第五单元 第7课时 比和比例——用正比例解决问题（教学设计）数学冀教版六年级数学上册（新教材）

第五单元 第7课时 用正比例解决问题 教学设计 课程基本信息: 学科·版本 数学·冀教版 授课班级 授课教师 年 级 六年级 学 期 上学期 单 元 五 比和比例 课 题 第7课时 用正比例解决问题 一、教材内容分析 （一）知识内涵 （1）本节课是学生掌握正比例基本概念之后的核心拓展内容，在整个数与代数知识体系中起到承上启下的关键作用：既衔接之前学习的常见数量关系、正比例的判定方法等旧知，将具象的正比例规律抽象为代数表达，也为后续学习反比例关系、比例实际应用，乃至初中阶段的正比例函数学习搭建认知桥梁，帮助学生完成从固定量运算到变量关系探究的思维跨越。 （2）本节教材完全依托生活化场景展开内容呈现：开篇以超市购买苹果的真实情境切入，先通过填写总价数量对应表格，唤醒学生对正比例变化规律的已有认知，随后引导学生用字母指代两个变量，自主推导得出与两个正比例关系表达式，紧接着设置“议一议”环节引导学生辨析两个式子的异同，再通过问题讨论梳理表达式的双向应用场景，最后设置自主提问环节完成探究输出；后续第70页的“练一练”板块选取货车行驶、服装厂用布、打印机打印照片三个不同领域的生活化习题，按照“填变量对应表格-写字母表达式-双向求解实际问题-自主出题”的梯度设置任务，实现知识的迁移巩固。 （3）教材编排严格遵循小学生的认知发展规律，整体逻辑线索为“具象情境感知-规律抽象表达-辨析深化理解-多元场景应用”，全程没有直接灌输正比例字母公式，而是以学生对话气泡的方式呈现不同认知阶段的思考成果，充分凸显学生的学习主体地位，意图引导学生完整经历正比例关系表达式的生成过程，深度理解符号表达背后的实际意义，避免机械记忆公式。 （二）素养内涵 本节课主要承载符号意识、模型意识、运算能力、推理意识、应用意识五大数学核心素养，具体表现如下： （1）符号意识：打破学生以往用字母指代固定数值的认知局限，引导学生理解此处的、可以代表连续变化的数量，学会用抽象的字母表达式精准概括总价与数量的依存关系，感知符号表达的简洁性与通用性。 （2）模型意识：从苹果单价固定的单一实例中提炼出正比例关系的通用表达模型，再将模型迁移到速度固定的路程时间关系、单套用布量固定的总用布量与套数关系等多个同类场景中，帮助学生感知所有比值固定的两个变量的正比例关系，都可以用同类形式的表达式刻画，建立初步的函数模型认知。 （3）运算能力：在填写变量对应表格、已知数量求总价、已知总价求数量等任务中，引导学生结合实际情境灵活调用小数乘除法运算，避免脱离场景的机械计算，提升运算的灵活性与实用性。 （4）推理意识：学生从表格中总价随数量成倍数增长的具体数据出发，归纳推理出单价一定时总价与数量的正比例属性，再通过对比两个正比例表达式的异同，推理得出两个式子分别的适用场景，完成从具体现象到通用规律的归纳推理过程。 （5）应用意识：引导学生用探究得到的正比例表达式解决购物、出行、工业生产等多个领域的真实问题，还鼓励学生结合生活场景自主提出正比例相关数学问题并解答，让学生充分感知数学知识的现实应用价值，建立用数学规律解决实际问题的主动意识。 二、教学目标： 1. 经历填表梳理数量关系的过程，掌握正比例的两种表达形式，能代入求解对应量。 2. 通过对比正比例不同表达式的异同，提升抽象概括与逻辑推理能力。 3. 在解决生活相关问题的过程中，体会正比例应用价值，发展数学应用意识。 三、重点难点： 1. 教学重点：掌握正比例关系的两种表达形式，能利用正比例关系式求解对应量的数值。 2. 教学难点：理解两个正比例表达式的异同，准确把握正比例关系的核心内涵。 教学流程 一、复习旧知引入 教师活动：提问：我们已经学过常见的数量关系，谁能说一说总价、数量、单价，路程、时间、速度分别有什么关系？ 学生活动：回忆旧知，举手回答，说出三组基本数量关系式。 教师过渡：当单价或速度固定不变时，另外两个量存在怎样的变化规律？今天我们就来研究这种特殊的数量关系——正比例。 【设计意图：激活学生已有的数量关系知识经验，为新知搭建学习脚手架，通过问题引发探究欲望，明确本节课学习方向。】 二、探究新知 学习任务一：依托苹果购物情境，感知正比例的变化特征 超市苹果每千克7.5元，买1千克、2千克、3千克……分别需要多少元？ 活动1：计算填表，梳理变量变化规律 教师活动：出示教材中“超市苹果单价为7.5元/千克”的生活情境，抛出核心问题1： 已知苹果单价固定为7.5元每千克，请同学们独立完成表格中空缺的总价填写，填完后观察表格中数量和总价的对应数值，说一说你发现了哪些变化规律？ 学生活动：独立完成计算，依次得出3千克对应总价22.5元、4千克对应30元、5千克对应37.5元、6千克对应45元；随后以4人小组为单位交流观察结果，逐步梳理出共性规律：购买的数量每增加1千克，总价就对应增加7.5元，总价扩大的倍数和数量扩大的倍数完全一致，全程单价没有发生变化。 教师活动：引导学生结合之前所学的正比例概念进行总结：像这样单价固定不变，总价随着数量的增减而同比例增减，我们就可以说总价和数量成正比例关系。请大家说一说这里的两个关联变量分别是什么，不变的定值是什么？ 学生活动：集体回应，关联变量是购买苹果的数量和对应的总价，不变的定值是苹果的单价7.5元/千克。 【设计意图：从学生熟悉的日常购物场景切入，通过动手计算填表的具象操作，让学生亲历变量的同步变化过程，将抽象的正比例概念转化为可感知的数值规律，落实“理解正比例实际意义”的教学目标，突破“识别正比例关联的两个变量”的学习难点，渗透“变中有不变”的数学思想，指向数感与数据分析观念的核心素养培育。】 学习任务二 抽象正比例字母表达式，辨析关系式的异同 活动2：自主推导，对比辨析关系式特征 教师活动：抛出核心问题2： 如果我们用字母表示购买苹果的数量，用字母表示对应的总价，结合我们刚刚发现的“单价始终为7.5元”的不变规律，你能尝试用含有字母的式子表示出题中的数量关系吗？ 学生活动：独立尝试书写关系式，完成后和同桌互相展示自己的成果，部分学生写出，部分学生写出。 教师活动：将两个学生生成的关系式同步板书在黑板上，抛出核心问题3：请大家以小组为单位议一议，这两个表示正比例关系的式子，有什么相同点，又存在哪些不同点？给大家3分钟时间完成讨论。 学生活动：小组讨论后派代表发言，梳理得出相同点：两个式子都包含定值7.5，都能体现总价和数量的正比例关联，都能说明总价和数量的比值是恒定的；不同点：是用“两个变量的比值为定值”的形式，直接体现正比例的核心判定规则，是用“变量等于定值乘另一变量”的形式，更直观呈现两个变量的一一对应关系。 教师活动：对学生的总结进行补充归纳：两种形式都是正比例关系的合法表达，前者突出正比例的本质属性，后者更便于直接计算两个变量的对应取值。 【设计意图：引导学生从具象的数值规律上升到抽象的字母表达式，完成从具体感知到形式化概念的建构过程，通过对比辨析两个关系式的异同，深化学生对正比例本质属性的理解，突破“掌握正比例关系式两种表达形式”的教学重难点，渗透符号化数学思想，指向符号意识与合情推理能力的核心素养培育。】 学习任务三 应用正比例关系式，完成双向问题求解 活动3：自主编题，灵活运用关系式解题 教师活动：抛出核心问题4：结合我们得到的这个正比例关系式，想一想我们可以借助它解决哪些类型的实际问题？请大家结合苹果购物的场景，自己提出1个数学问题并独立解答，完成后和同桌交换题目互相批改。 学生活动：独立思考后自主编题，部分学生提出“已知购买苹果的数量是6.8千克，求对应的总价”，代入算出总价为51元；部分学生提出“已知带了90元全部买苹果，能买到多少千克”，代入算出对应数量为12千克；随后同桌交换题目完成互评，梳理出两类典型题型：已知自变量的取值求因变量，已知因变量的取值求自变量。 教师活动：引导学生共同总结：只要确定了正比例关系式，已知两个变量中任意一个的取值，都可以快速求出另一个变量的对应值，这就是正比例关系的实用价值。 【设计意图：通过开放式的自主编题解题活动，让学生将正比例的概念理解转化为实际问题解决能力，落实“能灵活运用正比例关系解决实际问题”的教学目标，突破“正比例关系式双向求解”的应用难点，体现以学生为主体的探究式教学理念，指向应用意识的核心素养培育。】 三、课堂练习 1．一辆货车平均每小时行驶60千米，完成下表。 路程=速度×时间 当时间=3小时，路程=60×3 = 180(千米)； 当时间=4小时，路程=60×4 = 240(千米)； 当时间=5小时，路程=60×5 = 300(千米)； 当时间=6小时，路程=60×6 = 360(千米)。 (1)用s表示路程，用t表示时间，写出求路程的表达式。 路程=速度×时间 s = 60t (2)这辆货车照这样的速度行驶7.5小时，能行驶多少千米？ s = 60t s = 60×7.5 s = 450 答：能行驶450千米。 2. 服装厂做一种服装，做的套数和用布的米数成正比例。 (1)把下面的表格填完整。 330 187 50 36 17.6 (2)如果要做120套这样的服装，至少需要准备多少米布？ y = 2.2x y = 2.2×120 y = 264 (3)服装厂购进396米布，能做这种服装多少套？ y = 2.2x 396 = 2.2x x = 396÷2.2 x = 180 答：能做这种服装180套。 3. 一台彩色打印机每分钟打印2张照片，完成下表。 12 10 6 8 (1)用a表示打印照片的数量，用t表示时间，写出求数量的表达式。 a = 2t (2)自己提出数学问题，并解答。 问题：如果准备打印20张照片，需要花费多少时间？ a = 2t 20 = 2t t = 20÷2 t = 10 答：需要花费10分钟。 【设计意图：充分利用相关习题资源，引导学生边学边练，有利于对知识的及时巩固，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。】 四、课堂总结 这节课我们从生活中的常见数量场景出发，通过填表观察、对比分析，梳理出了正比例关系的核心特点：当两个相关联的量的比值固定不变时，这两个量就成正比例关系。我们还学会了用两种含有字母的式子表示正比例关系，分别是（k是固定不变的定值）和。我们也掌握了这类正比例关系式的用法：只要知道两个关联量中任意一个的数值，就能算出另一个对应的数值。大家课后也可以找找身边更多成正比例关系的场景，试着写出对应的关系式巩固今天的知识哦。 五、课后作业设计 基础性作业 1. 学校门口文具店的钢笔单价为8元/支，购买钢笔的数量与总价的对应关系如下表，请完成以下任务： 数量（支） 1 2 3 4 5 6 … 总价（元） 8 16 … （1）把表格补充完整，说一说总价和数量成正比例关系吗？为什么？ （2）如果用表示购买钢笔的数量，用表示总价，请写出对应的正比例关系表达式。 2. 张叔叔骑电动车匀速行驶，每小时可以行25千米，请完成下面问题： （1）用表示行驶的总路程，表示行驶的时间，写出路程的正比例表达式。 （2）张叔叔骑电动车从家去单位上班，一共行驶了0.8小时，张叔叔家距离单位多少千米？ （3）张叔叔要去距离家15千米的图书馆，需要骑行多少小时？ 拓展性作业 1. 两个文具店售卖同一款签字笔：A店的签字笔统一售价2.5元/支；B店做促销活动，3支签字笔打包售卖一共7.5元，单支不售卖。 （1）分别写出两个店中，购买签字笔的总价和数量的正比例关系式。 （2）如果班级要采购20支签字笔，去哪个店购买花费更少？ 2. 实践小任务：询问家长你家所在城市的民用自来水单价，查看近2个月的家庭水费缴费记录，验证总水费和用水量是否成正比例关系，写出对应的正比例关系式，并且估算如果本月家庭预计用水11吨，需要缴纳多少水费，把你的发现和家长说一说。 参考答案 基础性作业 1. 表格依次填24、32、40、48；（1）总价和数量成正比例关系，因为钢笔单价固定为8元，总价随着数量的增加而同比例增加，满足（定值）； （2）两个表达式分别为，。 【设计意图：紧扣本节课基础知识点，让学生巩固正比例的核心特征“比值一定”，熟练掌握正比例关系的两种表达式写法，夯实课堂所学的基础内容。】 2. （1）路程表达式为； （2）代入，得千米，家距离单位20千米； （3）代入，得小时，需要骑行0.6小时。 【设计意图：训练学生双向运用正比例关系式的能力，既可以已知自变量求因变量，也可以已知反推的数值，强化知识的灵活应用，贴合课本的核心训练要求。】 拓展性作业 1. （1）A店：设总价为，数量为，单价固定2.5元，关系式为；B店：总价7.5元对应3支，单支单价也是元，关系式同样为； （2）代入，两个店总价都是元，两个店花费一样多。 【设计意图：设置有对比性的生活场景，引导学生抓住正比例“比值一定”的核心本质，不要被促销的包装形式迷惑，深化对正比例概念的理解，锻炼思辨能力。】 2. 答案不唯一，学生根据本地实际水价计算即可，例如本地水价3元/吨，那么关系式为总水费，用水11吨的话水费为元，只要学生能验证出总水费和用水量比值等于单价，成正比例关系即可。 【设计意图：将数学知识和真实生活场景结合，让学生体会正比例关系在日常生活中的广泛应用，提升用数学知识解决真实问题的意识，落实数学的实用性价值。】 六、板书设计 用正比例解决问题 正比例关系实例 苹果单价7.5元/千克 数量（千克）：1 2 3 4 5 6 … 总价（元）：7.5 15 22.5 30 37.5 45 … 正比例核心特点 两个相关联的量，比值固定，一个量随另一个量同步成倍变化 正比例的两种表示式 （y代表总价，x代表数量） 两个表达式的异同 相同点：都表示总价和数量的正比例关系 不同点：前者突出比值固定的特点，后者可直接代入数值计算 正比例关系式用法 已知自变量x的数值，可求出对应因变量y的值 已知因变量y的数值，可求出对应自变量x的值 常见正比例应用场景 速度一定时，路程与时间成正比例 单套用布量一定时，总用布量与服装套数成正比例 单位时间打印量一定时，打印总数量与时间成正比例 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $