第五单元 第3课时 比和比例——比的应用（教学设计）数学冀教版六年级数学上册（新教材）

第五单元 第3课时 比的应用 教学设计 课程基本信息: 学科·版本 数学·冀教版 授课班级 授课教师 年 级 六年级 学 期 上学期 单 元 五 比和比例 课 题 第3课时 比的应用 一、教材内容分析 （一）知识内涵 （1）本节课是在学生已经掌握比的意义、比的基本性质、分数乘法实际应用等旧知的基础上编排的，在“数与代数”的数的运算与比例知识板块中起到承上启下的关键作用。 （2）本节教材内容以生活化情境为核心载体逐层呈现，知识覆盖双量分配、三量分配、逆向推导、跨场景综合应用等不同题型，全面巩固新知。 （3）教材整体遵循“具象感知-概念生成-方法落实-拓展创新-分层巩固”的逻辑线索编排，所有素材均贴合学生熟悉的生活场景，搭配大量卡通插图、直观图示辅助理解，意图是避免学生机械套用解题公式，深度理解按比例分配的本质是将总量按照指定比例拆分为对应部分，兼顾基础方法掌握和高阶思维拓展。 （二）素养内涵 本节课主要承载了运算能力、几何直观、推理意识、模型意识、应用意识、创新意识几类核心素养，具体表现如下： （1）运算能力：学生在将比例关系转化为各部分占总量的分率，求解菜地面积、参赛获奖人数、车辆数量等各类实际问题的过程中，熟练掌握“总量×对应分率=部分量”的运算逻辑，能结合不同场景选择合理的计算策略，提升分数乘法运算的熟练度与准确性。 （2）几何直观：教材借助被平均分为8份的长方形分区示意图，将抽象的3:5的比例关系转化为可视化的图形占比，帮助学生直观感知各部分量和总量的从属关系，快速理解按比例分配的核心含义。 （3）推理意识：在探究什锦糖最高、最低价格配制方案的任务中，学生需要通过合情推理得出“单价越高的糖在配比中占的份数越大，什锦糖总成本越高”的逻辑，自主推导最优配制思路，锻炼归纳推理的思维能力。 （4）模型意识：学生通过多道同类问题的探究求解，抽象出“已知总量与各部分的比，求各部分具体量”的通用数学模型，掌握“先求总份数、再求各部分占总量的几分之几、最后用总量乘对应分率得到部分量”的通用解题方法，能自主迁移解决各类生活中的分配问题。 二、教学目标： 1. 经历理解按比例分配含义的过程，掌握对应计算方法，能解决相关实际问题。 2. 参与自主探究配比方案的活动，提升分析数量关系、灵活解题的思维能力。 3. 在解决生活相关问题的过程中，体会比的应用价值，发展运算能力与应用意识。 三、重点难点： 1. 教学重点：掌握按比例分配的解题方法，依托比与分数的对应关系正确解决分配类实际问题。 2. 教学难点：理解按比例分配的实际含义，能灵活结合具体情境梳理分配逻辑。 教学流程 一、复习旧知引入法： 教师活动：提问：“我们已经认识了比，谁能说一说‘六（1）班男生和女生的人数比是4:5’，这个比表示什么含义？” 学生活动：同桌交流后举手分享，说出男生占4份、女生占5份，总份数是9份，男生占总人数的等结论。 教师过渡：大家对比的含义理解得很到位，如果告诉我们全班总人数，能算出男女生各有多少人吗？今天我们就学习比的实际应用。 【设计意图：激活学生对比的意义的已有认知，为新知探究搭建脚手架，引发探究欲望，明确本节课学习主题。】 二、探究新知 学习任务一：理解按比例分配的含义，解决两量分配问题 一块长方形菜地有984平方米，计划按3:5种茄子和西红柿。茄子和西红柿各占多少平方米?。 活动1：解读分配规则，感知按比分配的意义 教师活动：出示教材中长方形菜地的例题情境，提出核心问题：“这块984平方米的菜地计划按种茄子和西红柿，你怎么理解这个分配要求？请结合配套的长方形分区示意图说一说。”组织学生4人小组交流想法，巡视收集不同的解读思路。 学生活动：独立观察示意图后小组讨论，依次分享观点： 生1：这个比说明要把整块菜地平均分成份，其中3份种茄子，5份种西红柿； 生2：种茄子的面积占菜地总面积的，种西红柿的面积占菜地总面积的。 教师活动：肯定学生的两种解读，明确告知学生：像这样把一个总量按照一定的比来进行分配的方法，就叫做按比例分配，是生活中常见的分配方式。 活动2：自主探究计算方法，梳理解题逻辑 教师活动：提出核心问题：“结合你对的理解，尝试独立计算茄子和西红柿的种植面积，想一想你能想出几种不同的解法？完成后和小组同学说说你的思路。”