第五单元 第4课时 比和比例——比例的基本性质（教学设计）数学冀教版六年级数学上册（新教材）

第五单元 第4课时 比例的基本性质 教学设计 课程基本信息: 学科·版本 数学·冀教版 授课班级 授课教师 年 级 六年级 学 期 上学期 单 元 五 比和比例 课 题 第4课时 比例的基本性质 一、教材内容分析 （一）知识内涵 1. 本节课是学生在掌握比的意义、比的化简、比值计算等前置知识基础上开展的新授课，是“比”相关知识的延伸与拓展，既是后续学习解比例、正比例与反比例意义、用比例解决实际问题的核心基础，也为初中阶段学习相似图形、比例方程等内容做好铺垫，在数与代数的数量关系知识体系中起到承上启下的关键作用。 2. 本节教材以国旗规格这一真实情境贯穿始终，知识覆盖比例判断、实际配比验证、自主组比例、求解比例未知数四类题型，搭配卡通人物对话引导学生逐步思考，降低概念学习的门槛。 3. 教材编排遵循“从生活具象到数学抽象”的逻辑线索，以学生熟悉的国旗素材为载体，将德育渗透与数学知识学习融合，整体按照“化简比→计算比值→发现等比关系→生成比例概念→探究比例基本性质→分层巩固应用”的路径推进，意图打破概念灌输的教学模式，让学生充分经历知识的生成过程，自主建构比例的相关认知。 （二）素养内涵 本节课主要承载符号意识、运算能力、推理意识、应用意识四类核心素养，具体表现如下： ①符号意识：学生在认识比例的两种表征形式与的过程中，理解比例内外项的符号指代规则，掌握分数形式比例交叉相乘的符号运算逻辑，感知用统一的数学符号表达数量间比例关系的简洁性。 ②运算能力：学生在计算不同规格国旗长宽比值、验证多组比例内外项乘积、判断比能否组成比例、求解比例未知数的过程中，巩固整数、小数、分数相关的四则运算技能，逐步形成基于比例性质选择简便运算路径的能力，提升运算的合理性与熟练度。 ③推理意识：学生通过计算5组国旗长宽的比值，从多个“比值均为”的个别实例中归纳出比例的定义，再通过验证多组不同比例的内外项乘积相等的共性，归纳得到比例的基本性质，全程经历从特殊实例推导普遍规律的合情推理过程，逐步养成归纳概括的思维习惯。 ④应用意识：学生借助比例知识完成饲料粗蛋白配比验证、按比例缩放国旗等实际任务，感知比例规律在生产生活、制度规范中的广泛应用，学会用课堂所学的比例概念与性质解释现实中的成比例现象，提升用数学知识解决真实问题的意识。 二、教学目标： 1. 经历国旗长宽比的计算探究过程，认识比例的含义，掌握比例的基本性质。 2. 经历观察、验证、归纳的探究活动，能正确判断组成比例，提升运算推理能力。 3. 结合国旗相关学习情境，感受比例的生活应用，激发爱国情感与探究兴趣。 三、重点难点： 1. 教学重点：理解比例的意义，掌握比例的基本性质，能正确判断两个比能否组成比例。 2. 教学难点：理解比例的基本性质内涵，灵活运用性质求解比例中的未知项。 教学流程 一、复习旧知引入法： 教师活动：提问：“上节课我们认识了比，谁能说一说什么是比，如何计算比的比值？请大家动笔算出和的比值。” 学生活动：回忆旧知，计算后汇报：两个比的比值都是。 教师过渡：两个不同的比，比值居然相等！那比值相等的两个比可以组成什么新的数学式子呢？今天我们就来探究这个问题。 【设计意图：激活学生关于比的已有知识经验，通过计算得到相等比值的比，引发探究欲望，为新知比例的学习搭建好脚手架。】 二、探究新知 学习任务一： 依托国旗规格数据，建构比例的意义 下面是我国国旗通用规格中最小的国旗，求出国旗长和宽的比。 活动1：计算对比，发现共性 教师活动：出示《中华人民共和国国旗法》规定的5种国旗通用尺度数据，提出核心问题：上节课我们已经算出最小规格国旗长96cm、宽64cm，长和宽的比化简后是，宽和长的比是。现在请同学们任选两种不同规格的国旗，分别计算出它们长和宽的比值，完成后在小组内交流计算结果，说一说你有什么发现？ 学生活动：学生独立选取数据完成计算，例如选取长240cm、宽160cm的国旗，计算；选取长192cm、宽128cm的国旗，计算；选取长288cm、宽192cm的国旗，计算。小组交流后共同发现：所有规格国旗长和宽的比值都相等，均为。 教师活动：引导学生思考核心问题：既然任意两面国旗长和宽的比值都相等，我们能不能把两个比值相等的比用等号连接起来？比如比值均为的和，就可以写成，也可以写成分数形式。请同学们自主尝试写出3组这样由两个比值相等的比组成的等式，写完后和同桌互相验证。 学生活动：学生独立书写等式，例如、等，同桌之间互相计算两个比的比值，判断等式是否成立。 教师活动：归纳总结比例的定义：像这样表示两个比相等的式子，叫作比例。随即追问核心问题：如果要判断两个比能不能组成比例，最直接的依据是什么？ 学生活动：集体交流后明确：判断两个比是否可以组成比例，核心是看它们的比值是否相等，比值相等的两个比就可以组成比例。 【设计意图：以国旗规格这一兼具德育属性与数学属性的真实素材为载体，让学生经历“计算-对比-归纳”的完整过程，从具体的相等关系中抽象出比例的概念，落实“理解比例的意义”的核心教学目标，突破“比例是两个比值相等的比”这一认知重点，渗透数据意识与模型意识的数学核心素养，同时结合国旗相关的国情介绍落实爱国主义教育。】 学习任务二 探究比例的组成规律，掌握比例的基本性质 (1)任选两种尺度的国旗，分别求出长和宽的比值。 活动1：标注识别，认识比例各部分名称 教师活动：出示比例，向学生介绍：组成比例的四个数叫作比例的项，位于比例两端的两项叫作比例的外项，位于比例中间的两项叫作比例的内项。请同学们拿出刚才自己书写的3个比例，分别标注出每个比例的内项和外项，完成后同桌互相核对。 学生活动：学生动手标注各部分名称，例如在比例中，标注出外项为96和2，内项为64和3，同桌互相检查标注结果，巩固对比例各部分名称的认知。 活动2：猜想验证，推导比例的基本性质 教师活动：提出核心探究问题：请同学们先计算比例的两个外项的乘积、两个内项的乘积，对比计算结果说一说你有什么发现？就像蓝猫提示的那样，再任选2组你自己写的比例重复上述计算，验证你的发现是不是普遍成立。 学生活动：学生先完成指定计算：，，初步得到“两个外项的积和两个内项的积相等”的猜想，再选取自主书写的比例例如，计算外项积，内项积，验证猜想成立。小组交流后共同归纳出规律：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 教师活动：出示分数形式的比例，提出核心问题：如果把比例写成分数形式，刚才我们发现的外项积等于内项积的规律，要通过什么操作来体现？ 学生活动：学生观察分数形式的比例后发现，将等号两端的分子和分母分别交叉相乘，得到的和乘积相等，和之前的规律完全吻合。 教师活动：总结梳理：这个规律就是比例的基本性质。现在我们判断两个比能不能组成比例，除了计算比值是否相等之外，还可以利用比例的基本性质，验证假设组成比例后的外项积和内项积是否相等。 【设计意图：引导学生经历“提出猜想-多例验证-归纳结论-拓展应用”的探究路径，自主建构比例的基本性质，突破“灵活运用比例基本性质解决问题”这一教学重难点，充分体现以学生为主体的探究式教学理念，发展学生的合情推理意识，落实数学核心素养的培养要求。】 三、课堂练习 1. 判断下面哪组中的两个比可以组成比例。 （1）7∶3和21∶9 （2） 0.5∶24和1.5∶3.6 能组成比例。 不能组成比例。 （3）8∶6和 ∶ （4）∶和∶ 不能组成比例 能组成比例 2. 分别写出两袋饲料中粗蛋白和总质量的比。 6∶20=6÷20= 9∶30=9÷30= 因为=，所以能组成比例。 3. （1）写出两个比值都是7的比，并组成比例。 如7：1=7 ，14：2 =7， 组成比例 7：1=14：2 （2）写出两个比值都是 的比，并组成比例。 如1：3=  ，2：6 =  ，组成比例 1：3=2：6 （3）写出两个比值都是1.5的比，并组成比例。 如3：2=1.5 ，4.5：3=1.5 ，组成比例 3：2=4.5：3 【设计意图：充分利用相关习题资源，引导学生边学边练，有利于对知识的及时巩固，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。】 四、课堂总结 这节课我们从计算不同规格国旗长和宽的比值出发，一步步探索出了新的数学知识：首先我们认识了比例，明确表示两个比相等的式子就叫作比例，也分清了比例里的内项和外项；之后我们通过多组比例的计算验证，总结出了比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，如果把比例写成分数形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘，它们的积相等。 现在我们掌握了两种判断两个比能不能组成比例的方法，既可以计算两个比的比值看是否相等，也可以利用比例的基本性质，验证内外项的乘积是否相等来判断，我们还能借助比例的基本性质求出比例中的未知项，课后大家可以试着用今天学到的知识解决身边相关的数学小问题。 五、课后作业设计 基础性作业 1. 判断下面哪组中的两个比可以组成比例，把能组成的比例写出来： （1） 和 （2） 和 （3） 和 （4） 和 2. 利用比例的基本性质求解下面比例中的未知项： （1） （2） （3） 3. 按要求构造比例： （1）写出2个比值是4的比，再把它们组成一个比例 （2）写出2个比值是的比，再把它们组成一个比例 拓展性作业 1. 根据《中华人民共和国国旗法》要求，所有国旗长和宽的比都为，学校要制作一面长是150cm的展示国旗，这面国旗的宽设计为多少厘米才符合规定？ 2. 同一时间、同一地点，物体的实际高度和影子长度的比值是固定的。小明测得一棵高1.8米的小树影子长0.9米，同时测得旁边旗杆的影子长为6米，请你算一算旗杆的实际高度是多少米？ 参考答案 1. （1）两个比的比值都是，可以组成比例； （2）两个比的比值都是3，可以组成比例； （3）的比值是，的比值是，比值不相等，不能组成比例； （4）两个比的比值都是2，可以组成比例。 【设计意图：巩固学生对“表示两个比相等的式子是比例”的核心定义的理解，覆盖整数、小数、分数不同类型的比，让学生熟练掌握用求比值、比例基本性质两种方法判断比例的技能，夯实课堂基础。】 2. （1）；（2）；（3）。 【设计意图：直接应用比例的基本性质求解未知项，强化学生对“两个外项的积等于两个内项的积”这一核心规律的记忆，形成解比例的基础运算能力。】 3. 答案不唯一，示例：比值为4的比可以取和，组成比例；比值为的比可以取和，组成比例。 【设计意图：反向训练学生对比例和比值关系的理解，让学生自主构造符合要求的比例，锻炼发散思维，深化对比例本质的认知。】 1. 解：设国旗宽为厘米，列比例，根据比例基本性质得，解得，即国旗宽应为100厘米。 【设计意图：结合教材中的国旗法爱国教育素材，把比例知识和真实生活场景结合，让学生体会数学知识的实际应用价值，同时渗透爱国主义教育，提升知识迁移能力。】 2. 解：设旗杆实际高度为米，列比例，根据比例基本性质得，解得，即旗杆实际高度为12米。 【设计意图：引入生活中“影长测高”的经典应用场景，让学生体会比例可以解决不便直接测量的实际问题，感受数学的实用性，提升学生用新知解决真实问题的能力。】 六、板书设计 比例的基本性质 表示两个比相等的式子，叫作比例 示例：，也可写为 比例各部分名称 组成比例的四个数叫比例的项 两端的两项是外项，中间的两项是内项 示例：，外项为240、96，内项为160、144 比例的基本性质 普通形式：比例中，两个外项的积等于两个内项的积 分数形式：等号两端分子分母交叉相乘，积相等 判断比例的方法 两个比的比值相等，可组成比例 满足外项积等于内项积，可组成比例 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $