江苏镇江市扬中市第二高级中学2026-2027学年第一学期高三数学周练2

**基本信息** 高三数学周练卷聚焦函数、几何、导数等核心知识，通过梯度化题型设计，考查抽象能力、推理能力与空间观念，适配高三一轮复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、不等式解集、立体几何命题、函数图像识别|第8题以正三棱台外接球为背景，考查空间观念与最值思想，贴合高考几何命题趋势| |多选题|3/18|基本不等式应用、函数奇偶性与周期性、正方体动态轨迹|第11题结合正方体表面动点轨迹，综合考查线面平行与体积计算，体现数学思维严谨性| |填空题|3/15|函数定义域、单调性、新定义“渐缓增区间”|第14题引入“渐缓增区间”新定义，考查创新意识与导数应用，呼应高考创新题型设计| |解答题|5/77|充分必要条件、函数零点、导数综合、立体几何证明与计算|第18题证明极值点关系，渗透转化思想，与高考导数压轴题考查方向一致；第19题结合四棱锥体积与外接球，强化空间想象与运算能力|

江苏扬中市第二高级中学2026-2027第一学期高三数学周练2 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数 （ D ） A． B． C． D． 2．若不等式的解集为，则实数的取值范围是 （ B ） A． B． C． D． 3．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 （ D ） A．若 B．若 C．若 D．若 4．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为 （ B ） A． B． C． D． 5．已知，则实数的取值范围是 （ B ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，都有，则不等式的解集为 （ A ） A． B． C． D． 7．已知函数，若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围为 （ D ） A． B． C． D． 8．底面边长为，高为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，得到一个正三棱锥和一个正三棱台，当正三棱台的外接球半径最小时，该正三棱台的高为 （ A ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知为正数，且，则 （ AD ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D． 的最小值为 10．已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则 （ BCD ） A． B．的图象关于对称 C．是周期为4的周期函数 D． 11．如图，正方体中，为侧面的中心，分别为棱的中点，动点在该正方体表面（底面以外）上，且平面，则下列结论正确的是 （BCD） A．平面截该正方体所得截面的面积为 B．点的轨迹长度为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D． 三棱锥的体积的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 13．设，函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为 . 14．函数的导函数，若在的定义域内存在一个区间，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”，若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知，设. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 15．解：（1）因为，解得：，所以. 又因为，即，所以或， 即， 因为“”是“”的充分不必要条件，则有， 所以有，即且， 所以实数a的取值范围是. （2）因，所以， 又“”是“”的必要不充分条件，则， 即， 所以实数a的取值范围是. 16．已知函数. （1）若函数y=f(x)在上的最大值为8，求实数m的值； （2）若函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，求实数m的取值范围. 16．解：因为， 令，则， （1）因为，所以，所以， 当，即m≥0时，此时当t=-2，即时，y取最大值， 即4+2m+2=8，解得m=1，满足； 当，即时，此时当t=2时，即x=4时，y取最大值， 即4-2m+2=8，解得m=-1，满足.所以实数m的值为1或-1. （2）因为x∈(1，2)，所以， 因为函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，且在(1，2)是增函数， 所以函数在(0，1)上有唯一的零点， 令g(t)=t2-mt+2，因为g(0)=2，g（1）=3-m， ①当g（1）=3-m<0，即m>3时，满足题意 ②当g（1）=3-m=0，则m=3时，此时g(t)=t2-3t+2， 令g(t)=t2-3t+2=0，解得t=1或t=2，不满足； ③当g（1）=3-m>0时，且此时无解； 综上，实数m的取值范围为(3，+∞). 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 17．已知函数． (1)若不等式f(2x)－k2x≥0在[－1，1]上有解，求k的取值范围： (2)若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． 17．解：（Ⅰ）原式, 令，则,令， 因为对称轴，所以二次函数在区间上单调递减，所以 ∵有解，∴,∴. （Ⅱ）原式可化为, 令，原式可化为 因为方程有三个不同的实数根，所以由的图像知, 方程有两个根，且或 令 则或 ∴. 【点睛】本题主要考查了函数不等式能成立问题以及根据函数零点的个数求参数的范围，属于中档题. 18．已知函数． (1)若f(x)是增函数，求实数a的取值范围； (2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：x1＋x2＞2． 18．解：（1）函数的定义域为，， 若是增函数，即对任意恒成立，故恒成立， 设，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，，由得，所以的取值范围是． （2）不妨设，因为，是的两个极值点， 所以，即，同理， 故，是函数的两个零点，即， 由（1）知，，故应有，且， 要证明，只需证，只需证 ， 设，， 则， 所以在上单调递减，因为，所以， 即，， 又，，及在上单调递增，所以成立，即成立． 19．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，， 平面， （1）证明：； （2）若点的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是，求： ①直线与平面所成角的正弦值； ②三棱锥外接球的表面积. 19．（1）证明：因为， 在，由勾股定理得， 在梯形， 则， 在， 在， 由勾股定理逆定理得， 因为平面， ， 又， 因为内的两条相交直线， ； （2）由（1）知， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为， 1. 因为， 设， 设平面的法向量为， 则， 取，故点到平面的距离为 ， 两边平分化简得：， 此时， 设直线与平面所成角为，则 ， 即直线与平面所成角的正弦值为； ②依题意三棱锥外接球的球心应在过的中点且与平面 垂直的直线上，于是可设球心，球半径， ，解得， 则三棱锥外接球的表面积为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏扬中市第二高级中学2026-2027第一学期高三数学周练2 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数 （ ） A． B． C． D． 2．若不等式的解集为，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 3．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 （ ） A．若 B．若 C．若 D．若 4．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为 （ ） A． B． C． D． 5．已知，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，都有，则不等式的解集为 （ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 8．底面边长为，高为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，得到一个正三棱锥和一个正三棱台，当正三棱台的外接球半径最小时，该正三棱台的高为 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知为正数，且，则 （ ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D． 的最小值为 10．已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则 （ ） A． B．的图象关于对称 C．是周期为4的周期函数 D． 11．如图，正方体中，为侧面的中心，分别为棱的中点，动点在该正方体表面（底面以外）上，且平面，则下列结论正确的是 （ ） A．平面截该正方体所得截面的面积为 B．点的轨迹长度为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D． 三棱锥的体积的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 13．设，函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为 . 14．函数的导函数，若在的定义域内存在一个区间，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”，若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知，设. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 16．已知函数. （1）若函数y=f(x)在上的最大值为8，求实数m的值； （2）若函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，求实数m的取值范围. 17．已知函数． (1)若不等式f(2x)－k2x≥0在[－1，1]上有解，求k的取值范围： (2)若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． 18．已知函数． (1)若f(x)是增函数，求实数a的取值范围； (2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：x1＋x2＞2． 19．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，， 平面， （1）证明：； （2）若点的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是，求： ①直线与平面所成角的正弦值； ②三棱锥外接球的表面积. 4 学科网（北京）股份有限公司 $