5.终边在角平分线上的角的集合表示（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 5.终边在角平分线上的角的集合表示（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】终边在坐标轴夹角平分线上的角的集合（第一、三象限角平分线） ￮ 定义表述：平面直角坐标系中，终边落在第一、三象限角平分线上的角，其角度大小相差（即弧度）的整数倍。 ￮ 数学符号/表达式： 角度制： 弧度制： ￮ 关键特征：角的终边经过点（），角的正切值。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的定义域求解、三角函数值的判断。 2. 【概念2】终边在坐标轴夹角平分线上的角的集合（第二、四象限角平分线） ￮ 定义表述：平面直角坐标系中，终边落在第二、四象限角平分线上的角，其角度大小相差（即弧度）的整数倍。 ￮ 数学符号/表达式： 角度制： 弧度制： ￮ 关键特征：角的终边经过点（），角的正切值。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的周期性分析、角的象限判断。 3. 【概念3】终边在任意角平分线上的角的集合 ￮ 定义表述：若已知角的终边位置，那么终边落在角的平分线上的角，与角的终边相差（即弧度）的整数倍。 ￮ 数学符号/表达式： 角度制： 弧度制： ￮ 关键特征：角平分线将原角分成两个相等的角，终边具有周期性重复的特点。 ￮ 跨章节关联：适用于角的对称问题分析、三角函数的对称性应用。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 第一、三象限角平分线角的集合 集合表达式中的取值为全体整数，周期为（弧度） 误将周期写成（弧度），写成 已知，错误认为只有和，忽略等第三象限的角 第二、四象限角平分线角的集合 集合表达式可统一写为，涵盖二、四象限 拆分写成两个集合和，未合并为统一形式 求的角的集合，错误拆分为两个独立集合，未利用周期简化 角平分线角集合的周期性 终边在角平分线上的角的最小正周期为（），而非（） 混淆终边相同角的周期与角平分线角的周期，认为所有终边相关角的周期都是 求终边在第一、三象限角平分线上的角，错误套用终边相同角的公式，得到周期为的错误集合 三、题型分类与例题精析 题型1：终边在坐标轴夹角平分线上的角的集合表示（角度制） 题型特征：明确要求用角度制表示终边落在第一、三或第二、四象限角平分线上的角的集合，侧重基础公式的直接应用。 解题步骤： 1. 确定目标角平分线所在的象限，找到一个基准角（如第一、三象限取，第二、四象限取）； 2. 根据终边重复的周期为，给基准角加上（）； 3. 整理写出标准的集合表达式。 例题1：用角度制表示终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合。 举一反三1-1：用角度制表示终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合。 举一反三1-2：终边落在坐标轴夹角平分线上的角的集合是（） A. B. C. D. 举一反三1-3：写出终边落在第一象限角平分线上的角的集合（角度制）。 题型2：终边在坐标轴夹角平分线上的角的集合表示（弧度制） 题型特征：明确要求用弧度制表示终边落在坐标轴夹角平分线上的角的集合，需要熟练进行角度与弧度的换算。 解题步骤： 1. 将基准角换算为弧度（如，）； 2. 根据周期弧度，给基准角加上（）； 3. 整理写出标准的弧度制集合表达式。 例题2：用弧度制表示终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合。 举一反三2-1：用弧度制表示终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合。 举一反三2-2：下列集合中，表示终边落在坐标轴夹角平分线上的角的集合是（） A. B. C. D. 举一反三2-3：写出终边落在第四象限角平分线上的角的集合（弧度制）。 题型3：已知角的终边位置，求其角平分线的角的集合 题型特征：已知一个角的终边位置，求终边落在角平分线上的角的集合，侧重角平分线概念的灵活应用。 解题步骤： 1. 计算已知角的半角，作为角平分线的基准角； 2. 根据角平分线终边的周期为（），给半角加上（或）（）； 3. 整理写出角平分线角的集合表达式。 例题3：已知角的终边与角的终边相同，求终边落在角平分线上的角的集合（角度制）。 举一反三3-1：已知角的终边与的终边相同，求终边落在角平分线上的角的集合（弧度制）。 举一反三3-2：若角的终边在第二象限，且与角的终边相同，求其角平分线的角的集合（角度制）。 举一反三3-3：已知角，求终边落在角平分线上的角的集合（弧度制）。 题型4：终边在角平分线上的角的集合的综合应用（求三角函数值） 题型特征：已知角的终边在角平分线上，求的三角函数值，侧重集合与三角函数定义的综合应用。 解题步骤： 1. 根据角的集合表达式，确定的一个具体取值（如或）； 2. 结合三角函数的定义或特殊角的三角函数值，计算目标函数值； 3. 根据周期性，验证函数值的一致性。 例题4：已知角的终边在第一、三象限的角平分线上，求的值。 举一反三4-1：已知角的终边在第二、四象限的角平分线上，求的值。 举一反三4-2：已知角的终边在坐标轴夹角平分线上，求的值。 举一反三4-3：若角的集合为，则的可能值为（） A. B. C. D. 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合（角度制）是（） A. B. C. D. 2. 多选题：下列关于终边在第二、四象限角平分线上的角的集合的说法，正确的有（） A. 角度制表示为 B. 弧度制表示为 C. 集合中角的正切值都为 D. 集合中角的周期为（弧度制） 3. 填空题：用弧度制表示终边落在第四象限角平分线上的角的集合为______。 4. 解答题 (1) 用角度制表示终边落在坐标轴夹角平分线上的角的集合。 (2) 已知角的终边在第一、三象限角平分线上，且，求的所有取值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题：终边落在第一象限角平分线和终边落在第一、三象限角平分线的角的集合的关系是（） A. 前者是后者的子集 B. 后者是前者的子集 C. 两者相等 D. 没有包含半系 2. 多选题：已知角的集合为，则下列角中，终边与的终边重合的有（） A. B. C. D. 3. 填空题：已知角的终边与角的终边相同，那么终边落在角平分线上的角的集合（角度制）为______。 4. 解答题 (1) 用弧度制写出终边落在坐标轴夹角平分线上的角的集合，并判断是否在该集合中。 (2) 已知角的终边在第二、四象限角平分线上，且，求的一个取值（弧度制）。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题：若角满足，且，则的集合为（） A. B. C. D. 2. 多选题：已知角的终边在角平分线上，且，则的可能取值有（） A. B. C. D. 3. 填空题：已知角和角的终边关于轴对称，且的终边在第一、三象限角平分线上，则的集合（弧度制）为______。 4. 解答题 (1) 已知角的集合为，求所有与终边重合且在内的角。 (2) 已知角的终边在第一、三象限角平分线上，角的终边在第二、四象限角平分线上，求的终边所在的位置。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 5.终边在角平分线上的角的集合表示（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】终边在坐标轴夹角平分线上的角的集合（第一、三象限角平分线） ￮ 定义表述：平面直角坐标系中，终边落在第一、三象限角平分线上的角，其角度大小相差（即弧度）的整数倍。 ￮ 数学符号/表达式： 角度制： 弧度制： ￮ 关键特征：角的终边经过点（），角的正切值。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的定义域求解、三角函数值的判断。 2. 【概念2】终边在坐标轴夹角平分线上的角的集合（第二、四象限角平分线） ￮ 定义表述：平面直角坐标系中，终边落在第二、四象限角平分线上的角，其角度大小相差（即弧度）的整数倍。 ￮ 数学符号/表达式： 角度制： 弧度制： ￮ 关键特征：角的终边经过点（），角的正切值。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的周期性分析、角的象限判断。 3. 【概念3】终边在任意角平分线上的角的集合 ￮ 定义表述：若已知角的终边位置，那么终边落在角的平分线上的角，与角的终边相差（即弧度）的整数倍。 ￮ 数学符号/表达式： 角度制： 弧度制： ￮ 关键特征：角平分线将原角分成两个相等的角，终边具有周期性重复的特点。 ￮ 跨章节关联：适用于角的对称问题分析、三角函数的对称性应用。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 第一、三象限角平分线角的集合 集合表达式中的取值为全体整数，周期为（弧度） 误将周期写成（弧度），写成 已知，错误认为只有和，忽略等第三象限的角 第二、四象限角平分线角的集合 集合表达式可统一写为，涵盖二、四象限 拆分写成两个集合和，未合并为统一形式 求的角的集合，错误拆分为两个独立集合，未利用周期简化 角平分线角集合的周期性 终边在角平分线上的角的最小正周期为（），而非（） 混淆终边相同角的周期与角平分线角的周期，认为所有终边相关角的周期都是 求终边在第一、三象限角平分线上的角，错误套用终边相同角的公式，得到周期为的错误集合 三、题型分类与例题精析 题型1：终边在坐标轴夹角平分线上的角的集合表示（角度制） 题型特征：明确要求用角度制表示终边落在第一、三或第二、四象限角平分线上的角的集合，侧重基础公式的直接应用。 解题步骤： 1. 确定目标角平分线所在的象限，找到一个基准角（如第一、三象限取，第二、四象限取）； 2. 根据终边重复的周期为，给基准角加上（）； 3. 整理写出标准的集合表达式。 例题1：用角度制表示终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合。 解析： 第一步，确定基准角：第一、三象限角平分线的一个基准角为； 第二步，确定周期：终边每旋转会再次落在该角平分线上，周期为； 第三步，写出集合：。 答案： 举一反三1-1：用角度制表示终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合。 解析： 基准角取，周期为，因此集合为。 答案： 举一反三1-2：终边落在坐标轴夹角平分线上的角的集合是（） A. B. C. D. 解析： 终边在坐标轴夹角平分线上包含第一、三象限和第二、四象限两种情况，合并后基准角取，周期为，对应集合为，选C。 答案：C 举一反三1-3：写出终边落在第一象限角平分线上的角的集合（角度制）。 解析： 第一象限角平分线的基准角为，终边重复周期为，因此集合为。 答案： 题型2：终边在坐标轴夹角平分线上的角的集合表示（弧度制） 题型特征：明确要求用弧度制表示终边落在坐标轴夹角平分线上的角的集合，需要熟练进行角度与弧度的换算。 解题步骤： 1. 将基准角换算为弧度（如，）； 2. 根据周期弧度，给基准角加上（）； 3. 整理写出标准的弧度制集合表达式。 例题2：用弧度制表示终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合。 解析： 对应的弧度为，周期弧度，因此集合为。 答案： 举一反三2-1：用弧度制表示终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合。 解析： 对应的弧度为，周期弧度，因此集合为。 答案： 举一反三2-2：下列集合中，表示终边落在坐标轴夹角平分线上的角的集合是（） A. B. C. D. 解析： 终边在坐标轴夹角平分线包含两类情况，合并后周期为，基准角，对应集合，选C。 答案：C 举一反三2-3：写出终边落在第四象限角平分线上的角的集合（弧度制）。 解析： 第四象限角平分线的一个基准角为，终边重复周期为，因此集合为。 答案： 题型3：已知角的终边位置，求其角平分线的角的集合 题型特征：已知一个角的终边位置，求终边落在角平分线上的角的集合，侧重角平分线概念的灵活应用。 解题步骤： 1. 计算已知角的半角，作为角平分线的基准角； 2. 根据角平分线终边的周期为（），给半角加上（或）（）； 3. 整理写出角平分线角的集合表达式。 例题3：已知角的终边与角的终边相同，求终边落在角平分线上的角的集合（角度制）。 解析： 由题意得（），则角平分线的基准角为； 结合周期，最终集合为。 答案： 举一反三3-1：已知角的终边与的终边相同，求终边落在角平分线上的角的集合（弧度制）。 解析： （），半角为； 周期为，因此集合为。 答案： 举一反三3-2：若角的终边在第二象限，且与角的终边相同，求其角平分线的角的集合（角度制）。 解析： （），半角为； 周期为，因此集合为。 答案： 举一反三3-3：已知角，求终边落在角平分线上的角的集合（弧度制）。 解析： 半角为，周期为，因此集合为。 答案： 题型4：终边在角平分线上的角的集合的综合应用（求三角函数值） 题型特征：已知角的终边在角平分线上，求的三角函数值，侧重集合与三角函数定义的综合应用。 