巡视过程中对有困难的学生进行引导，提示可以先算每份的面积，也可以先算各部分占总量的分率。 学生活动：独立列式计算后小组分享不同解法： 解法一：先算总份数，再算每份的面积平方米，茄子面积是平方米，西红柿面积是平方米； 解法二：先算总份数为8，茄子面积是平方米，西红柿面积是平方米。 教师活动：引导学生对比两种解法的共通点，明确两种方法都是先把比转化为总份数，再通过平均分或者分数乘法得到各部分的量，两种方法可以互相验证。 【设计意图：本环节依托教材菜地分配的具象情境，引导学生从比的意义出发自主解读按比例分配的内涵，通过两种解法的对比梳理，掌握两量按比分配的基本解题模型，落实“理解按比例分配含义”的教学目标，突破“将比转化为对应分率”的认知难点，在自主探究运算的过程中发展学生的运算能力与数感。】 学习任务二 探究多量按比分配的实际应用，解决优化配制问题 从下面四种糖中任选三种，按2∶3∶5配成什锦糖50千克。 活动1：梳理什锦糖配制的已知条件，明确分配规则 教师活动：出示教材中四种糖果的情境，提出核心问题：“现在要从奶糖、酥糖、巧克力糖、水果糖四种糖中任选三种，按配成50千克的什锦糖，你能梳理出哪些关键的配制要求？”组织学生集体交流梳理信息。 学生活动：独立读题后举手分享：首先总质量是50千克，三种糖的质量比是，总份数是，三种糖的质量分别占总质量的、、，可以任选三种不同的糖进行组合。 活动2：探究价格极值的配制方案，完成计算验证 教师活动：提出核心问题：“如果要让配制出的什锦糖价格最高，应该选择哪三种糖、怎么分配对应占比？如果要让什锦糖价格最低，又该怎么配制？先独立推理再小组讨论，之后动手计算两种方案下什锦糖的单价。”巡视过程中引导学生思考：占比越大的糖果，它的单价对什锦糖整体价格的影响越大。 学生活动：小组讨论后分享推理结论：要让什锦糖总价最高，占比最大的的部分要选单价最高的奶糖（24元/千克），占比的部分选次贵的巧克力糖（18元/千克），占比最小的的部分选水果糖（14元/千克）；要让什锦糖总价最低，占比最大的的部分要选单价最低的酥糖（10元/千克），占比的部分选次便宜的水果糖（14元/千克），占比最小的的部分选巧克力糖（18元/千克）。之后学生独立计算：先算出三种糖各自的质量，再计算总价格，最后除以50得到什锦糖的单价。 教师活动：引导学生总结多量按比分配的通用解题步骤：第一步先计算所有项的总份数，第二步计算各部分量占总数量的几分之几，第三步用总数量乘对应分率得到各部分的具体数值。 【设计意图：本环节将按比例分配的应用从两部分拓展到三部分，结合什锦糖配制的真实生活情境融入优化推理的要求，引导学生在推理、计算的过程中深化对按比例分配模型的理解，落实“用按比例分配知识解决复杂实际问题”的教学目标，突破“结合占比权重进行价格优化”的思维难点，在解决真实问题的过程中发展学生的推理意识与应用意识。】 三、课堂练习 1. 国庆节前，春蕾小学举办“我爱祖国”朗诵比赛，共有198人参赛，获奖人数和未获奖人数的比是5∶13。有多少人获奖？ 总份数：5+13=18 获奖：198× =55(人) 答：有55人获奖。 2.客运公司有大客车和中巴车共180辆，大客车和中巴车辆数的比是7∶2。客运公司两种车各有多少辆？ 总份数：7+2=9 大客车：180×  =140(辆) 中巴车：180× =40(辆) 答：客运公司大客车有140辆，中巴车有40辆。 3. 一个三角形三条边的长度比是3∶4∶5，这个三角形的周长是48厘米。三条边的长度分别是多少厘米？ 总份数：3+4+5=12 48× =12(厘米) 48×  =16(厘米) 48×  =20(厘米) 答：三条边的长度分别是12厘米、16厘米、20厘米。 4. 一个足球的表面是由黑色五边形皮和白色六边形皮围成的。黑色皮和白色皮的块数的比是3∶5，白色皮和黑色皮一共有32块。白色皮和黑色皮各有多少块？ 总份数：3+5=8 黑色皮：32× = 12(块) 白色皮：32× = 20(块) 答：白色皮有20块，黑色皮有12块。 【设计意图：充分利用相关习题资源，引导学生边学边练，有利于对知识的及时巩固，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。】 四、课堂总结 本节课我们学习了按比例分配的相关知识，知道了按比例分配就是把一个总数量按照给定的比分成几部分的分配方法。我们掌握了这类问题的通用解题方法：先把比的各项相加算出总份数，再分别求出每部分占总数量的，最后用总数量乘对应的占比分数，就能得到各部分的具体数值。我们还学会结合实际需求灵活调整配比，设计出符合要求的分配方案，大家课后也可以多观察生活中的相关场景，用今天学到的知识试着解决小问题。 五、课后作业设计 基础性作业 1. 小区物业要在一块总面积为360平方米的空地上栽种观赏花和铺设草坪，计划按照的比例分配面积。请问栽种观赏花和铺设草坪的面积分别是多少平方米？ 2. 妈妈制作戚风蛋糕原料，按照的比例搭配低筋面粉、鸡蛋液、白砂糖的重量，现在要制作一份总重量为200克的蛋糕原料，需要低筋面粉、鸡蛋液、白砂糖各多少克？ 3. 一种手工鲜榨果汁是用橙汁和蜂蜜按的比例调配的，现在已经准备了2.7千克橙汁，需要搭配多少千克的蜂蜜才能调出符合比例的果汁？ 拓展性作业 1. 超市准备从苹果、香蕉、芒果、草莓四种水果里任选三种，按的比例配成10千克的混合水果礼盒。已知四种水果的单价分别是：苹果12元/千克，香蕉6元/千克，芒果24元/千克，草莓30元/千克。请你设计出总价最高和总价最低的两种配制方案，分别计算出两个礼盒的总售价。 2. 有一批货物要分给甲、乙、丙三个运输队运输，原本计划按的比例分配，后来临时调整分配方案，把这批货物重新按的比例分配，请问哪个运输队分到的货物数量在调整前后没有发生变化？请写出你的推导过程。 参考答案 基础性作业 1. 答案：总份数为，观赏花面积为平方米，草坪面积为平方米。 【设计意图：本题是最基础的两量按比例分配问题，对标课本例6的核心知识点，帮助学生巩固“先求总份数，再计算各部分占总量的几分之几，最后用总量乘对应分率得到各部分量”的基础解题步骤，夯实按比例分配的基本解题方法。】 2. 答案：总份数为，低筋面粉重量为克，鸡蛋液重量为克，白砂糖重量为克。 【设计意图：本题是三量按比例分配问题，对标课本练一练第4题的题型，引导学生把两量比的分配方法迁移到三量甚至更多量的分配场景中，深化对“按比例分配就是各部分占总量对应分率”的概念理解。】 3. 答案：橙汁和蜂蜜的比是，说明橙汁重量是蜂蜜的9倍，因此需要蜂蜜千克。 【设计意图：本题没有直接给出调配果汁的总重量，而是给出其中一种原料的重量，打破学生“按比例分配必须先求总量”的思维定式，引导学生灵活利用比的份数关系解题，加深对比的含义的理解。】 拓展性作业 1. 答案：首先计算10千克混合水果按分配，三种选中的水果分别需要千克，千克，千克。要总价最高，就要让占比最大（6千克）的水果选单价最高的，占比最小（1千克）的选单价最低的：6千克选草莓（30元/千克），3千克选芒果（24元/千克），1千克选苹果（12元/千克），总售价为元。要总价最低，就要让占比最大（6千克）的水果选单价最低的，占比最小（1千克）的选单价最高的：6千克选香蕉（6元/千克），3千克选苹果（12元/千克），1千克选草莓（30元/千克），总售价为元。 【设计意图：本题对标课本例7的什锦糖配制探究题，引导学生将按比例分配的计算和最值优化思维结合，让学生体会数学知识在生活实际决策中的应用价值，提升综合运用知识解决问题的能力。】 2. 答案：第一种分配方案总份数为，甲队占总量的，乙队占，丙队占；第二种分配方案总份数为，甲队占总量的，乙队占，丙队占。两个方案里丙队分配到的货物都占总货物的，因此丙队分到的货物数量没有发生变化。 【设计意图：本题打破常规按比例分配直接计算具体数值的出题模式，引导学生从“各部分占总量的分率”的本质角度理解按比例分配，锻炼学生的逻辑推导能力，深化对按比例分配核心概念的认知。】 六、板书设计 比的应用 核心概念 按比例分配：把总数量按照指定的比进行分配的方法 比的含义（以为例）： 总份数为8，3份占总量的，5份占总量的 通用解题步骤 计算总份数：比的所有项相加求和 求各部分占总量的分率：对应份数÷总份数 计算各部分数量：总量 × 对应分率 基础例题演示 长方形菜地分配： 总份数 茄子面积：（平方米） 西红柿面积：（平方米） 拓展规律 什锦糖配制最值： 价格最高：选单价最高的3种糖，最大份数对应最高单价 价格最低：选单价最低的3种糖，最大份数对应最低单价 常见应用场景 人数配比、车辆数量分配、三角形边长计算、物料配制、涂料调配 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $