江苏镇江市扬中市第二高级中学2026-2027学年第一学期高三数学周练5

江苏扬中市第二高级中学2026-2027第一学期高三数学周练5 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则 （ C ） A． B． C． D． 2．已知，则 （ B ） A． B． C． D． 3．若函数及其导函数满足，且，则 （ D ） A． B． C． D． 4．已知函数，则“”是“有极值的” （ A ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 5．已知，设函数，若关于的不等式上恒成立，则的取值范围为 （ C ） A． B． C． D． 6．函数的最小正周期为，若，且在区间上最小值为，则的最小值是 （ B ） A． B． C． D． 7．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是 （ B ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是偶数 D． 8．函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①；②在区间上单调递减； ③在区间上有且仅有2个零点； ④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 可得到一个奇函数的图象.其中所有正确结论的个数是 （ A ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是 （ BCD ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的一个对称中心为 D. 函数是奇函数 【详解】因为，恒成立，所以的最大值为，所以，即，当时，，又，因为在上有且仅有个零点，所以，所以，即，得，所以，因，所以，所以；对于A：函数的最小正周期，故A错误；对于B：当时，，又在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故B正确；对于C：因为，所以函数的一个对称中心为，故C正确；对于D：因为，为奇函数，故D正确.故选：BCD 10．设函数，则 （ BC ） A．当时，是的极大值点 B．当时，有三个零点 C．存在，使得点为曲线的对称中心 D． 存在，使得为曲线的对称轴 11．如图，圆锥内有一个内切球，球与母线分别切于点是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是 （ ABD ） A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为 B．平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C．四面体的体积的取值范围是 D．若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知扇形面积为，圆心角为2弧度，则扇形的周长是 13．已知 . 14．已知函数，且，则实数的取值范围为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）若，使得成立，求实数的取值范围. 15．解：（1） ， 因为的对称轴为， 令，解得， 所以图象的对称轴方程为. （2）当时，，当，即时，取最大值1， 当，即时，取最小值，则， 因为，使得成立，则有解， 所以，即， 所以实数取值范围为. 16．已知函数 （1）当时，若对于恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，若对于任意恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得同时成立，求的取值范围. 16．解：（1）当时，， 上单调递减，故， 由题意得，即，解得 ， 故实数的取值范围为； （2）由题意得上的最小值大于上的最大值， 当时，上单调递增，故， 开口向上，对称轴为， 当时，上单调递增， 令，故； 当时， 令，故； 当时，上单调递减， 令，无符合条件的； 综上，的取值范围为； （3）当时，，不存在使得，不符合条件； 当时，的解为的开口向上，对称轴， 故上单调递增，，不存在使得，不符合条件； 当时，的解为，若存在使得， 则， 此时的较小零点，符合条件； 综上，的取值范围为 17．已知奇函数的定义域为 （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 17．解：因为函数是奇函数， 所以，即， 即，即， 整理得， 所以，即，则， 因为定义域为关于原点对称，所以b=3； 【小问2详解】 在上递增. 证明：任取，且， 则， 因为， 所以，又， 所以，即， 所以在上递增； 【小问3详解】 因为， 所以， 又当时，恒成立， 所以，时恒成立， 令，则，时恒成立， 而，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是. 18．已知函数． （1）若，求函数的最值； （2）若，函数在上是增函数，求a的最大整数值． 18．解：（1）若，则函数，． 令，则或，由于， 因而当时．单调递减， 当时．单调递增， 所以的最小值为，最大值为 （2）， 由在上是增函数， 得在上恒成立， 即，分离参数得 设，则， ，即 设，由于 因而方程在上有解，设为， 则，且当时，，当时， 所以的最大值为． 因而，即， 又 又 所以a的最大整数值为0． 【点睛】方法点睛： （1）函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数在区间上非负或非正恒成立； （2）恒成立问题可考虑参变分离，再构造函数分析最值； （3）极值点不能求解则设隐零点，将满足的等式条件化简代入原函数，再根据的区间可求出极值的范 19．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为． (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围． 19．解：（1）法一、连结，因为为等边三角形， 为中点，， 又平面,平面， 平面 平面，又平面， 由题设知四边形为菱形，， 分别为中点，， 又平面平面. 法二：由平面,平面， 又为等边三角形，为中点，，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 又平面平面. 法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为 ,即 不妨取，则，则 所以平面的一个法向量为 ，，，平面 ， （2）由（1）坐标法得，平面的一个法向量为（或） 点到F到平面的距离= (3) 设，则， ； 由（1）知：平面平面的一个法向量 （或者由（1）中待定系数法求出法向量）； 设平面的法向量， 则，令，则； ， 令，则； ， 即锐二面角的余弦值的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏扬中市第二高级中学2026-2027第一学期高三数学周练5 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知，则 （ ） A． B． C． D． 3．若函数及其导函数满足，且，则 （ ） A． B． C． D． 4．已知函数，则“”是“有极值的” （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 5．已知，设函数，若关于的不等式上恒成立，则的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 6．函数的最小正周期为，若，且在区间上最小值为，则的最小值是 （ ） A． B． C． D． 7．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是 （ ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是偶数 D． 8．函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①；②在区间上单调递减； ③在区间上有且仅有2个零点； ④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 可得到一个奇函数的图象.其中所有正确结论的个数是 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是 （ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的一个对称中心为 D. 函数是奇函数 10．设函数，则 （ ） A．当时，是的极大值点 B．当时，有三个零点 C．存在，使得点为曲线的对称中心 D． 存在，使得为曲线的对称轴 11．如图，圆锥内有一个内切球，球与母线分别切于点是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是 （ ） A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为 B．平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C．四面体的体积的取值范围是 D．若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知扇形面积为，圆心角为2弧度，则扇形的周长是 13．已知 . 14．已知函数，且，则实数的取值范围为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）若，使得成立，求实数的取值范围. 16．已知函数 （1）当时，若对于恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，若对于任意恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得同时成立，求的取值范围. 17．已知奇函数的定义域为 （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 18．已知函数． （1）若，求函数的最值； （2）若，函数在上是增函数，求a的最大整数值． 19．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为． (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围． 4 学科网（北京）股份有限公司 $