解题步骤： 1. 根据角的集合表达式，确定的一个具体取值（如或）； 2. 结合三角函数的定义或特殊角的三角函数值，计算目标函数值； 3. 根据周期性，验证函数值的一致性。 例题4：已知角的终边在第一、三象限的角平分线上，求的值。 解析： 由（），当为偶数时，，； 当为奇数时，，； 综上，。 答案： 举一反三4-1：已知角的终边在第二、四象限的角平分线上，求的值。 解析： （），当为偶数时，，； 当为奇数时，，； 综上，。 答案： 举一反三4-2：已知角的终边在坐标轴夹角平分线上，求的值。 解析： 终边在第一、三象限角平分线时，在第二、四象限角平分线时，综上。 答案： 举一反三4-3：若角的集合为，则的可能值为（） A. B. C. D. 解析： 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上，可能值为，选ABC。 答案：ABC 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合（角度制）是（） A. B. C. D. 解析： 第一、三象限角平分线的基准角，周期，对应集合为选项B。 答案：B 2. 多选题：下列关于终边在第二、四象限角平分线上的角的集合的说法，正确的有（） A. 角度制表示为 B. 弧度制表示为 C. 集合中角的正切值都为 D. 集合中角的周期为（弧度制） 解析： 选项A、B符合第二、四象限角平分线角的集合表达式；终边在该线上的角，选项C正确；周期为，选项D错误。 答案：ABC 3. 填空题：用弧度制表示终边落在第四象限角平分线上的角的集合为______。 解析： 第四象限角平分线的基准角为，终边重复周期为，因此集合为。 答案： 4. 解答题 (1) 用角度制表示终边落在坐标轴夹角平分线上的角的集合。 解析： 终边在坐标轴夹角平分线包含第一、三象限（）和第二、四象限（），合并后周期为，集合为。 答案： (2) 已知角的终边在第一、三象限角平分线上，且，求的所有取值。 解析： 由（），当时，当时，均满足。 答案：， （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题：终边落在第一象限角平分线和终边落在第一、三象限角平分线的角的集合的关系是（） A. 前者是后者的子集 B. 后者是前者的子集 C. 两者相等 D. 没有包含半系 解析： 第一象限角平分线的集合为，第一、三象限角平分线的集合为，前者的元素都在后者中，前者是后者的子集，选A。 答案：A 2. 多选题：已知角的集合为，则下列角中，终边与的终边重合的有（） A. B. C. D. 解析： 分别令，可得，均在集合中，选ABCD。 答案：ABCD 3. 填空题：已知角的终边与角的终边相同，那么终边落在角平分线上的角的集合（角度制）为______。 解析： （），半角为，周期，集合为。 答案： 4. 解答题 (1) 用弧度制写出终边落在坐标轴夹角平分线上的角的集合，并判断是否在该集合中。 解析： 终边在坐标轴夹角平分线上的角的集合为； 令，解得，因此在该集合中。 答案：集合为；在该集合中 (2) 已知角的终边在第二、四象限角平分线上，且，求的一个取值（弧度制）。 解析： （），当为偶数时，，此时； 取，则。 答案：（答案不唯一） （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题：若角满足，且，则的集合为（） A. B. C. D. 解析： 说明在第一、三象限角平分线上，说明在第三象限，基准角为，周期，集合为选项D。 答案：D 2. 多选题：已知角的终边在角平分线上，且，则的可能取值有（） A. B. C. D. 解析： 终边在角平分线上的角的集合为，令，可得，均在内，选ABCD。 答案：ABCD 3. 填空题：已知角和角的终边关于轴对称，且的终边在第一、三象限角平分线上，则的集合（弧度制）为______。 解析： （），终边关于轴对称的角满足，代入得（）。 答案： 4. 解答题 (1) 已知角的集合为，求所有与终边重合且在内的角。 解析： 令，；，；，；，； 均在内。 答案：，，， (2) 已知角的终边在第一、三象限角平分线上，角的终边在第二、四象限角平分线上，求的终边所在的位置。 解析： 设（），（）； 则（）； 令，则（），终边在轴上。 答案：终边在轴上 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $