第2章 随机事件的概率（复习课件）数学新教材浙教版九年级上册

第二章随机事件 的概率 复习课件 浙教版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 考情速览 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 真题实战 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 能区分必然事件、不可能事件与随机事件，会用「一定」「不可能」「可能」等语言描述事件发生的确定性；理解事件发生的可能性有大小之分。 02 理解概率 理解概率的意义，知道必然事件的概率为 1、不可能事件的概率为 0、随机事件的概率介于 0 与 1 之间；分清频率与概率的区别与联系。 会用公式 会用概率公式 P(A)=m/n 计算简单事件发生的概率，已知概率会反求符合条件的数量。 思想与应用 会用直接列举、列表、画树状图的方法不重不漏地列出所有等可能结果，会用频率估计概率；能判断游戏是否公平并设计简单方案，发展数据观念与模型观念。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1. 「频率」与「概率」的区分：频率是试验结果、会波动，概率是确定的数，频率随试验次数增多而稳定于概率。 2. 两步（两次）试验中等可能结果的列举：易重复、易遗漏，需分清「有放回」与「无放回」，两者结果总数不同。 3. 几何概率中「等可能」的确认：等可能的是面积（或长度），不是位置。 4. 由概率反求数量、以及游戏公平性的判断与方案设计。 1. 事件的分类：必然事件、不可能事件、随机事件的判断。 2. 概率的意义与取值范围 0≤P(A)≤1，以及三种特殊事件的概率取值。 3. 概率公式 P(A)=m/n（m 为 A 包含的结果数，n 为所有等可能结果数）。 4. 用列表法、树状图法列举所有等可能结果求概率；用频率估计概率。 考情速览 —— 浙江各市期末真题 命题来源：近两年浙江杭州、宁波、绍兴、金华等市九年级期末真题，本单元共考查 10 题（选择 4 · 填空 2 · 解答 4）。 命题特点：（1）全卷最稳的得分板块，考查方式高度固定；（2）事件分类 → 概率公式 → 频率估概率 → 列表/树状图，四步走；（3）解答题必考「两次抽取」型的列表法或树状图；（4）易错集中在一处：把「频率」当成「概率」直接下结论 1. 列表法／树状图求概率 —— 4 题（解答4） 2. 用频率估计概率 —— 3 题（选择2·填空1） 3. 事件的分类与可能性大小 —— 2 题（选择2） 4. 概率公式直接计算 —— 1 题（填空1） 高频考点 知识图谱 简单事件的概率 事件的分类 必然 / 不可能 / 随机 可能性的大小 0≤P(A)≤1 概率的意义 刻画随机现象的数 概率公式 P(A)=m/n 等可能事件 列举法 直接列举·列表·树状图 用频率估计概率 试验次数足够大 几何概率 面积比 / 长度比 概率的应用 游戏公平·方案设计 考点串讲 ——1：事件的分类 在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件；必然不会发生的事件叫做不可能事件；可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件（不确定事件）。必然事件与不可能事件统称确定事件。 （1）分类框架：事件分为确定事件与随机事件；确定事件又分为必然事件与不可能事件。 （2）判断关键：看该事件在该条件下是否一定发生、一定不发生，还是结果不唯一。「天气预报说明天降水概率 90%」是随机事件——再高的可能性也不是必然。 （3）三类事件的概率：P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；0<P(随机事件)<1。 （4）常考陷阱：① 把「可能性很大」当成必然事件；② 把几何常识当作概率依据，如「长为 4、5、17 的三条线段能围成三角形」是不可能事件（4+5<17）。 归纳总结 考点串讲 ——2：可能性的大小与概率的意义 事件发生的可能性有大小。概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，记作 P(A)，它表示在大量重复试验中事件 A 发生的频率的稳定值。 （1）比较可能性大小的两条路径：一是凭经验与事件本身判断（如袋中红球多于白球，则摸出红球的可能性大）；二是先算概率再比较数值。 （2）概率的意义：概率是理论上的确定值，与试验次数无关；「降水概率 80%」指在相似气象条件下，约 80% 的情况会降水，而非「80% 的地方下雨」。 （3）取值范围：0≤P(A)≤1。P(A) 越接近 1，事件越可能发生。 （4）等可能事件：若一次试验有 n 种等可能的结果，事件 A 包含其中 m 种，则 P(A)=m/n。使用前提是各结果「等可能」，否则不能套公式。 归纳总结 考点串讲 ——3：用频率估计概率 在大量重复试验中，事件 A 发生的频率 m/n 会逐渐稳定于某个常数，这个常数就是事件 A 发生的概率。因此可用大量重复试验的频率来估计概率。 （1）频率与概率的区别：频率是试验值，每次试验都可能不同；概率是理论值，是一个确定的数。二者在试验次数足够大时趋于一致。 （2）求频率的方法：频率 = 频数 ÷ 总次数，结果通常保留两位小数或按题给精度取值。 （3）用频率估计概率的步骤：读表 → 计算各组频率 → 观察其稳定值 → 用稳定值作为概率的估计值 → 代入求频数或数量。 （4）适用范围：当结果不是等可能、或结果数无法穷举时（如投针试验、估计不规则图形面积、估计池塘鱼数），只能用频率估计概率。 （5）注意：单次试验的频率不能作为概率的估计；试验次数越多，估计越可靠。 归纳总结 考点串讲 ——4：求概率的常用方法 求概率的核心是「不重不漏地列出所有等可能结果」。按试验步骤的多少与复杂程度，依次选用直接列举法、列表法、树状图法。 （1）直接列举法：结果较少（一般不超过 6 种）时，一一写出分子 m 与分母 n。 （2）列表法：适用于两步试验。用行、列分别表示第一步与第二步的结果，表格中每个格子代表一种组合，能直观看出总数与各情况数。 （3）树状图法：适用于两步及以上的试验，或结果需要分层的情况。按步骤逐层画分支，每条从根到叶的路径就是一种结果。 （4）关键区分——有放回与不放回：有放回时第二次仍可取到第一次取过的对象，结果总数为 n×n；不放回时第二次的选择减少一个，结果总数为 n(n−1)。题目出现「取出后不放回」「随机抽取两次」通常为不放回，须特别留意。 （5）结果数较大时可先算总数与目标数，再用 P(A)=m/n，不必逐一写出全部情况。 归纳总结 题型全解 题型01 事件的分类 解：A．由三角形内角和定理可知：三角形内角和为180°，故A选项是必然事件，符合题意； B．抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意； C． 某运动员跳高的最好成绩是10m是不可能事件，不符合题意； D． 从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品属于随机事件，不符合题意． 故选A． 难度 0.94 1．下列事件中属于必然事件的是（ ） A．三角形内角和为180° B．抛掷一枚硬币，正面朝上 C．某运动员跳高的最好成绩是10m D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品 A 题型全解 题型01 事件的分类 方法总结 方法 1 三问定类型 一问：这个事件一定发生吗？ 二问：它一定不发生吗？ 三问：结果是否不唯一？ 前两问都为「否」，即为随机事件。 方法 2 借常识排除 用数学事实作判据：三角形三边关系、 气温不可能低于绝对零度、 一年最多 366 天等。 与数学事实矛盾的是不可能事件。 题型全解 题型02 事件可能性的大小 答案：A 解：总球数为4+3+2+1=10个，红球4个，黑球3个，白球2个，绿球1个， 则红球数量最多，摸出红球的可能性最大， 故选：A． 难度 0.94 一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球， 可能性最大的是（ ） A．摸出红球 B．摸出黑球 C．摸出白球 D．摸出绿球 A 题型全解 题型02 事件可能性的大小 方法总结 方法 1 算概率再比较 分别求出各事件的概率； 概率大的可能性大，概率小的可能性小； 概率相等则可能性相同。 方法 2 观察「占比」 摸球类问题看各类球的数量占比； 转盘类问题看各扇形的圆心角（面积）占比； 占比越大，可能性越大。 题型全解 题型03 用概率公式计算概率 解：∵方程(1−k)x²+3x−2=0有两个不相等的实数根， ∴1−k≠0，且判别式Δ=3²−4(1−k)(−2)=9+8(1−k)>0， 解得k≠1且k<17/8， k₁=1不满足k≠1；k₂=7/4=1.75<17/8满足；k₃=3>17/8不满足；k₄=−(11)/(8)=−1.375<17/8满足； ∴正确的k值有2个， 故随机选一球选对的概率为2/4=1/2． 故选：C． 难度 0.65 班级学习小组正研究一个问题：已知关于x的一元二次方程(1−k)x²+3x−2=0有两个不相等的实数根，当k为何值时才符合题意．黄老师把4个数字：k₁=1，k₂=7/4，k₃=3，k₄=−11/8．分别写在四个小球上，这四个小球除了数字外没有其他差异．请问小组代表从这四个球随机选一球， 能够选对结果的概率是（ ） A．1 B．3/4 C．1/2 D．1/4 C 题型全解 题型03 用概率公式计算概率 方法总结 方法 1 两步走定 m、n ① 先数所有等可能结果总数 n； ② 再数事件 A 包含的结果数 m； ③ 代入 P(A)=m/n 并约分。 方法 2 组合计数免列举 结果较多时用「先确定一个、再配其余」计数： 如从 n 个中选 2 个，总数为 n(n−1)/2（无顺序）； 目标情况数同法计算。 题型全解 题型04 已知概率求数量 答案：25 解：∵摇匀后再随机摸出5个球，其中有1个是带记号的小球， ∴从袋子中任意摸出1个球，是带记号的小球的概率约为1/5， 则可以估计这个袋子中一共大约5÷1/5=25个球． 故答案为：25． 难度 0.85 在一黑色不透明的袋子里装有大小颜色相同的小球若干， 在袋中随机摸出5个小球做上记号后放回袋子中，摇匀后再随机摸出5个球， 其中有1个是带记号的小球，则可以估计这个袋子中一共大约有____个球． 25 题型全解 题型04 已知概率求数量 方法总结 方法 1 由概率反推总数 由 P(A)=m/n 得 n=m/P(A)； 已知目标数量 m 与概率，即可求总数 n； 求「还需增加几个」时用 n 减去已有数量。 方法 2 设未知数列方程 设所求数量为 x； 把 m、n 用含 x 的代数式表示； 代入概率公式建立方程求解。 题型全解 题型05 几何概率 解：本题考查了几何概率，熟练掌握概率的意义，概率公式是解题的关键．用空白区域的面积除以总面积即可． 解：由题意可知，空白区域的面积和阴影部分的面积相同， ∴小明掷在空白区域的概率是1/2． 故选：A． 难度 0.85 小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（ ） A．1/2 B．1/3 C．1/4 D．3/4 A 题型全解 题型05 几何概率 方法总结 方法 1 面积比定概率 确认各点落在区域内是等可能的； P = 目标区域面积 ÷ 总面积； 不规则区域可用「频率 × 总面积」反求。 方法 2 长度比与圆心角比 线段上的点用长度之比； 转盘用圆心角（或扇形面积）之比； 结果务必约成最简分数。 题型全解 题型06 列举法求概率 解：每辆车有3种方向选择：直行、左转、右转，且选择独立， 则可能的情况组合为： （直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）， 总可能结果数为9种，其中两辆车驶向相同方向的情况有3种：都直行、都左转、都右转， 因此驶向相同方向的概率是3/9=1/3， 故选：A． 难度 0.85 经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 3 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口， 驶向相同方向的概率是（ ） A．1/3 B．2/3 C．1/9 D．2/9 A 题型全解 题型06 列举法求概率 方法总结 方法 1 按步逐一列举 结果较少时按一定顺序写出全部结果， 可用编号或字母标记； 检查有无重复与遗漏再计数。 方法 2 有序与无序要分清 「先取 a 再取 b」与「先取 b 再取 a」若视为不同结果， 则按有序计数，分子分母口径必须一致； 同一题中口径不可混用。 题型全解 题型07 列表法或树状图求概率 答案：1/4 解：记“DeepSeek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”分别为A，B，C，D，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两人选择AI软件相同的结果有4种， 故两人选择AI软件相同的概率是(4)/(16)=1/4． 故答案为：1/4． 难度 0.85 随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵和小亮分别从“DeepSeek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则两人选择AI软件相同的概率为___________． 1/4 题型全解 题型07 列表法或树状图求概率 方法总结 方法 1 两步用列表 画 n×n 表格，行、列分别写第一步与第二步的结果； 逐格写出组合（注意「不放回」时划掉对角线）； 数总格数 n，再数满足条件的格数 m。 方法 2 多步用树状图 第一层画第一次试验的所有可能； 每一分支下再画第二次试验的所有可能； 数最下层叶子总数与符合条件的叶子数。 题型全解 题型08 求频率 （1）解：表中a=(290)/(500)=0.58， 故答案为：0.58； （2）解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6， 所以摸到白球的概率的估计值是0.6， 故答案为：0.6； （3）解：（2）中情况下，白球的个数为：20×0.6=12（个）， 添加4个黑球后，摸到白球的概率为：(12)/(20+4)=(12)/(24)=1/2， 即此时摸到白球的概率是1/2． 难度 0.65 在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据 (1)上表中的a=________． (2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）． (3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？ 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 0.58 0.6 题型全解 题型08 求频率 方法总结 方法 1 频率=频数÷总数 分清「频数」与「频率」：频数是次数，频率是比值； 逐个相除并按题目要求取精度； 结果一般写成小数或百分数。 方法 2 频率表读稳定值 把各组频率算出后横向比较； 去掉明显偏大的前几组； 取后面波动很小的那个值作为估计。 题型全解 题型09 由频率估算概率 答案：D 解：由表格数据可知，随着移植总数的增加，成活率逐渐稳定在92%左右， 因此估计这一类新品种脐橙树成活的概率为92%． 故选：D． 难度 0.85 某植物科学研究院为研究一类新品种脐橙树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示 估计这一类新品种脐橙树成活的概率为（ ） A．94% B．90% C．91% D．92% 移植总数n 50 200 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 185 369 690 1374 3234 6454 9220 12894 成活率 D 题型全解 题型09 由频率估算概率 方法总结 方法 1 先估概率再预测 由已有数据求出稳定频率作为概率估计值 p； 再用「预计次数 = 总次数 × p」预测； 或由「数量 = 总数 × p」估算总量。 方法 2 抽样估计总量 用样本的频率估计总体概率； 再乘总体数量得总体中该类个体的数量； 如「捉放法」估计池塘中鱼的总数。 题型全解 题型10 概率的应用 （2）解：如图，列表如下 由列表可知，共有20种等可能的结果， 其中2张卡片正面图案是3A级景区的有6种： (C,D),(C,E),(D,C),(D,E),(E,C),(E,D), ∴小辰赢的概率P₁=6/20=3/10， 则小浩赢的概率P₂=7/10， ∴P₁≠P₂， ∴这个游戏不公平． 难度 0.65 数学活动课上，小辰和小浩玩抽卡片游戏．如图，现有5张正面印有榆林旅游风景区（2张4 A级，3张3 A级）的卡片，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同， 小辰将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小辰从中随机抽取1张卡片， 抽到正面印着“波浪谷景区”的概率是_____； (2)若规定：小辰从中随机抽取1张卡片， 不放回，小浩再从中随机抽取1张，若2张卡片的正面图案都是3A级景区， 则小辰赢，否则小浩赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？ 1/5     （A，B） （A，C） （A，D） （） （B，A）   （B，C） （B，D） （B，E） （C，A） （C，B）   （C，D） （C，E） （D，A） （D，B） （D，C）   （D，E） （E，A） （E，B） （E，C） （E，D）   题型全解 题型10 概率的应用 方法总结 方法 1 公平性看概率是否相等 分别算出各方获胜的概率； 概率相等则游戏公平，不等则不公平； 不公平时可调整得分或区域使概率相等。 方法 2 用概率做决策 先明确决策的目标（如收益最大）； 再计算各方案的收益与对应概率； 比较「收益×概率」的和确定最优方案。 针对训练（1/3） 1．下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A．在一个装着白球和红球的袋中摸球，摸出红球 B．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 C．2026年除夕当天，绍兴的最高气温超过10℃ D．用长度为4cm，5cm，17cm的三根木棒作为三边搭一个三角形 【答案】D　 2．一个不透明的布袋里装有4个1号球和3个2号球，这些球除编号不同外，其余均相同．从该布袋中随机摸出一个球，是2号球的概率是____ ． 【答案】3/7　 3．不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、 再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（ ） A．2/3 B．1/9 C．4/9 D．1/4 【答案】D 4．在学校举办的元旦游园活动中，有一个摸球抽奖的游戏环节：工作人员在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共40个， 这些球除颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在0.35左右，则袋子中黄球的个数最有可能是( ) A．14 B．26 C．30 D．36 【答案】B 针对训练（2/3） 5．某校航天社团为筹备航天主题演讲，准备从“嫦娥六号钻取器”，“嫦娥七号飞跃器”，“鹊桥中继星”这三个航天科普模型中随机选取两个进行演讲，则恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的概率为（ ） A．1/6 B．1/3 C．1/2 D．2/3 【答案】B 6．已知某一事件发生的概率是1/2，下列说法正确的是（ ） A．做100次重复试验，该事件一定会发生50次 B．第一次试验该事件没有发生，第二次试验该事件一定会发生 C．两次重复试验中，该事件必定会发生一次 D．重复多次试验，该事件发生的频率稳定在50%左右 【答案】D 7．从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax²+4x+c=0有实数根的概率为（ ） A．1/2 B．1/3 C．2/3 D．1/6 【答案】C 8．已知，在“浙BA”篮球赛中，由大数据推送发现某地21号运动员比赛中罚球投中的概率是(9)/(10)．若他在一场比赛中，有10次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 【答案】9 针对训练（3/3） 9．现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字2，4，5的卡片在甲手中，标有数字1， 3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率为______． 【答案】5/9 10．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在20%附近，则估计口袋中的球大约有_______个． 【答案】5 11．在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)从布袋中随机摸出一个球是红球的概率为______________． (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中随机摸出一个球是红球的概率是5/8，问取走了多少个白球？ 【答案】(1)1/3 (2)取走了7个白球 12．一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球a₀，2个标号分别为1，2的红球b₁，b₂，1个标号为3的白球c₃，这些球除颜色和标号外无其他差别． (1)从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的概率； (2)从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球．求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4的概率． 【答案】(1)1/4 (2) 真题实战 真题实战 1　事件的分类 答案：C 来源：浙江宁波·26期末 “在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（ ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 真题实战 真题实战 2　用频率估计概率 答案：D 来源：浙江金华·26期末 为估计椭圆的面积，小明在面积为200 cm²的长方形纸片上随机掷点， 经过大量试验发现，点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积为（ ） A．0.4 cm² B．0.6 cm² C．80 cm² D．120 cm² 真题实战 真题实战 3　列表法与树状图求概率 答案：1/5 来源：浙江杭州·26期末 杭州地铁5号线“滨康路站”现仅有A，B，E，H，G五个入口．某周六上午， 小滨、小江两位志愿者没有约定，随机选择该站的一个入口，开展志愿服务活动．用列表或画树状图的方法，求小滨、小江两人在同一入口开展志愿服务活动的概率． 单元总结 / 易错复盘 ·分类规则 P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，随机事件满足 0<P(A)<1。 概率公式 P(A)=m/n 的使用前提：所有结果必须等可能。 频率是试验值、概率是理论值；只有大量重复试验的频率才可估计概率。 有放回试验结果总数为 n×n，无放回为 n(n−1)，先辨清再计数。 ·核心概念 事件分类：确定事件（必然/不可能）+ 随机事件，两者不重叠、不遗漏。 概率是刻画随机事件发生可能性大小的数，与试验次数无关。 频率的稳定性：试验次数越多，频率越接近概率，这是用频率估计概率的依据。 列举三法（直接、列表、树状图）追求的是「不重不漏」。 ·答题注意事项 把「可能性很大」误判为必然事件，或把「可能性很小」误判为不可能事件。 直接用单次或少数几次试验的频率作为概率，忽略频率的波动性。 两步试验计数时把「有放回」与「不放回」混用，导致分母出错。 列表或树状图列举时重复计数（如把 (a,b) 与 (b,a) 当成同一结果又计两次）。 浙教版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $