江苏镇江扬中市第二高级中学2026-2027学年高三第一学期数学周练3

**基本信息** 高三数学周练卷聚焦函数、立体几何等核心模块，通过8道单选（40分）、3道多选（18分）、3道填空（15分）及5道解答题（77分），分层考查抽象能力、推理意识与空间观念，适配高三复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数奇偶性、零点存在定理、复数实部|以“假命题求参数范围”考查逻辑推理，结合图像辨析提升抽象能力| |多选题|3/18|基本不等式、三棱锥外接球|正实数条件下多结论判断，渗透模型观念与数据分析| |填空题|3/15|集合整数解、函数奇偶性|含双空设计，如偶函数性质与抽象函数值域综合，强化数学表达| |解答题|5/77|函数单调性证明、立体几何二面角|19题四棱锥中线面垂直证明与二面角计算，融合空间观念与逻辑推理，适配高考真题命题趋势|

江苏扬中市第二高级中学2026-2027第一学期高三数学周练3 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若“使得成立”是假命题，则实数的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 2．设函数，则下列函数中为奇函数的是 （ ） A． B． C． D． 3．已知函数的值域为，其中，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 4．若函数在区间是存在零点，则常数的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 5．已知的值为 （ ） A． B． C． D． 6．如图，在正三棱台中，若，则异面直线所成角的余弦值为 （ ） A． B． C． D． 7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（），若，则 （ ） A． B． C． D． 8．已知的大小关系为 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数的实部为，且在复平面内对应的点分别为，则（ ） A． B． C．在第一象限内 D． 在第四象限内 10．若正实数，满足，则下列说法正确的是 （ ） A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值2 D.有最小值 11．如图，三棱锥，的中点，点为三棱锥外接球球心，则 （ ） A．当 B．当时，二面角大小为 C．当异面直线所成角为时， D．当点 到平面的距离为时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．设集合，若中恰含有2个整数，则实数的取值范围是 . 13．已知 .（用表示） 14．已知函数是偶函数，则 ，函数对于恒有成立，函数，则函数的值域是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数（）为奇函数. （1）求实数的值并证明函数的单调性； （2）解关于不等式：. 16． 函数对任意的都有，并且当时， （1）判断函数是否为奇函数， （2）证明：在上是增函数， （3）若，解不等式； 17．已知． 求（1）的最小值； （2）的最小值； （3）正数满足，求的取值范围．（上述三问中，选择两问进行解答） 18．已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19． 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏扬中市第二高级中学2026-2027第一学期高三数学周练3 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若“使得成立”是假命题，则实数的取值范围为 （ A ） A. B. C. D. 2．设函数，则下列函数中为奇函数的是 （ C ） A． B． C． D． 3．已知函数的值域为，其中，则实数的取值范围是 （ A ） A． B． C． D． 4．若函数在区间是存在零点，则常数的取值范围为 （ C ） A． B． C． D． 5．已知的值为 （ C ） A． B． C． D． 6．如图，在正三棱台中，若，则异面直线所成角的余弦值为 （ D ） A． B． C． D． 7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（），若，则 （ C ） A． B． C． D． 8．已知的大小关系为 （ D ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数的实部为，且在复平面内对应的点分别为，则（BC） A． B． C．在第一象限内 D． 在第四象限内 10．若正实数，满足，则下列说法正确的是 （ABD） A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值2 D.有最小值 11．如图，三棱锥，的中点，点为三棱锥外接球球心，则 （ACD ） A．当 B．当时，二面角大小为 C．当异面直线所成角为时， D．当点 到平面的距离为时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．设集合，若中恰含有2个整数，则实数的取值范围是 . 13．已知 .（用表示） 14．已知函数是偶函数，则 ，函数对于恒有成立，函数，则函数的值域是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数（）为奇函数. （1）求实数的值并证明函数的单调性； （2）解关于不等式：. 15．解：（1）因为函数（）为奇函数，所以， 即，即， 即，化简得， 所以.（说明直接由用求解不给分）由得，任取， 则 因为，所以，，，，所以 所以，所以在上单调递增. （2）可化为， 设函数，由（1）可知，在上也是单调递增， 所以，即，解得. 16． 函数对任意的都有，并且当时， （1）判断函数是否为奇函数，（2）证明：在上是增函数， （3）若，解不等式； 16．解：（1） 当时，解得，显然函数不可能是奇函数， （2）任取,且 ， 在上为单调增函数. （3）解：令，由题，则 ，在上为单调增函数.， ，即， 17．已知． 求（1）的最小值； （2）的最小值； （3）正数满足，求的取值范围．（上述三问中，选择两问进行解答） 17．解：（1）因为，所以，，， 所以，所以， 当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值； （2）， ， 当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值25； （3）因为，当且仅当时取等号， 解得，所以，因为正数满足， 所以，故的取值范围． 18．已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．解：（1）当a＝1时，f（x）＝2ex﹣x﹣2，f′（x）＝2ex﹣1，f′（1）＝2e﹣1， 即曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率k＝2e﹣1，又f（1）＝2e﹣3， 故所求的切线方程是y＝（2e﹣1）x﹣2． （2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立⇔[f（x）]min≥0． 易知f′（x）＝2ex﹣a． ①若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增； 又f（0）＝0，∴当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）＝0，符合题意． ②若 a＞0，由f′（x）＝0，解得x＝ln． 则当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． ∴x＝时，函数f（x）取得最小值． 当，即0＜a≤2时，当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）＝0，符合题意． 当，即a＞2时，当时，f（x）单调递增，f（x）＜f（0）＝0，不符合题意．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]． 19． 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由． 19．解：(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD， 由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A， 由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD. (Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴， AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知：， 由可得点F的坐标为， 由可得， 设平面AEF的法向量为：，则 ， 据此可得平面AEF的一个法向量为：， 很明显平面AEP的一个法向量为，， 二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为. (Ⅲ)易知，由可得，则， 注意到平面AEF的一个法向量为：， 其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内. 1 学科网（北京）股份有限公司 $