第五单元 第5课时 比和比例——按比例计算（教学设计）数学冀教版六年级数学上册（新教材）

第五单元 第5课时 按比例计算 教学设计 课程基本信息: 学科·版本 数学·冀教版 授课班级 授课教师 年 级 六年级 学 期 上学期 单 元 五 比和比例 课 题 第5课时 按比例计算 一、教材内容分析 （一）知识内涵 1. 本课时是比例单元的核心应用课，承接学生此前掌握的比的意义、比例的基本性质、分数乘除法运算等旧知，既是对比例相关概念的巩固深化，也为后续正比例、反比例及比例类实际问题的拓展学习搭建桥梁，是衔接数与代数领域“关系认知”和“问题解决”的关键节点。 2. 内容呈现：教材先以学生熟悉的校园科技小组人数情境引出例题3，通过卡通男孩、女孩的两种不同比例列式（分数形式比例、比号形式比例）展示用比例性质解题的完整过程；接着创设医疗场景下配制葡萄糖注射液的真实任务引出例题4，借助卡通兔子提示引导学生自主尝试列比例式解题；随后通过“议一议”板块，引导学生关联旧知，从两个量的倍数关系、分数占比角度探索非比例的简便解法，实现新旧知识的打通；最后设置“练一练”板块，编排农药配制、师生郊游乘车、篮球比赛得分、日常消毒液配制等多个贴近学生生活的分层习题，搭配符合低龄认知的卡通插图降低学习门槛。 3. 编排特点与逻辑线索：整体遵循“情境引入-方法示范-自主探索-多元关联-巩固迁移”的编排逻辑，先明确比例解题的核心范式，再鼓励学生调用已有知识探索简便解法，不限制唯一解题路径，兼顾不同认知水平学生的学习需求，突出“比的等量关系”这一核心主线，让学生逐步理解各类解法的内在共通逻辑。 （二）素养内涵 本课时主要承载符号意识、运算能力、推理意识、模型意识、应用意识五项核心素养，具体表现如下： （1）符号意识：引导学生用字母x代表未知的女生人数、药剂体积等未知量，将题目中“两类量的比恒定”的数量关系转化为规范的比例符号表达式，完成从文字描述到数学符号表达的抽象过程。 （2）运算能力：学生在解比例的过程中，能借助比例的基本性质将比例式转化为常规方程求解，也能灵活选用500÷9、500×19等分数乘除的不同路径计算结果，同时能根据实际需求对商保留一位小数，形成合理灵活的运算策略。 （3）推理意识：学生依托题目给出的两个量的固定比，推导得出两个量之间的倍数关系、前者占后者的几分之几的关系，对比验证不同解题方法的结果一致性，理清比例列式的核心依据是“对应量的比相等”，逐步养成有据可依的推理习惯。 （4）模型意识：学生通过多道同类例题的学习，抽象出“已知两个量的固定比和其中一个量，求另一个对应量”的通用比例问题模型，能快速识别不同情境下的同类问题，调用对应方法解决。 （5）应用意识：学生能将课堂所学的比例解题方法迁移到校园活动、医疗配药、农业生产、日常消杀等真实生活场景中，感知数学知识的实用价值，主动用数学思维解决现实问题。 二、教学目标： 1. 经历用比例解决实际问题的探究过程，掌握解比例方法，能正确解决相关实际问题。 2. 通过不同解题思路的对比辨析，提升分析数量关系的逻辑推理能力。 3. 在解决生活配比问题的过程中，体会比例应用价值，发展数学应用意识。 三、重点难点： 1. 教学重点：掌握依据比例的基本性质列比例式，求解比中未知项的方法。 2. 教学难点：准确找准对应量的比例关系，灵活结合倍数、分数思路解决相关实际问题。 教学流程 一、复习旧知引入法： 教师活动：提问：“之前我们学习了比例的意义和基本性质，谁来说说比例的基本性质是什么？谁能尝试根据性质解比例3:4=6:x？” 学生活动：回忆旧知，回答性质并尝试计算解出未知项。 教师过渡：大家已经掌握了解比例的方法，生活中很多实际问题都可以用比例知识解决，今天我们就学习用比例解决实际问题。 【设计意图：复习旧知激活原有知识经验，为新知探究搭建脚手架，自然引出本节课学习主题，明确学习方向。】 二、探究新知 学习任务一：列比例求解科技小组女生人数 学校科技小组中男生人数和女生人数的比是8∶5，其中男生有32人。科技小组中女生有多少人？ 8x = 32×5 x = 160÷8 x = 20 答：科技小组中女生有20人。 活动1：分析情境，梳理数量关系 教师活动：出示教材例题3的问题情境：学校科技小组中男生人数和女生人数的比是，其中男生有32人。请同学们先独立思考两个核心问题：第一，这个的比表示什么含义？第二，题目中哪两个量的比值是固定不变的？ 学生活动：结合比的已有认知自主思考后，4人小组交流讨论，共同得出结论：男生人数对应比的前项8份，女生人数对应比的后项5份，男生人数与女生人数的比值始终等于。 教师活动：进一步引导：如果我们设科技小组的女生人数为人，你能根据刚才找到的等量关系，写出符合题意的比例式吗？请尝试自主完成完整的解答过程。 学生活动：自主尝试列比例并求解，部分学生写出比例式，部分学生写出比例式，随后对照教材中男孩、女孩的解答过程核对自己的推导步骤，结合比例的基本性质验证：两个比例式都可以转化为方程，计算得到，最后反向验证的比值确实等于，确认结果正确。 【设计意图：依托学生熟悉的校园科技小组情境，引导学生经历“分析比的含义-寻找等量关系-列比例求解-验证结果”的完整探究过程，落实“掌握用比例解决已知比和部分量求另一部分量”的知识目标，突破“找准对应量列对比例”的教学重难点，发展学生的运算能力与数据分析观念，体现以生为本的探究式教学理念。】 学习任务二 多元思路解决葡萄糖注射液配比问题 活动1：迁移方法，用比例法解决配比问题 教师活动：出示教材例题4的生活情境：用葡萄糖药剂和水配制葡萄糖注射液，葡萄糖药剂和水体积的比是。提出核心问题：这个的比，对应哪两个相关联的量的比？参照教材里卡通兔子的提示，我们用表示药剂的体积，要把500毫升水配成注射液，你能写出符合题意的比例式并完成解答吗？ 学生活动：独立梳理数量对应关系，自主列出比例式或者，结合比例基本性质转化为方程，按照题目要求将结果保留一位小数，计算得到毫升，对照教材给出的解答核对步骤。 活动2：拓展关联，打通比与分数除法的联系 教师活动：出示“议一议”的讨论主题：如果不列比例，我们还可以根据葡萄糖药剂和水的体积的倍数关系解答，想一想从的比中，能推导出哪些分率或者倍数关系？ 学生活动：小组讨论后依次发言，有的学生提出水的体积是葡萄糖药剂的9倍，因此可以直接列式计算药剂体积；有的学生提出葡萄糖药剂的体积是水的，求药剂体积就是求500毫升的，列式为，两种思路的计算结果和列比例得到的结果完全一致。 教师活动：出示例题4第（2）小题：一小袋葡萄糖药剂25毫升，配制成葡萄糖注射液需要加入多少毫升水？参照教材里卡通青蛙的提示，选择你认为最简单的方法完成计算。 学生活动：多数学生直接利用“水的体积是药剂的9倍”的关系，列式毫升快速得到结果，少数学生用列比例的方法验证结果，确认不同思路的答案统一。 【设计意图：从比例方法延伸到倍数、分率方法，帮助学生打通比、分数、除法三类知识的内在关联，构建结构化的知识体系，落实“灵活选择方法解决生活配比问题”的教学目标，突破“比的不同表征形式转化”的教学难点，发展学生的逻辑推理核心素养，体现数学与生活实际结合的应用导向。】 三、课堂练习 1. 用药剂和水配制一种农药，药剂和水质量的比是3∶100。 (1)要配制这种农药500千克，需要药剂和水各多少千克？ 总份数：3+100 = 103 药剂：500× ≈ 14. 6(千克) 水：500× ≈ 485. 4(千克) 答：需要药剂约14. 6千克，需要水约485. 4千克。 (2)用7.5千克药剂配制这种农药，需要加入多少千克水？ 用x表示需要加入的水的质量。 7.5 ∶ x = 3 ∶ 100 3x = 7.5×100 x = 750÷3 x = 250 答：需要加入250千克水。 (3)用200千克水能配制这种农药多少千克？ 先求药剂质量。设药剂x千克。 x:200=3:100 100x=600 x=6 农药总量：200+6=206（千克） 答：用200千克水能配制这种农药206千克。 2. 育英小学师生乘坐两辆汽车去郊游，大客车和中巴车上乘坐人数的比是5∶2。 用x表示中巴车上坐的人数。 45 ∶ x = 5 ∶ 2 5x = 45×2 x = 90÷5 x = 18 答：中巴车上坐了18人。 3. 一场篮球比赛中，甲队和乙队得分的比是5∶3。已知甲队得了65分，乙队得了多少分？ 用x表示乙队得的分数。 65 ∶ x = 5 ∶ 3 5x = 65×3 x = 195÷5 x = 39 答：乙队得了39分。 4. 一种日常消毒液原液和水的体积比是1∶100。450毫升水配成消毒液，要加多少毫升原液？ 水的体积是原液的100倍。 450÷100 = 4.5（毫升） 答：要加4.5毫升原液。 【设计意图：充分利用相关习题资源，引导学生边学边练，有利于对知识的及时巩固，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。】 四、课堂总结 本节课我们学习了用比例知识解决按固定比分配的实际问题。 我们掌握了两种常用的解题思路：第一种是先将未知量设为x，根据题目给出的两个量的比列出比例式，再依据比例的基本性质解出x得到答案；第二种是先理清两个量之间的倍数关系、分数占比关系，直接用除法或者分数乘法算出未知量。 大家课后也可以试着用今天学到的方法，解决生活里常见的配比、分配类的小问题，巩固所学内容。 五、课后作业设计 基础性作业 1. 六（1）班图书角故事书和科技书的数量比是，已知故事书有45本，请问科技书有多少本？请你分别用列比例方程、分数倍数量关系两种方法解答。 2. 农田里配制除草药剂，要求药剂和水的质量比是。如果现在有30千克药剂，全部用来配制药剂，需要加入多少千克水？ 3. 学校组织手工比赛，小明和小红折的千纸鹤数量比是，两人一共折了160只千纸鹤，请问小明和小红分别折了多少只千纸鹤？ 拓展性作业 1. 同一时刻、同一地点，物体的实际高度和它的影子长度的比是。小明测得身边一棵2米高的小树的影长是0.75米，他接着测量旁边的教学楼的影子总长度是15米，请问教学楼的实际高度是多少米？ 2. 有两瓶质量相同的糖水，第一瓶中糖和水的质量比是，第二瓶里加入了12克糖之后，糖水总质量是90克，其中糖和水的质量比变成了，请问第二瓶原来有糖多少克？ 参考答案 基础性作业 1. 方法一：设科技书有本，列比例，根据比例基本性质得，解得。 方法二：科技书数量是故事书的，所以科技书数量为本。 答：科技书有35本。 【设计意图：贴合课本例题3的题型，引导学生巩固两种解题思路，既熟练掌握列比例解应用题的方法，也能联动之前学过的分数乘除法知识，打通不同解法之间的关联，夯实基础。】 2. 解：设需要加入千克水，列比例，得，解得。也可以用倍数法：水的质量是药剂的倍，千克。 答：需要加入1125千克水。 【设计意图：对接课本里配制药液的生活化场景，让学生把课堂所学的比例应用知识迁移到农业生产的实际问题中，巩固已知比的前项求后项的解题能力，熟悉比例基本性质的运算。】 3. 总份数为份，每份对应只，小明折的数量：只，小红折的数量：只。也可以列比例，设小明折了只，小红折了只，，解得，小红的数量为只。 答：小明折了100只，小红折了60只。 【设计意图：在已知两数总和与两数之比的场景下练习比例应用，拓展学生对比例应用题型的认知，巩固按比分配的基础解法，为后续更复杂的比例问题学习铺垫。】 拓展性作业 1. 解：设教学楼实际高度是米，列比例，解得，。 答：教学楼实际高度是40米。 【设计意图：结合生活里的影长测高的趣味场景，让学生体会比例知识在测量不便直接读数的物体高度时的实用价值，提升学生用数学解决实际问题的兴趣，锻炼知识迁移能力。】 2. 第二瓶加入12克糖之后总质量90克，说明原来糖水总质量是克。加入糖之后水的质量没有变化，此时糖和水的比是，水占总质量的，所以水的质量是克。原来糖水总质量78克，水是54克，所以原来的糖是克。 答：第二瓶原来有糖24克。 【设计意图：加入“加糖后总质量变化、水的质量不变”的隐藏条件，锻炼学生从复杂题干里提取不变量的逻辑思维能力，综合运用比的相关知识解决稍复杂的实际问题，提升思维灵活性。】 六、板书设计 按比例计算 用比例解决实际问题 解题依据： 比例的基本性质 → 两内项之积 = 两外项之积 题型1：已知两数比和其中一个量，求对应未知量 例：男:女=，男生32人，求女生人数 列式： 或 结果： 题型2：按固定比配比问题 配比规则：药剂:水= ① 水500毫升求药剂：， ② 药剂25毫升求水：， 算术法巧解思路 倍数法：水是药剂的9倍，药剂体积=水的体积÷9 分数法：药剂是水的，药剂体积=水的体积× 解题四步走 设：设未知量为x 列：根据相等比列比例式 解：用比例性质解方程 验：检验结果写答句 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $