条直线间的距离为 ． 9．设两条平行直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0.已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条平行直线之间的距离的最大值为 ． 10．已知①l与坐标轴所围成三角形面积为6；②l与l1之间的距离为；③点A(1，1)到l的距离为.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 问题：已知直线l与直线l1：x＋3y－1＝0平行，且 ，求l的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.4 两条平行直线间的距离 【基础巩固】 1．直线l1：3x＋4y－7＝0与直线l2：6x＋8y＋1＝0之间的距离为(　　) A．8 B．4 C． D． 解析：D　易得l1∥l2，所以直线l1与直线l2之间的距离d＝. 2．已知P，Q分别为直线l1：3x＋4y－4＝0与l2：3x＋4y＋1＝0上的两个动点，则线段PQ的长度的最小值为(　　) A． B．1 C． D．2 解析：B　由直线l1：3x＋4y－4＝0与l2：3x＋4y＋1＝0，可得直线l1与l2平行．当PQ的长度为两平行线间的距离时，线段PQ的长度最小，则l1与l2之间的距离为＝1，故线段PQ的长度的最小值为1. 3．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的值为(　　) A．3 B．－17 C．－3 D．17 解析：AB　由题意，直线l1与l2平行，则n≠0，－，解得n＝－4，且m≠－3. 所以l2：2x－4y－6＝0， 即x－2y－3＝0， 所以直线l1与l2之间的距离 d＝， 所以|m＋3|＝10，解得m＝－13或m＝7. 当m＝－13时，m＋n＝－13－4＝－17， 当m＝7时，m＋n＝7－4＝3， 所以m＋n＝3或m＋n＝－17. 4．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝ ． 解析：由题意得直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0平行，又直线l2：2x＋6y－3＝0的方程可化为x＋3y－＝0， ∴两直线的距离d＝，解得m＝－或m＝.∵m>0，∴m＝. 答案： 5．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则l的方程为 ． 解析：设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠3且C≠－1)，分别在l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0上取点A(0，3)和B(0，－1)，则此两点到2x－y＋C＝0的距离相等，即，解得C＝1，直线l的方程为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 6．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程． 解：由直线l1，l2的方程知l1∥l2. 又由题意知，直线l与l1，l2均平行． 设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)． 由两平行直线间的距离公式，得d1＝. 又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9， 故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0. 【能力进阶】 7．已知△ABC的三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(3，3)．若△ABC夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间距离的最小值是(　　) A． B． C． D． 解析：B　分别过A，B，C三个点，作斜率为1的三条直线，得l1：y－2＝x－1，即x－y＋1＝0；l2：y－1＝x－2，即x－y－1＝0；l3：y－3＝x－3，即x－y＝0.显然，△ABC夹在两条斜率为1的平行直线l1和l2之间，此时，两条平行直线间距离最小为. 8．(2024·浙江杭州高二期中)若直线l1：x＋2y－5＝0与直线l2：kx－y＋k＋1＝0平行，则这两条直线间的距离为 ． 解析：因为直线l1：x＋2y－5＝0与直线l2：kx－y＋k＋1＝0平行，所以2k＝－1，即k＝－，所以l2：－＝0，即l2：x＋2y－1＝0，由平行直线间距离公式得d＝. 答案： 9．设两条平行直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0.已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条平行直线之间的距离的最大值为 ． 解析：∵a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，∴a＋b＝－1，ab＝c，∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝1－4c.又两条平行直线间的距离d＝，∴，∴两条平行直线间距离的最大值为. 答案： 10．已知①l与坐标轴所围成三角形面积为6；②l与l1之间的距离为；③点A(1，1)到l的距离为.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 问题：已知直线l与直线l1：x＋3y－1＝0平行，且 ，求l的方程． 解：依题意，设直线l的方程为x＋3y＋m＝0(m≠－1)． 若选择①，令x＝0，得y＝－，令y＝0，得x＝－m， 故l与坐标轴所围成的三角形的面积S＝＝6，解得m＝±6， ∴l的方程为x＋3y＋6＝0或x＋3y－6＝0. 若选择②，∵l与l1之间的距离为，即，解得m＝－11或9， ∴l的方程为x＋3y－11＝0或x＋3y＋9＝0. 若选择③，∵点A(1，1)到l的距离为，即，解得m＝－14或6， ∴l的方程为x＋3y－14＝0或x＋3y＋6＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $