第3章 圆的基本性质（复习课件）数学新教材浙教版九年级上册

第三章 圆的基本 性质 复习课件 浙教版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 考情速览 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 真题实战 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 理解圆、弦、弧、圆心角、圆周角等概念；掌握点与圆的位置关系（d 与 r 的比较）与三角形的外接圆、外心的特征。 02 核心定理 掌握垂径定理及其推论、圆心角定理、圆周角定理与圆内接四边形的性质，能用于计算与证明。 旋转与计算 理解图形旋转的概念与性质，会作旋转图形、求旋转后的坐标；掌握正多边形与圆的关系、弧长公式与扇形面积公式。 思想与应用 在复习中体会圆的对称性（轴对称与旋转对称）带来的等量关系，会用「连半径、作弦心距、添直径」等基本辅助线解决问题，发展几何直观与推理能力。 概念与关系 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1. 垂径定理的应用须「连半径、作弦心距」，构建以半径、弦心距、半弦为三边的直角三角形，这一步是本章解题的枢纽。 2. 圆周角定理的灵活运用：同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角、圆内接四边形对角互补，三条推论常与等腰三角形、直角三角形联用。 3. 圆中「等量关系」的转化：弧等 → 弦等 → 圆心角等 → 圆周角等，多结论判断题需逐条转化验证。 4. 不规则图形面积的割补：扇形、三角形、弓形的拼补，需要准确识别「所求 = 谁加谁减谁」。 5. 圆与相似、函数、坐标系的综合题（章末压轴）。 1. 圆的定义与相关概念（弦、直径、弧、等圆、等弧）；点与圆的位置关系。 2. 垂径定理及其推论——垂直于弦的直径平分弦、平分弦所对的弧。 3. 圆心角定理：在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 所对的弧相等 ⇔ 所对的弦相等。 4. 圆周角定理及其推论；圆内接四边形的对角互补。 5. 图形的旋转三要素与性质；弧长公式 l=nπR/180、扇形面积 S=nπR²/360=（1/2）lR。 考情速览 —— 浙江各市期末真题 命题来源：近两年浙江杭州、绍兴、宁波、金华等市九年级期末真题，本单元共考查 23 题（选择 10 · 填空 7 · 解答 6）。 命题特点：（1）题量最大、分布最广，选择填空解答全覆盖；（2）圆周角定理是绝对核心，常与垂径定理、等腰三角形联用；（3）正多边形与圆、弧长扇形面积多考填空，属稳定得分点；（4）压轴走「圆 + 相似/函数/坐标系」的综合路线 1. 圆周角定理及推论 —— 6 题（选择4·填空1·解答1） 2. 垂径定理及其应用 —— 5 题（选择2·填空1·解答2） 3. 正多边形与圆 —— 4 题（填空4） 4. 点与圆的位置关系 —— 3 题（选择3） 5. 弧长公式 —— 3 题（选择2·填空1） 6. 跨章综合（与相似、函数） —— 3 题（解答3） 7. 圆内接四边形 —— 2 题（选择1·解答1） 8. 圆心角、弧、弦的关系 —— 2 题（解答2） 高频考点 知识图谱 圆的基本性质 圆与相关概念 弦·弧·圆心角·圆周角 点与圆的位置关系 外接圆与外心 图形的旋转 三要素·性质·坐标 垂径定理 垂直于弦的直径 圆心角 ⇔ 弧 ⇔ 弦 同圆中等量互推 圆周角定理 同弧所对圆周角相等 圆内接四边形 对角互补 正多边形与圆 弧长·扇形面积 考点串讲 ——1：圆的定义与相关概念 在同一平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆，记作 ⊙O。定点 O 叫圆心，线段 OA 叫半径。圆上任意两点间的部分叫做弧，连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 （1）两个要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。确定一个圆需要圆心与半径两个条件。 （2）若干概念：①弦——两端点都在圆上的线段；②直径——经过圆心的弦，是最长的弦，等于半径的 2 倍；③弧——圆上两点间的部分，小于半圆的叫劣弧、大于半圆的叫优弧；④等弧——能够完全重合的弧。 （3）易错辨析：「等弧」必须在同圆或等圆中；长度相等的两条弧不一定是等弧。「弦」是线段，「弧」是曲线，二者不可混说。 （4）圆的对称性：圆既是轴对称图形（任意一条直径所在直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心是对称中心），还具有旋转对称性——这一性质是圆心角定理、垂径定理成立的根源。 归纳总结 考点串讲 ——2：点与圆的位置关系、三角形的外接圆 设 ⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d，则：d>r ⇔ 点在圆外；d=r ⇔ 点在圆上；d<r ⇔ 点在圆内。经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。 （1）判断三步走：先求半径 r、再求距离 d、最后比较大小。题目只说「点在圆内」时，反推出的是 d 的取值范围，据此判断哪条线段长可能。 （2）外心的位置：外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等（都等于外接圆半径）。 （3）外心随三角形形状变化：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部。 （4）常用推论：直角三角形的外接圆直径等于斜边；三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形。 归纳总结 考点串讲 ——3：图形的旋转：概念与性质 把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转。点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做对应点。 （1）三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。三者确定，旋转就唯一确定。 （2）三条性质：①对应点到旋转中心的距离相等（旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上）；②对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等（形状、大小都不变，只改变位置）。 （3）作图三步：连（连接关键点与旋转中心）→ 转（作等于旋转角的角）→ 截（在所作射线上截取相等的线段），最后顺次连接各对应点。 （4）坐标变化规律（绕原点旋转）：逆时针旋转 90°，(x,y)→(−y,x)；旋转 180°，(x,y)→(−x,−y)；顺时针旋转 90°，(x,y)→(y,−x)。 （5）旋转与中心对称的关系：旋转 180° 就是中心对称，中心对称是旋转的特例。 归纳总结 考点串讲 ——4：垂径定理及其拓展 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 （1）定理的五个条件与结论（「知二推三」）：一条直线若满足①过圆心、②垂直于弦、③平分弦（非直径）、④平分弦所对的劣弧、⑤平分弦所对的优弧，则知其任意两条可推出其余三条。 （2）核心辅助线——连半径、作弦心距：设半径为 R、弦长为 a、弦心距为 d，则 (a/2)² + d² = R²。这是圆中计算的「万能三角形」。 （3）弓形高的转化：若弓形高为 h，则 R = h + d，与上式联立可求任一量。 （4）实际应用模型：拱桥、隧道、管道水深的计算，本质都是「半径—弦心距—半弦」直角三角形；解题时先画出示意图再列方程。 （5）常见结论：圆的两条平行弦所夹的弧相等；垂直于弦的直径必平分弦所对的弧；弦的垂直平分线必过圆心。 归纳总结 考点串讲 ——5：圆心角、弧、弦的关系 顶点在圆心的角叫做圆心角。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （1）圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。即「圆心角相等 ⇔ 弧相等 ⇔ 弦相等」可以互推。 （2）使用前提极其重要：必须在「同圆或等圆」中。两个半径不同的圆中，即使圆心角相等，所对的弧长也不相等（弦更不等）。 （3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数，这是弧的度数与角度互相转换的桥梁。 （4）推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等；在同圆中相等的弦所对的弦心距也相等（弦越短，弦心距越大）。 （5）解题套路：见到「弦相等」先想到「弧相等、圆心角相等」，再把等量转移到三角形中去证明或计算。 归纳总结 考点串讲 ——6：圆周角与圆周角定理 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （1）圆周角的两要素：顶点在圆上、两边与圆相交，缺一不可（顶点在圆内的是圆内角，顶点在圆外的是圆外角，都不适用本定理）。 （2）三条常用推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，反之 90° 的圆周角所对的弦是直径；③圆内接四边形的对角互补（或外角等于内对角）。 （3）由推论 ② 得到的常用辅助线——见直径，连圆周角，得直角三角形；反过来见 90° 的圆周角，可确定直径。 （4）与圆心角的换算：同一段弧所对的圆周角是圆心角的一半，这一句是本章计算角度最常用的关系式。 （5）易错点：圆周角的大小只与被对的那段弧有关，与角的两边长短、顶点在弧上的具体位置无关。 归纳总结 考点串讲 ——7：圆内接四边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。 （1）核心性质：圆内接四边形对角互补，即 ∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 （2）推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角。 这一条在「已知一个外角求内角」的题中最省事。 （3）判定：对角互补的四边形内接于圆（四点共圆）。 （4）与圆周角定理联用：求圆内接四边形的角时，先找同弧所对的圆周角相等，再用邻补角把所求角转化到已知角上。 （5）常见图形：以圆的直径为一对角线的四边形、一条边为直径的四边形——此时常出现直角三角形。 归纳总结 考点串讲 ——8：正多边形与圆 各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。把圆分成 n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形。 （1）两个基本量：正 n 边形的中心角（每条边所对的圆心角）等于 360°/n；每个内角等于 (n−2)·180°/n。 （2）内角与外角：正 n 边形的每个外角等于 360°/n，与中心角相等；内角 + 外角 = 180°。 （3）正 n 边形的对称性：都是轴对称图形，当 n 为偶数时也是中心对称图形，当 n 为奇数时不是。 （4）基本图形：正 n 边形的相邻两条半径与一条边构成等腰三角形，边心距是这条边上的高，把等边三角形分成两个直角三角形——这是正多边形计算的通用模型（含 30°、45°、60° 角的直角三角形）。 （5）常用特例：正三角形的边长 a 与外接圆半径 R 满足 a=√3R；正方形的边长 a=√2R；正六边形的边长等于外接圆半径 a=R。 归纳总结 考点串讲 ——9：弧长与扇形面积 在半径为 R 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长 l = nπR/180；圆心角为 n° 的扇形面积 S = nπR²/360。扇形面积与弧长的关系：S = lR。 （1）两个公式的由来：把圆心角 n° 所占整个圆的份额 n/360分别乘圆周 2πR 与圆面积 πR² 即得，理解来源后不易记错。 （2）两个公式配对使用：已知弧长与半径求扇形面积用 S=(1/2)lR，比先求圆心角更快。 （3）圆心角与弧长的换算：l = nπR/180 ⇒ n = 180l/(πR)，这是由弧长反求圆心角的常用变形。 （4）不规则图形面积的三条路：①割——分成若干规则图形；②补——补成规则图形再减去多余部分；③等积变换——通过平移、旋转、翻折把零散部分拼成规则图形。 （5）常用模型：弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积（对应圆心角小于 180° 时）；阴影部分常通过「同底等高」或「旋转重合」转化为扇形。 归纳总结 题型全解 题型01 圆的基本性质 解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤ 弦AB连接圆上两个不同点，AB＞0，最大弦为直径6cm， ∴0cm<AB≤6cm，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 难度 0.85 给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆； ⑤A，B是半径为3cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是0cm<AB≤6cm．其中，正确的是（ ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ B 题型全解 题型01 圆的基本性质 方法总结 方法 1 用定义逐项比对 弦是线段、弧是曲线，先分清对象； 「等弧」必须在同圆或等圆中； 直径是最长的弦，等于半径的 2 倍。 方法 2 抓住圆的对称性 圆是轴对称图形（直径所在直线为对称轴）， 也是中心对称图形（圆心为对称中心）； 由对称性可直接得到弦、弧的相等关系。 题型全解 题型02 点与圆的位置关系 解： A、因为点A在圆外，所以点A到圆心距离大于半径3，可能为4，故选项A符合题目要求， B、因为点B在圆上，所以点B到圆心距离等于半径3，不可能为4，故选项B不符合题目要求， C、因为点C在圆内，所以点C到圆心距离小于半径3，不可能为4，故选项C不符合题目要求， D、因为点D在圆内，所以点D到圆心距离小于半径3，不可能为4，故选项D不符合题目要求． 故选：A． 难度 0.94 如图，⊙O的半径为3，那么图中到圆心O的距离可能为4的点是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D A 题型全解 题型02 点与圆的位置关系 方法总结 方法 1 半径 距离 比大小 求出半径 r 与点到圆心的距离 d； d>r 在圆外，d=r 在圆上，d<r 在圆内； 只给「在圆内」时反推 d 的范围再定字母取值。 方法 2 由 d 与 r 列不等式 把「点在圆内/圆上/圆外」翻译成 d<r、d=r、d>r； 含参数时解不等式（组）求范围； 边界值要单独检验是否取等号。 题型全解 题型03 三角形的外接圆 解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 难度 0.85 对于三角形的外心，下列说法正确的是（ ） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 D 题型全解 题型03 三角形的外接圆 方法总结 方法 1 外心即垂直平分线交点 外心是三边垂直平分线的交点； 作两条边的垂直平分线，交点即为圆心； 外心到三个顶点的距离相等（都等于半径）。 方法 2 由三角形形状定外心位置 锐角三角形的外心在三角形内部； 直角三角形的外心是斜边的中点（半径 = 斜边的一半）； 钝角三角形的外心在三角形外部。 题型全解 题型04 旋转现象与旋转图形 解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 难度 0.85 下列选项中属于旋转运动的是（ ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 D 题型全解 题型04 旋转现象与旋转图形 方法总结 方法 1 三要素定旋转 找旋转中心（不动点）→ 定旋转方向 → 量旋转角； 旋转角 = 对应点与旋转中心连线的夹角； 对应点到旋转中心距离相等。 方法 2 证旋转用全等 旋转前后图形全等，对应线段相等、对应角相等； 「共顶点的两条相等线段」常提示旋转； 常用旋转 90°、60° 构造全等转移线段。 题型全解 题型05 旋转中心与旋转角 解：如图所示，点M即为所求， 故选：C． 难度 0.65 如图，在7×5的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A．点P B．点Q C．点M D．点N C 题型全解 题型05 旋转中心与旋转角 方法总结 方法 1 找中心与旋转角 旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点； 旋转角等于任一组对应点与中心连线的夹角； 两组对应点即可确定旋转中心和角度。 方法 2 借网格量取 网格题中以格点为参照，数格子确定旋转中心； 用正方形对角线判断 90°、用等边三角形判断 60°； 最后按对应点到中心距离相等验证。 题型全解 题型06 旋转后的坐标 解：如图：AB⊥y轴于B，A′C⊥x轴于C，则OB=√3,AB=1， ∵OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′可看作是Rt△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到A′C=AB=1， ∴A′C=AB=1，OC=OB=√3， ∴点A′的坐标为(√3,−1)． 难度 0.65 在平面直角坐标系中，将点A(1,√3)绕点O顺时针旋转90°，得到的对应点A′的坐标为__________． (√3,−1) 题型全解 题型06 旋转后的坐标 方法总结 方法 1 记牢坐标变换 绕原点逆时针 90°：(x,y)→(−y,x)； 旋转 180°：(x,y)→(−x,−y)； 顺时针 90°：(x,y)→(y,−x)。 方法 2 绕非原点旋转 先把旋转中心平移到原点（坐标整体减中心坐标）； 按规律变换后再平移回去； 也可直接由「距离相等、夹角为旋转角」列方程。 题型全解 题型07 旋转的性质 解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′， ∴∠BOB′=60° ∵∠AOB=25°， ∴∠AOB′=∠BOB′−∠AOB=60°−25°=35° 故选：B． 难度 0.85 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′， 若∠AOB=25°，则∠AOB′的度数是（ ） A．25° B．35° C．40° D．85° B 题型全解 题型07 旋转的性质 方法总结 方法 1 用性质找等量 对应点到旋转中心距离相等； 对应线段相等、对应角相等； 对应点连线被旋转中心所在直线平分（旋转 180° 时）。 方法 2 连辅助线造全等 连接旋转中心与对应点，得到两组相等的线段； 配合公共角或对顶角，用 SAS 证三角形全等； 把所求线段或角转化到已知条件上。 题型全解 题型08 利用垂径定理求值 解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AE=BE=1/2AB=15cm，CF=DF=1/2CD=8cm， ∵⊙O的直径为34cm， ∴⊙O的半径为17cm， 在Rt△OCF中，OC=17cm，CF=8cm， ∴OF=√(OC²−CF²)=15cm， 在Rt△OAE中，OA=17cm，AE=15cm， ∴OE=√(OA²−AE²)=8cm， 当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE=15+8=23(cm)， 当圆心O不在AB与CD之间时，同理可得EF=OF−OE=15−8=7(cm)， 即AB和CD之间的距离为7cm或23cm． 故选：A. 难度 0.65 已知⊙O的直径为34cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，则AB和CD之间的距离是（ ） A．7cm或23cm B．14cm或46cm C．7cm D．23cm A 题型全解 题型08 利用垂径定理求值 方法总结 方法 1 连半径作弦心距 遇弦——连接半径、作弦心距； 构造直角三角形，用 (a/2)²+d²=R²； 求弦长、半径、弦心距、弓形高任一项都靠它。 方法 2 平分弦用推论 已知直径平分弦，则它垂直于弦； 已知直径垂直于弦，则它平分弦与弧； 注意「平分弦的直径」中该弦不能是直径。 题型全解 题型09 垂径定理的应用 解：如图，O是圆心，设⊙O半径为rm，即OA=OB=OM=rm， 依题意得：MN=2.6m，HN=0.1m，AB=1m，MH⊥AB， ∴AH=BH=1/2AB=0.5m，MH=MN−NH=2.6m−0.1m=2.5m， ∴OH=MH−OM=(2.5−r)m， 在Rt△AHO中，OH²+AH²=OA²， ∴(2.5−r)²+0.5²=r²， 解得：r=1.3m 答：圆弧门所在圆的半径为1.3m． 故选D． 难度 0.65 一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示， 则该圆弧门所在圆的半径为（ ） A．0.5m B．1m C．1.2m D．1.3m D 题型全解 题型09 垂径定理的应用 方法总结 方法 1 三量关系建方程 设半径 R、弦长 a、弦心距 d，则 (a/2)²+d²=R²； 弓形高 h 满足 R = h + d； 两个方程联立可求任意量，无需记住结论。 方法 2 实际情境化归为圆 拱桥、圆管、隧道截面先补成整圆； 以圆心为原点建系，把已知长度翻译成弦长与弓形高； 「能否通过」转化为比较截面高度与限高。 题型全解 题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求解或证明 解：如图，连接OA，OB， ∵AD=BC， ∴AD=BC， ∴AB=CD， ∴∠C=∠CAD， ∵AD⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∴∠C=∠CAD=45°， ∴∠O=2∠C=90°， ∴AB=√(OA²+OB²)=√2OA=4√2． 故选：A． 难度 0.65 如图，半径为4的⊙O的弦AD=BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则AB的长为（ ） A．4√2 B．4 C．2√2 D．2 A 题型全解 题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求解或证明 方法总结 方法 1 同圆中三量互推 圆心角相等 ⇔ 弧相等 ⇔ 弦相等； 先确认「同圆或等圆」这一前提； 再据此把已知等量转移到待证对象。 方法 2 连半径造等腰 连接圆心与弦的端点得两条半径； 得到等腰三角形，两底角相等； 配合三角形内角和求角，是圆中求角最短的路。 题型全解 题型11 圆周角定理 解：∵∠BCD=α， 根据同弧所对的圆周角相等，并等于圆心角的一半， ∴∠BED=α，∠BOD=2α， ∵CD∥AB， ∴∠CDE=∠BOD=2α， ∴∠CBE=∠CDE=2α． 故选：A． 难度 0.65 如图，AB，DE是⊙O的直径，弦CD∥AB，连接BC，BE，若∠BCD=α，则∠CBE的度数为（ ） A．2α B．3α C．90°−α D．90°−2α A 题型全解 题型11 圆周角定理 方法总结 方法 1 用同弧或等弧转化 把所求角通过「同弧所对的圆周角相等」转移到已知角上； 等弧（同圆或等圆中）所对的圆周角也相等； 转移后与三角形内角和、外角配合求值。 方法 2 双弧作加减 所求角的两边可能分别截出两段弧； 按「圆周角 = 所对弧的一半」分别计算； 两角之和或差对应两弧之和或差。 题型全解 题型12 半圆所对的圆周角是90度 答案：B 解：如图，连接BD， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， 又∵∠BDC=∠BAC=35°， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+35°=125°． 故选：B． 难度 0.65 如图，AB是直径，点C，D在半圆AB上，若∠BAC=35°，则∠ADC的度数是（ ） A．115° B．125° C．135° D．145° B 题型全解 题型12 半圆所对的圆周角是90度 方法总结 方法 1 见直径连直角 以直径为一边的圆周角必为 90°； 由此得到直角三角形，用勾股定理求边长； 再配合等腰、相似等条件求其余量。 方法 2 见直角找直径 若某圆周角为 90°，则它所对的弦是直径； 这一条可用于证明「某条线段是直径」； 也可用来确定圆心（斜边中点）。 题型全解 题型13 圆的内接四边形 解：∵O、A、B、M都在圆上，∠BMO=120°， ∴∠BAO=180°−∠BMO=60°， ∵∠BOA=90°， ∴AB是⊙C的直径，∠ABO=30°， ∵A(0,4)， ∴OA=4， ∴AB=2OA=8， ∴⊙C的半径为4， 故选：A． 难度 0.65 如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为(0,4)，点 M是第三象限内圆上一点，∠BMO=120°， 则⊙C的半径为（ ） A．4 B．5 C．6√3 D．2 A 题型全解 题型13 圆的内接四边形 方法总结 方法 1 对角互补求角 圆内接四边形对角互补：∠A+∠C=180°； 也可用「外角 = 内对角」直接得答案； 先看清哪个角与所求角成对角或内外角关系。 方法 2 同弧转移再互补 先用同弧所对圆周角相等转移已知角； 再用对角互补（或邻补角）求出目标角； 两步可解决多数内接四边形求角题。 题型全解 题型14 圆与正多边形综合 解：如图，连接OB,OC,BD,BC， ∵正五边形， ∴∠BOC=(360°)/(5)=72°， ∴∠D=1/2∠BOC=36°， ∵ABDC为圆的内接四边形， ∴∠BAC=180°-∠D=144°， 故选：C． 难度 0.65 如图，⊙O内有一内接正五边形，点A为劣弧BC上的任意一点（不与端点重合），则∠BAC的度数是（ ） A．150° B．145° C．144° D．136° C 题型全解 题型14 圆与正多边形综合 方法总结 方法 1 抓两个基本量 中心角 = 360°/n；每个内角 = (n−2)·180°/n； 由内角求边数：n = 360°/(180°−内角)； 由中心角求边数：n = 360°/中心角。 方法 2 半径 边心距 半边 相邻两半径与一条边构成等腰三角形； 作边心距得直角三角形，含中心角的一半； 再用勾股定理求解，正三角形、正方形、正六边形可直接用 1:√3:2、1:1:√2、1:√3 的三边比。 题型全解 题型15 求弧长 解：设此弧所在圆的半径为x，依题意， (45πx)/(180)=(5π)/(2)． 解得x=10． 故选：D． 难度 0.85 45°的圆心角所对的弧长是5/2π，则此弧所在圆的半径是（ ） A．3 B．8 C．9 D．10 D 题型全解 题型15 求弧长 方法总结 方法 1 套公式先找 n 与 R l = nπR/180； 由弧长反求圆心角：n = 180l/(πR)； 由弧长反求半径：R = 180l/(nπ)。 方法 2 滚动与展开 圆滚动一周前进的距离等于圆周长 2πR； 转过的角度 = 路程 ÷ 半径； 展开类问题先算弧长，再与展开后的直边对应。 题型全解 题型16 求扇形与不规则图形的面积 解：如图所示，连接OQ，交PN于点S ∵折叠， ∴OQ⊥PN，ON=NQ， 又∵OQ=ON ∴ON=OQ=QN ∴△OQN是等边三角形， ∴∠QON=60° ∵∠MON=105°， ∴∠POQ=∠MON−∠QON=45° ∵OQ⊥PN， ∴∠OPN=∠QPN=45° ∴∠OPQ=90° ∴△POQ是等腰直角三角形， ∴PO=PQ=2， ∴OQ=√2OP=2√2 ∴OS=1/2OQ=√2,SN=√(ON²−OS²)=√6 ∴S阴影=S扇形OQN−S△OQN=(60)/(360)π×(2√2)²−1/2×2√2×√6=4/3π−2√3 故选：C． 难度 0.65 如图，在扇形MON中，∠MON=105°，P为OM边上一点且OP=2，连接PN，将△OPN沿PN折叠，点O恰好落在MN上的点Q处，则阴影部分的面积为（ ） A．2/3π−2√3 B．2/3π−√3 C．4/3π−2√3 D．4/3π−√3 C 题型全解 题型16 求扇形与不规则图形的面积 方法总结 方法 1 割补三步走 ① 割：把不规则图形分成扇形、三角形等规则部分； ② 补：若不好分，就补成规则图形再减去多余部分； ③ 换：用平移、旋转、翻折把零散部分拼成扇形。 方法 2 弓形与阴影 弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积； 同底等高的三角形可互相替换（面积相等）； 旋转能重合的两块可直接合并计算。 压轴突破 压轴突破 1　圆与解析几何综合 解：如图，连接AM，过点A作AE⊥MN于点E，AF⊥x轴于点F， 又∵∠FON=90°， ∴四边形AFOE是矩形， ∴AE=OF，AF=OE， ∵M(0,−2)，N(0,−8)， ∴OM=2，ON=8， ∴MN=ON−OM=6， ∵AE⊥MN， ∴EM=EN=1/2MN=3， ∴AF=OE=OM+EM=5， ∵⊙A的半径为5， ∴AM=5， ∴AE=√(AM²−ME²)=4， ∴OF=4， ∴A(−4,−5)， 故选：D． 难度 0.85 如图，点M(0,−2)，N(0,−8)，半径为5的⊙A经过点M，N，则点A的坐标为（ ） A．(−5,−4) B．(−4,−6) C．(−6,−4) D．(−4,−5) D 压轴突破 压轴突破 2　圆与一次函数 （1）解：①由题意得，点M的“亲情点”为M′(6,0)，点N的“亲情点”为N′(0,2)， ∴OM′=6>√3+1，ON′=2<√3+1， ∴点M′在⊙O外，点N′在⊙O内； ②设直线CD的解析式为y=kx+b，将C(0,√3+1)和D(√3+1,0)代入 ((√3+1)k+b=0；b=√3+1)， 解得：(k=−1；b=√3+1)， ∴y=−x+√3+1， 根据题意得：点P(a,a+2)的“亲情点”P′为(2a+2,2a+2)， ∵点P′在直线CD上， ∴2a+2=−2a−2+√3+1， 解得a=(√3−3)/(4) 难度 0.65 在平面直角坐标系xOy中，如果点A的坐标为(x,y)，点B的坐标为(2x+2,2y−2)， 则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果⊙O的半径为√3+1． ①请你判断M(2,1)，N(−1,2)两个点的“亲情点”与⊙O的位置关系； ②设⊙O与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点P(a,a+2)的“亲情点”P′在直线CD上， 求a的值； (2)如图2，如果⊙O的半径为1，且Q(−2,3)的“亲情点”为Q′， 求点Q′到⊙O上任一点距离的最小值． 压轴突破 压轴突破 2　圆与一次函数 （2）解：∵Q(−2,3)的“亲情点”为Q′， ∴Q′的坐标为(−2,4)， 点Q′到圆心O的距离为√(2²+4²)=2√5， ∴点Q′与⊙O上任意一点的最短距离是2√5−1． 难度 0.65 压轴突破 压轴突破 3　圆与反比例函数 解：设⊙C与x轴的正半轴的为E，连接BE， ∵OC⊥AE，A(−2,0)， ∴OA=OE=2， ∵以AB为直径的圆的圆心C在y轴上，D(0,4), ∴CA=CB，OD=4，BE⊥x轴， ∴OC是△ABE的中位线， 设OC=x，则AC=CD=4−x,BE=2x， ∵AC²=OC²+OA²， ∴(4−x)²=x²+2² 解得x=3/2， ∴BE=2x=3， ∴B(2,3)， ∴k=2×3=6， 故选C 难度 0.65 如图，已知A(−2,0)，B为反比例函数y=k/x，以AB为直径的圆的圆心C在y轴上，⊙C与y轴正半轴交于D(0,4)，则k的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 C 压轴突破 压轴突破 4　圆与二次函数 难度 0.15 如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a>0,c<0，a、b、c为常数）交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，经过A、B、C三点的⊙T交y轴正半轴于点D． (1)当OA⋅OB=4,OC=3时，求a的值． (2)若抛物线的解析式为y=3/2x²−3/2x−3，求圆心T的坐标． (3)若⊙T的半径为2，AB+CD=5，求线段OT长度的取值范围． （1）解：设A(x₁,0),B(x₂,0)，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点为A、B，交y轴于点C，则x₁x₂=c/a， ∵OA⋅OB=4，OA=−x₁，OB=x₂， ∴−x₁x₂=4，即−c/a=4， ∵OC=3,c<0， ∴c=−3， ∴−(−3)/(a)=4，解：a=3/4． 压轴突破 压轴突破 4　圆与二次函数 · 答案 （2）解：当y=0时，即3/2x²−3/2x−3=0，解得：x₁=−1,x₂=2， ∴A(−1,0),B(2,0)， 当x=0时，即y=−3，即C(0,-3)， ∵⊙T经过A、B、C三点， ∴圆心T在AB的垂直平分线上，TA=TC， ∵A(−1,0),B(2,0)， ∴AB得中点横坐标为(−1+2)/(2)=1/2， 设T(1/2,t)，则TA²=(1/2+1)²+(t−0)²=(3/2)²+t²，TC²=(1/2−0)²+(t+3)²=(1/2)²+(t+3)²， ∵TA=TC， ∴(3/2)²+t²=(1/2)²+(t+3)²，解得：t=−7/6． ∴T(1/2,−7/6)． 压轴突破 压轴突破 4　圆与二次函数 · 答案 （3）解：如图：过T作TE⊥x轴，过T作TF⊥y轴，连接TB，TC， 设TE=p,TF=q，AB=m,CD=n，p≥0,q≥0，则OT=√(p²+q²)， ∵若⊙T的半径为2，AB+CD=5， ∴1≤m≤4,1≤n≤4， ∴BE=1/2m,ET=p,TB=2， ∵TB²=TE²+BE²， ∴2²=p²+(m/2)²， 即p²=4−(m²)/(4)， 同理可得：q²=4−(n²)/(4)， ∴p²+q²=4−(m²)/(4)+4−(n²)/(4)=8−(m²+n²)/(4)=8−((m+n)²−2mn)/(4)=8−(25)/(4)+(mn)/(2)=7/4+(mn)/2， ∵m+n=5， ∴n=5−m，1≤m≤4， ∴mn=m(5−m)=−m²+5m=−(m−5/2)²+(25)/(4)， ∴mn的最大值为25/4， 当m=1时，mn=4；当m=4时，mn=4， ∴4≤mn≤(25)/(4)， ∴7/4+4/2≤p²+q²≤7/4+((25)/(4))/(2)， 即(15)/(4)≤p+q²≤(39)/(8)， ∴(√15)/(2)≤√(p²+q²)≤(√78)/(4)， ∴(√15)/(2)≤OT≤(√78)/(4)． 压轴突破 压轴突破 5　圆与三角形综合 （1）解：作BH⊥CD，垂足为点H， 在⊙O中，AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠ACD=∠BCD=45°， ∵AD=AD,BD=BD， ∴∠BAD=∠BCD=∠ACD=∠ABD=45°， ∴∠ADB=90°,AD=BD， ∴△ABD是等腰直角三角形； ∵直径AB为13cm，弦AC为5cm， ∴BC=√(13²−5²)=12cm,AD²+BD²=2BD²=AB²=169， ∴BD=(13√2)/(2)cm， 在Rt△BCH中，∠BCH=45°， ∴∠BCH=∠CBH=45°， ∴CH=BH， ∴CH²+BH²=2BH²=BC²=144， ∴BH=CH=6√2cm， 在Rt△BDH中， DH=√(BD²−BH²)=√(((13√2)/(2))²−(6√2)²)=(5√2)/(2)cm， ∴CD=CH+DH=6√2+5√2/2=17√2/2cm； 难度 0.4 在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D（如图1和图3）． (1)如图1， 若直径AB为13cm，弦AC为5cm，则△ABD的形状为______，并求CD的长； (2)如图2，在平面直角坐标系中，⊙O₁经过原点O和M(4,4)两点，与坐标轴分别交于点A、B（如图2），问OA+OB的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求其变化的范围． (3)如图3，若CD与直径AB交于点E，过D作AC的平行线，交AB于点F，试判断线段AE,EF,BF之间满足的等量关系，并说明理由． 压轴突破 压轴突破 5　圆与三角形综合 （2）解：OA+OB的值不会发生变化，其值为8，理由如下： 在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM,BM,AM,MN， ∵M(4,4)， ∴点M到x轴、y轴距离相等，OM=√(4²+4²)=4√2， ∴OM平分∠AOB， ∴∠BOM=∠MON=45°， ∴AM=BM， ∴AM=BM， ∵∠MAN=180°−∠OAM=∠OBM,OB=AN， ∴△BOM≌△ANM， ∴∠BOM=∠N=45°， ∴∠OMN=90°， ∴OA+OB=OA+AN=ON=√2OM=8， ∴OA+OB的值不会发生变化，其值为8； 难度 0.4 压轴突破 压轴突破 5　圆与三角形综合 （3）解：，理由如下： 如下图，过点A作并截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 难度 0.4 压轴突破 压轴突破 6　圆与相似三角形综合 （1）， ， 又， ， ， ； 难度 0.4 已知：Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,AC=6，点M是BC上一动点，过点B作BD⊥AM于D，设线段AD被点M分得的线段之比(AM)/(DM)=t， 如图． (1)求证：△ACM∽△BDM； (2)若AD平分∠BAC，求AD的长； (3)点M在BC边上的运动过程中，探究t是否有最小值？若有最小值，请求出t的最小值，若没有最小值，请说明理由． 压轴突破 压轴突破 6　圆与相似三角形综合 （2）解：过点M作MN⊥AB于N， 在Rt△ABC中，AB=10,AC=6， ∴BC=√(AB²−AC²)=8， 设CM=x，则BM=8−x， ∵AD平分∠BAC,MC⊥AC，MN⊥AB， ∴MC=MN=x， 在Rt△AMC与Rt△AMN中， ∵(AM=AM；MC=MN)， ∴Rt△AMC≌Rt△AMN(HL)， ∴AC=AN=6， ∴BN=AB−AN=4， 在Rt△BMN中，BM²=BN²+MN² ∴x²+4²=(8−x)²， 解得：x=3， ∴MC=MN=3，BM=8−x=5 ∴AM=√(CM²+AC²)=3√5， 由（1）得：△ACM∽△BDM， ∴(CM)/(AM)=(DM)/(BM)， 即：(3)/(3√5)=(DM)/(5)， 解得：DM=√5， ∴AD=AM+DM=3√5+√5=4√5； 难度 0.4 压轴突破 压轴突破 6　圆与相似三角形综合 （3）解：如图1，过点D作DE⊥BC于E， ∵∠ACB=90°， ∴AC∥DE， ∴△ACM∽△DEM， ∴(MD)/(AM)=(DE)/(AC)， 取AB的中点O，连接OD与OC， ∵∠ACB=∠ADB=90°， ∴OC=OD=1/2AB， ∴OA=OB=OD=OC， 以点O为圆心，OA为半径作⊙O，则⊙O过点B、C、D， 难度 0.4 压轴突破 压轴突破 6　圆与相似三角形综合 （3）当OD⊥BC时，DE有最大值， 如图2， 当点D是BC的中点时，OD⊥BC， ∵AC为定值， ∴DE的值最大，DE/AC的值最大，此时D、E、O共线． ∵AB=10， ∴OD=5， ∵OD⊥BC， ∴BE=1/2BC=4， ∴OE=3， ∴DE=2， ∴DM/AM=DE/AC=2/6=1/3，即(DM)/(AM)的值最大为1/3， ∵(DM)/(AM)的值最大时，(AM)/(DM)的值最小， ∴t=AM/DM=3为最小值． 难度 0.4 针对训练（1/4） 1．在同一平面内，⊙O的半径为5，点A是⊙O内一点，则OA的长度可能为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A　 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=56°，AB=AC，点D是BC上一动点（不与点B，C重合）， 则∠D的度数为（ ） A．56° B．62° C．66° D．72° 【答案】B　 3．如图，△ABC内接于⊙O，若∠C=68°，则∠ADB=（ ） A．68° B．54° C．34° D．32° 【答案】A　 4．AB是⊙O的一条弦，OP⊥AB于点P．若OP=3，AB=8，则⊙O的半径为（ ） A．4 B．5 C．√41 D．2√3 【答案】B　 针对训练（2/4） 5．已知⊙O的半径为4．若点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ） A．3 B．√10 C．4 D．5 【答案】D　 6．如图，将直角三角板的30°角顶点A放在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于点E，D，若AD=4， AE=4√3，则DE的长为（ ） A．(2π)/(3) B．(4π)/(3) C．(8π)/(3) D．(16π)/(3) 【答案】B　 7．已知⊙O的半径为3，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D　 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BO并延长，交⊙O于点E，连接OD，若∠DOE=70°， 则∠BAD的度数为（ ） A．110° B．120° C．125° D．140° 【答案】C　 针对训练（3/4） 9．已知⊙O半径为9，若点P在⊙O外，则线段OP的长可能是（ ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 【答案】D 10．下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 11．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：7．则∠B的大小是（ ） A．30° B．60° C．45° D．90° 【答案】B 12．已知⊙O的半径为4cm．若点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】D 针对训练（4/4） 13．已知⊙O的半径为3，当OP=5时，点P与⊙O的位置关系为（ ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定 【答案】B 14．数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，⊙B半径为4．若点A在⊙B内，则实数b的取值范围是（ ） A．b<2 B．b>10 C．b<2或b>10 D．2<b<10 【答案】D 15．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是40°，则该正多边形边数是（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 16．已知圆心角为120°的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ） A．2π B．4π C．12π D．24π 【答案】B 真题实战 真题实战 1　直径、垂径与圆周角综合 答案：D 来源：浙江杭州·26期末 如图，AB是⊙O的直径，等腰三角形ABC的底边BC、腰AC分别交⊙O于点D， E，其中弦EF⊥AB．连接OD，DF，设∠A=x度，∠FDO=y度， 则（ ） A．x+y=90 B．2x+y=180 C．x+2y=180 D．3x+2y=180 真题实战 真题实战 2　垂径定理与动点最值 答案：16 来源：浙江金华·26期末 如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中，弦CD的长度始终保持不变，M是CD的中点，过点C作弦CQ⊥AB于点P．若CD=8，AB=17，则△CPM面积的最大值是__________． 真题实战 真题实战 3　方孔圆钱中的圆内接正方形 答案：2√2 来源：浙江杭州·26期末 我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形ABCD的中心重合，分别延长AD，DC交⊙O于点E，F．若⊙O的半径为2，正方形ABCD的边长为1，则EF=_____ ． 单元总结 / 易错复盘 ·分类规则 「等弧」「相等的圆心角」等结论都必须在同圆或等圆中才成立。 垂径定理中「平分弦的直径垂直于弦」的前提是该弦不是直径。 见直径连圆周角得 90°；见 90° 的圆周角可反推该弦是直径。 旋转三要素（中心、方向、角度）缺一不可，坐标变换先确认绕哪一点旋转。 ·核心概念 点与圆：d>r 外、d=r 上、d<r 内；外心是三边垂直平分线的交点。 垂径定理核心三角形：(半弦)² + (弦心距)² = 半径²。 圆周角 = 所对圆心角的一半；同弧所对圆周角相等。 圆内接四边形对角互补，任一外角等于它的内对角。 弧长 l=nπR/180；扇形面积 S=nπR²/360=(1/2)lR。 ·答题注意事项 漏掉「同圆或等圆」的前提，把不相等的两圆中的弧当成等弧。 垂径定理应用时忘记「弦心距」必须垂直于弦，随手连接圆心与弦上任意一点。 圆周角的两边不与圆相交（一边未与圆相交或顶点不在圆上）仍套用定理。 割补求面积时把重叠部分重复计算，或把「扇形减三角形」写成「三角形减扇形」。 正多边形求边数时把内角与外角用反，导致结果错误。 浙教版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $