专题5.1 任意角和弧度制专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题5.1 任意角和弧度制 考点预览 考点一 任意角的概念与终边相同的角 考点二 弧度制的概念与角度弧度互化 考点三 弧长公式与扇形面积公式 考点四 象限角、区间角与角的集合表示 考点五 任意角的实际应用 一、知识填空 1．任意角 （1）按旋转方向，角分为 、 和 ；逆时针旋转而成的角叫做 ，顺时针旋转而成的角叫做 ，没有作任何旋转时形成的角叫做 。 （2）角的终边落在第几象限，就称这个角是 ；终边落在 上的角不属于任何象限。 （3）所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成的集合是 。 2．弧度制 （1）把长度等于 的弧所对的圆心角叫做 弧度的角，弧度记作 。 （2）正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数等于 。 （3）在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对圆心角为 ，则 。 3．角度与弧度的换算 （1） rad， rad； （2） rad，约为 rad； rad ，约为 ； （3）特殊角： ， ， ， 。 4．弧长公式与扇形面积公式 （1）弧长公式 （ 为圆心角的弧度数）； （2）扇形面积公式 ； （3）扇形的周长 。 5．常用结论 （1）终边在 轴上的角的集合是 ；终边在 轴上的角的集合是 ；终边在坐标轴上的角的集合是 。 （2）终边在直线 上的角的集合是 。 （3）用长为 的铁丝围成扇形，当半径 时面积最大，最大值为 。 自检自纠： 1．（1）正角；负角；零角；正角；负角；零角 （2）第几象限角；坐标轴 （3） 2．（1）半径长；rad （2）正数；负数； （3） 3．（1）； （2）；；； （3）；；； 4．（1） （2）； （3） 5．（1）；； （2） （3）； 二、考点专练 考点一 任意角的概念与终边相同的角 方法与技巧： 1. 识别信号：题中给出一个任意的角（常带负号或超过 ），问它是第几象限角，或问哪些角与它终边相同。 1. 操作流程：先把角写成 （）的形式，再让余下的部分落在 内，最后按区间判断象限。 1. 技巧·口诀："加减小周角，余数定象限"； 为一， 为二， 为三， 为四。 1. 易错点：锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角（如 ）；终边落在坐标轴上的角不属于任何象限。 【例题精讲】 1．下列四个角中，是第三象限角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把各角化到 内： ，在第二象限； ，在第一象限； ，在第三象限； 本身在第四象限。故选 C。 2．与 角终边相同的最小正角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】逐次加周角：仍然小于 ， 再加 得 ，且 ，故最小的正角是 。故选 B。 【变式训练】 1． 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】， 而 ，故它是第三象限角。故选 C。 2．终边在直线 上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线 经过第一、三象限，终边落在第一象限时为 ，落在第三象限时为 ； 两者相差 ，合并写成 。 D 选项每隔 一个，多出了终边在直线 上的角，不正确。故选 B。 3．若 ，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】这里没有写单位，默认是弧度。 ， 而 ，故它的终边落在第三象限。故选 C。 【巩固练习】 1．下列说法中正确的是（　　） A．第一象限角一定小于第二象限角 B．锐角一定是第一象限角 C．小于 的角一定是锐角 D．第一象限角一定是锐角 【答案】B 【详解】A 错：如 ； C 错：如 ，但不是锐角； D 错：如 是第一象限角但不是锐角； B 对：锐角范围是 ，其终边必在第一象限。故选 B。 2．若 是第四象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】设 ，其中 ， 则 ， 其终边与 相同，落在 内，是第三象限角。故选 C。 3．钟表上时针经过 小时，它转过的角的弧度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】时针顺时针转动，形成的是负角； 时针 小时转一周，每小时转 ， 小时共转 。故选 B。 4．若角 与角 的终边关于 轴对称，且 ，则 可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】终边关于 轴对称时，两个角满足 ， 即 ；取 得 。故选 C。 5．下列角中，与 终边相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故与它终边相同的角可写成 。 C 选项 ，并不等于 。故选 B。 6．若角 的终边与 角的终边相同，则在 内与 终边相同的角是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【详解】由 得 ； 在 内取 ，得 与 两个值。故选 C。 7．已知 是第二象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【详解】设 ， 则 ； 当 为偶数时落在第一象限，当 为奇数时落在第三象限。故选 C。 8．集合 中，落在 到 之间（含端点）的角共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【详解】满足条件的角为 、、、、，共 个。故选 C。 考点二 弧度制的概念与角度弧度互化 方法与技巧： 1. 识别信号：题目要求把 化成弧度（或反过来），或出现了没有单位的数（默认按弧度处理）要判断它所在象限。 1. 操作流程：角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 ，结果都要约成 的最简分数倍。 1. 技巧·口诀：先记住 ，再由 往上推；判断弧度数所在象限时，用 、 作参照比较大小。 1. 易错点：同一题里角度与弧度不能混写，必须统一单位后再运算； 与 完全不是同一个角。 【例题精讲】 1．把 化成弧度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．把 化成角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 注意负号不能丢，C 是它的相反数。故选 A。 【变式训练】 1． 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选 C。 2．在 内，与 终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 且 。故选 B。 3． 弧度约等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 弧度 。故选 A。 【巩固练习】 1．下列各对角中，终边相同的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】B 【详解】，两角相差周角的整数倍，终边相同； 其余各组之差都不是 的整数倍。故选 B。 2．把 化成弧度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．若 ，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【详解】这里没有单位， 表示 弧度。 ，故它的终边落在第二象限。故选 B。 4．把 化成角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 它超过一周，终边与 相同，但化角度时结果仍是 。故选 A。 5．已知 ，则在 内与它终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 且 。故选 C。 6．已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 与 无包含关系 【答案】B 【详解】 中的角都是 的奇数倍（即 、、、）； 中的角是 的任意整数倍，它包含 的全部元素，还多出一类，故 。故选 B。 7．在半径为 的圆中，长为 的弧所对圆心角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由弧度数的定义 ，得 ，弧度数为 （不写单位）。故选 A。 8．若 ，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】，故它的终边落在第四象限。故选 D。 考点三 弧长公式与扇形面积公式 方法与技巧： 1. 识别信号：题中给出半径与圆心角（或弧长），求弧长、扇形面积、扇形周长。 1. 操作流程：先统一用弧度制，再代入 、、。 1. 技巧·口诀："知二求三"——在 、、、、 这五个量中，知道任意两个，其余都能列方程解出；求最值时把 写成关于 的二次函数再配方。 1. 易错点：公式里的 必须是弧度数，题目给的是 时要先化成 ；扇形周长是 ，不要漏掉两条半径。 【例题精讲】 1．已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则它的弧长与面积分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】弧长 ； 面积 。故选 A。 2．已知扇形的周长为 ，半径为 ，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】扇形周长 ，又 ，得弧长 ； 面积 。故选 B。 【变式训练】 1．扇形的圆心角不变，半径变为原来的 倍，则它的面积变为原来的（　　） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍 【答案】B 【详解】由 ，当 不变时 与 成正比， 变为 倍时 变为 倍，故面积变为原来的 倍。故选 B。 2．已知扇形的面积为 ，半径为 ，则它的圆心角（取正角）是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ， 解得 ；又圆心角为正角，故 。故选 B。 3．已知扇形的周长为 ，当它的面积最大时半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设半径为 ，则弧长 ， ， 当 时面积最大。故选 B。 【巩固练习】 1．半径为 ，圆心角为 的扇形，其弧长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先化弧度：； 弧长 。故选 B。 2．扇形的弧长为 ，半径为 ，则其圆心角的弧度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 。故选 B。 3．半径为 ，圆心角为 的扇形面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 4．已知扇形的周长是 ，圆心角是 ，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，又周长 ，得 ，； 。故选 B。 5．已知扇形的周长为 ，面积为 ，则它的半径为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【详解】由 得 ；代入 ， 得 ，整理得 ， 解得 或 ，两者都满足 。故选 C。 6．甲、乙两个扇形的半径之比为 ，圆心角之比是 ，则它们的面积之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，面积比为 。故选 B。 7．半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选 B。 8．已知扇形的周长为 ，则它的面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设半径为 ，则 ， ， 当 时取最大值 。故选 C。 考点四 象限角、区间角与角的集合表示 方法与技巧： 1. 识别信号：问"所有满足某某条件的角构成的集合"，或已知 所在象限，求 、、 的位置。 1. 操作流程：先把条件写成不等式 ，再对整个式子作加、乘、除运算，并讨论 的奇偶。 1. 技巧·口诀："乘除急着看 的奇偶"——求 要按 取 两类分别判断，求 要按 取 三类。 1. 易错点：第一象限角不能只写成 ，必须带上 ；终边落在坐标轴上的角不属于任何象限，最容易被漏掉。 【例题精讲】 1．若 是第一象限角，则 的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第一象限、第二象限或 轴正半轴 【答案】D 【详解】设 ，则 ； 由于 是 的整数倍，故 的终边落在 内，包括第一象限、第二象限，以及 时的 轴正半轴。故选 D。 2．已知 是第三象限角，则 的终边不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由 得 ； 取 ，依次落在第一、第三、第四象限，不可能落在第二象限。故选 B。 【变式训练】 1．若 是第二象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】取 ，则 ， 而 ，落在第三象限。故选 C。 2．若 是第一象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【详解】取 ，则 ，落在第二象限。故选 B。 3．终边落在 轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 轴正半轴对应 ，负半轴对应 ， 这两类终边相差 ，合并写成 。故选 B。 【巩固练习】 1．终边落在第一象限的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一象限角有无穷多个，每个都要带上 ，且 不能省略。故选 B。 2．若 是第二象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【详解】由 得 ； 当 为偶数时落在第一象限，当 为奇数时落在第三象限。故选 C。 3．集合 表示的角，其终边在第几象限（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】取 得 ，即 ，终边落在第四象限。故选 D。 4．角 的终边与 角的终边相同，则 可以写成（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。 A 选项给出的是 所在的终边，它与本角的终边关于 轴对称。故选 B。 5．若 与 的终边互为反向延长线，且 ，则 可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】终边互为反向延长线，即两角相差 的奇数倍，故 。故选 C。 6．若 是第三象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【详解】取 ，则 ， 而 ，落在第一象限。故选 A。 7．已知 ，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】， 而 ，故它是第三象限角。故选 C。 8．集合 表示的角，其终边在（　　） A． 轴正半轴 B． 轴负半轴 C．整个 轴上 D．整个 轴上 【答案】A 【详解】 即 的整数倍，这些角的终边都与 轴正半轴重合。 若写成 才覆盖整个 轴。故选 A。 考点五 任意角的实际应用 方法与技巧： 1. 识别信号：出现时钟指针、旋转轮盘、齿轮传动、铁丝围扇形等实际情境，要求转过的角、路程或最大面积。 1. 操作流程：先求出单位时间转过的弧度数（角速度），再乘时间得总角；旋转体上一点走过的路程，就是对应的弧长 。 1. 技巧·口诀：分针每小时转 ，时针每小时转 ；扇形周长一定时， 且 面积最大，最大值为 。 1. 易错点：时钟沿顺时针方向转动，形成的是负角；齿轮传动时两轮边缘经过的齿数相同，转动的圈数与齿数成反比，不要只看圈数忘了方向。 【例题精讲】 1．某时钟的分针长为 ，经过 分钟，分针端点转过的弧长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分针 分钟转一周， 分钟转过的圆心角为 ； 端点走过的路程就是这段弧长，。故选 B。 2．用一根长为 的铁丝围成一个扇形，则扇形面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设半径为 ，则弧长 ， ， 当 时取最大值 。故选 C。 【变式训练】 1．自行车链轮有 齿，每分钟转 圈，通过链条带动有 齿的飞轮转动，则飞轮每分钟转（　　） A． 圈 B． 圈 C． 圈 D． 圈 【答案】C 【详解】链条传动时，两轮边缘经过的齿数相同，故转数与齿数成反比， 飞轮每分钟转 圈。故选 C。 2．一个半径为 的轮子每秒转 圈，轮上一点每秒经过的路程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】轮子转一圈，轮上一点走过一个周长 ； 每秒转 圈，共走过 。故选 B。 3．用长为 的铁丝弯成一个扇形，当它的面积最大时半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设半径为 ，则 ， ， 当 时面积最大。故选 B。 【巩固练习】 1．分针经过 分钟，它转过的角的弧度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分针沿顺时针方向转动，形成的是负角； ，故它转过 。故选 B。 2．某扇形的圆心角为 ，面积为 ，则它的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，解得 。故选 C。 3．已知扇形半径为 ，要使它的面积不小于 ，则圆心角至少应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ， 解得 ，故最小圆心角为 。故选 C。 4．用长为 的铁丝围成扇形，它的最大面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设半径为 ，则 ， ， 当 时取最大值 。故选 B。 5．若某扇形的弧长恰好等于它的半径，则它的圆心角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，又已知 ，故 。这正是 弧度角的定义。故选 A。 6．一个半径为 的轮子，每秒转过 弧度，轮周上一点 秒经过的路程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】走过的路程就是对应的弧长，。故选 A。 7．某扇形的圆心角为 ，面积为 ，则它的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先化弧度：； 由 得 ，解得 。故选 C。 8．时钟的时针长为 ，从中午 点到下午 点，时针端点经过的路程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】时针 小时转一周， 小时转过 ； 端点路程 。故选 A。 三、达标检测 1．把 化成弧度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．与 终边相同的最小正角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 且 。故选 A。 3．若 是锐角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．无法判断 【答案】A 【详解】锐角的范围是 ，其终边必落在第一象限。故选 A。 4．半径为 ，圆心角为 的扇形，其面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 。故选 B。 5．若 是第四象限角，则 是（　　） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一或第三象限角 【答案】C 【详解】由 得 ； 当 为偶数时落在第四象限，当 为奇数时落在第二象限。故选 C。 6．终边在直线 上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线 的倾斜角为 ，它经过第一、三象限， 故终边对应的角为 与 ，合并写成 。故选 B。 7．扇形的周长为 ，则它的面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设半径为 ，则 ， ， 当 时取最大值 。故选 A。 8．若 ，则它的终边在第几象限（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】， 而 ，故终边落在第三象限。故选 C。 9．已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 与 无包含关系 【答案】C 【详解】在 中， 为偶数时终边在 轴正半轴， 为奇数时在负半轴，合起来就是整个 轴； 而 中 也正是这两类终边，故 。故选 C。 10．把 弧度化成角度是（　　） A．约 B． C． D．约 【答案】A 【详解】 弧度 。故选 A。 11．若扇形的圆心角扩大为原来的 倍，半径缩小为原来的 ，则它的面积（　　） A．不变 B．扩大为原来的 倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【详解】由 ，面积变为原来的 倍， 即缩小为原来的 。故选 C。 12．已知 是第三象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】取 ，则 ， 而 ，落在第四象限。故选 D。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 任意角和弧度制 考点预览 考点一 任意角的概念与终边相同的角 考点二 弧度制的概念与角度弧度互化 考点三 弧长公式与扇形面积公式 考点四 象限角、区间角与角的集合表示 考点五 任意角的实际应用 一、知识填空 1．任意角 （1）按旋转方向，角分为 、 和 ；逆时针旋转而成的角叫做 ，顺时针旋转而成的角叫做 ，没有作任何旋转时形成的角叫做 。 （2）角的终边落在第几象限，就称这个角是 ；终边落在 上的角不属于任何象限。 （3）所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成的集合是 。 2．弧度制 （1）把长度等于 的弧所对的圆心角叫做 弧度的角，弧度记作 。 （2）正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数等于 。 （3）在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对圆心角为 ，则 。 3．角度与弧度的换算 （1） rad， rad； （2） rad，约为 rad； rad ，约为 ； （3）特殊角： ， ， ， 。 4．弧长公式与扇形面积公式 （1）弧长公式 （ 为圆心角的弧度数）； （2）扇形面积公式 ； （3）扇形的周长 。 5．常用结论 （1）终边在 轴上的角的集合是 ；终边在 轴上的角的集合是 ；终边在坐标轴上的角的集合是 。 （2）终边在直线 上的角的集合是 。 （3）用长为 的铁丝围成扇形，当半径 时面积最大，最大值为 。 二、考点专练 考点一 任意角的概念与终边相同的角 方法与技巧： 1. 识别信号：题中给出一个任意的角（常带负号或超过 ），问它是第几象限角，或问哪些角与它终边相同。 1. 操作流程：先把角写成 （）的形式，再让余下的部分落在 内，最后按区间判断象限。 1. 技巧·口诀："加减小周角，余数定象限"； 为一， 为二， 为三， 为四。 1. 易错点：锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角（如 ）；终边落在坐标轴上的角不属于任何象限。 【例题精讲】 1．下列四个角中，是第三象限角的是（　　） A． B． C． D． 2．与 角终边相同的最小正角是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1． 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．终边在直线 上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 3．若 ，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【巩固练习】 1．下列说法中正确的是（　　） A．第一象限角一定小于第二象限角 B．锐角一定是第一象限角 C．小于 的角一定是锐角 D．第一象限角一定是锐角 2．若 是第四象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．钟表上时针经过 小时，它转过的角的弧度数是（　　） A． B． C． D． 4．若角 与角 的终边关于 轴对称，且 ，则 可以是（　　） A． B． C． D． 5．下列角中，与 终边相同的是（　　） A． B． C． D． 6．若角 的终边与 角的终边相同，则在 内与 终边相同的角是（　　） A． B． C． 或 D． 7．已知 是第二象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 8．集合 中，落在 到 之间（含端点）的角共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 考点二 弧度制的概念与角度弧度互化 方法与技巧： 1. 识别信号：题目要求把 化成弧度（或反过来），或出现了没有单位的数（默认按弧度处理）要判断它所在象限。 1. 操作流程：角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 ，结果都要约成 的最简分数倍。 1. 技巧·口诀：先记住 ，再由 往上推；判断弧度数所在象限时，用 、 作参照比较大小。 1. 易错点：同一题里角度与弧度不能混写，必须统一单位后再运算； 与 完全不是同一个角。 【例题精讲】 1．把 化成弧度是（　　） A． B． C． D． 2．把 化成角度是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1． 等于（　　） A． B． C． D． 2．在 内，与 终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 3． 弧度约等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．下列各对角中，终边相同的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 2．把 化成弧度是（　　） A． B． C． D． 3．若 ，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．把 化成角度是（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则在 内与它终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 与 无包含关系 7．在半径为 的圆中，长为 的弧所对圆心角是（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 考点三 弧长公式与扇形面积公式 方法与技巧： 1. 识别信号：题中给出半径与圆心角（或弧长），求弧长、扇形面积、扇形周长。 1. 操作流程：先统一用弧度制，再代入 、、。 1. 技巧·口诀："知二求三"——在 、、、、 这五个量中，知道任意两个，其余都能列方程解出；求最值时把 写成关于 的二次函数再配方。 1. 易错点：公式里的 必须是弧度数，题目给的是 时要先化成 ；扇形周长是 ，不要漏掉两条半径。 【例题精讲】 1．已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则它的弧长与面积分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．已知扇形的周长为 ，半径为 ，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．扇形的圆心角不变，半径变为原来的 倍，则它的面积变为原来的（　　） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍 2．已知扇形的面积为 ，半径为 ，则它的圆心角（取正角）是（　　） A． B． C． D． 3．已知扇形的周长为 ，当它的面积最大时半径为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．半径为 ，圆心角为 的扇形，其弧长是（　　） A． B． C． D． 2．扇形的弧长为 ，半径为 ，则其圆心角的弧度数是（　　） A． B． C． D． 3．半径为 ，圆心角为 的扇形面积是（　　） A． B． C． D． 4．已知扇形的周长是 ，圆心角是 ，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 5．已知扇形的周长为 ，面积为 ，则它的半径为（　　） A． B． C． 或 D． 6．甲、乙两个扇形的半径之比为 ，圆心角之比是 ，则它们的面积之比是（　　） A． B． C． D． 7．半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角是（　　） A． B． C． D． 8．已知扇形的周长为 ，则它的面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 考点四 象限角、区间角与角的集合表示 方法与技巧： 1. 识别信号：问"所有满足某某条件的角构成的集合"，或已知 所在象限，求 、、 的位置。 1. 操作流程：先把条件写成不等式 ，再对整个式子作加、乘、除运算，并讨论 的奇偶。 1. 技巧·口诀："乘除急着看 的奇偶"——求 要按 取 两类分别判断，求 要按 取 三类。 1. 易错点：第一象限角不能只写成 ，必须带上 ；终边落在坐标轴上的角不属于任何象限，最容易被漏掉。 【例题精讲】 1．若 是第一象限角，则 的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第一象限、第二象限或 轴正半轴 2．已知 是第三象限角，则 的终边不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练】 1．若 是第二象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．若 是第一象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．终边落在 轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．终边落在第一象限的角的集合是（　　） A． B． C． D． 2．若 是第二象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 3．集合 表示的角，其终边在第几象限（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．角 的终边与 角的终边相同，则 可以写成（　　） A． B． C． D． 5．若 与 的终边互为反向延长线，且 ，则 可以是（　　） A． B． C． D． 6．若 是第三象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．已知 ，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 8．集合 表示的角，其终边在（　　） A． 轴正半轴 B． 轴负半轴 C．整个 轴上 D．整个 轴上 考点五 任意角的实际应用 方法与技巧： 1. 识别信号：出现时钟指针、旋转轮盘、齿轮传动、铁丝围扇形等实际情境，要求转过的角、路程或最大面积。 1. 操作流程：先求出单位时间转过的弧度数（角速度），再乘时间得总角；旋转体上一点走过的路程，就是对应的弧长 。 1. 技巧·口诀：分针每小时转 ，时针每小时转 ；扇形周长一定时， 且 面积最大，最大值为 。 1. 易错点：时钟沿顺时针方向转动，形成的是负角；齿轮传动时两轮边缘经过的齿数相同，转动的圈数与齿数成反比，不要只看圈数忘了方向。 【例题精讲】 1．某时钟的分针长为 ，经过 分钟，分针端点转过的弧长是（　　） A． B． C． D． 2．用一根长为 的铁丝围成一个扇形，则扇形面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．自行车链轮有 齿，每分钟转 圈，通过链条带动有 齿的飞轮转动，则飞轮每分钟转（　　） A． 圈 B． 圈 C． 圈 D． 圈 2．一个半径为 的轮子每秒转 圈，轮上一点每秒经过的路程是（　　） A． B． C． D． 3．用长为 的铁丝弯成一个扇形，当它的面积最大时半径为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．分针经过 分钟，它转过的角的弧度数是（　　） A． B． C． D． 2．某扇形的圆心角为 ，面积为 ，则它的半径为（　　） A． B． C． D． 3．已知扇形半径为 ，要使它的面积不小于 ，则圆心角至少应为（　　） A． B． C． D． 4．用长为 的铁丝围成扇形，它的最大面积是（　　） A． B． C． D． 5．若某扇形的弧长恰好等于它的半径，则它的圆心角是（　　） A． B． C． D． 6．一个半径为 的轮子，每秒转过 弧度，轮周上一点 秒经过的路程是（　　） A． B． C． D． 7．某扇形的圆心角为 ，面积为 ，则它的半径为（　　） A． B． C． D． 8．时钟的时针长为 ，从中午 点到下午 点，时针端点经过的路程是（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．把 化成弧度是（　　） A． B． C． D． 2．与 终边相同的最小正角是（　　） A． B． C． D． 3．若 是锐角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．无法判断 4．半径为 ，圆心角为 的扇形，其面积是（　　） A． B． C． D． 5．若 是第四象限角，则 是（　　） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一或第三象限角 6．终边在直线 上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 7．扇形的周长为 ，则它的面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则它的终边在第几象限（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 与 无包含关系 10．把 弧度化成角度是（　　） A．约 B． C． D．约 11．若扇形的圆心角扩大为原来的 倍，半径缩小为原来的 ，则它的面积（　　） A．不变 B．扩大为原来的 倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 12．已知 是第三象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 学科网（北京）股份有限公司 $