第1章 二次函数（复习课件）数学新教材浙教版九年级上册

第一章 二次函数 复习课件 浙教版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 考情速览 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 真题实战 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 能结合具体情境辨认二次函数，理解 y=ax²+bx+c（a≠0）的结构特征，会判断二次项系数、一次项系数与常数项。 02 工具掌握 会用描点法画抛物线；会用配方法把一般式化为顶点式 y=a(x−h)²+k，并写出顶点坐标与对称轴。 深化理解 知道系数 a、b、c 与图象开口方向、对称轴、与坐标轴交点位置的关系；理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系。 思想与应用 在复习中体会数形结合与函数建模思想，会用二次函数解决最值、面积、利润、拱桥等实际问题，并检验结果的合理性。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1. a、b、c 的符号与图象特征的相互推断（含多结论判断）。 2. 自变量受区间限制时的最值讨论——顶点是否落在区间内。 3. 图象平移、翻折、旋转后的解析式变化，易与“左加右减” 的对象混淆。 4. 二次函数与几何图形结合的综合题（面积、特殊三角形、存在性问题）。 1. 二次函数的概念与一般式 y=ax²+bx+c（a≠0）的判定。 2. 三种表达式（一般式、顶点式、交点式）的互化与待定系数法求表达式。 3. 抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与最值；系数的几何意义。 4. 二次函数与一元二次方程、不等式的关系。 考情速览 —— 浙江各市期末真题 命题来源：近两年浙江绍兴、杭州、宁波、金华等市九年级期末真题，本单元共考查 20 题（选择 10 · 填空 5 · 解答 5）。 命题特点：（1）小题重基础：顶点、对称轴、平移几乎每年必考，属送分题；（2）含参问题突出：区间最值、图象过定点需分类讨论；（3）实际应用是压舱石：销售利润、投球、拱桥、轨迹，必有一道大题；（4）压轴偏「新定义 + 代数推理」，常与相似、几何动点嫁接 1. 图象与性质（顶点/对称轴/增减性） —— 5 题（选择4·填空1） 2. 实际应用（利润/投球/拱桥/无人机） —— 4 题（选择1·填空1·解答2） 3. 图象的平移等几何变换 —— 3 题（选择3） 4. 解答综合（平移、交点、新定义） —— 3 题（解答3） 5. 与一元二次方程、不等式的关系 —— 2 题（填空2） 6. 二次函数的识别与系数符号 —— 1 题（选择1） 7. 区间最值（含参数） —— 1 题（填空1） 8. 跨章综合（与相似、几何动点） —— 1 题（选择1） 高频考点 知识图谱 二次函数 概念与结构特征 y=ax²+bx+c（a≠0） 三种表达式 一般式 / 顶点式 / 交点式 图象与性质 开口·对称轴·顶点·最值 图象变换 平移 / 翻折 / 旋转 对称性与最值 x=(x₁+x₂)/2，区间讨论 与方程、不等式的关系 Δ 判交点，图象定解集 实际应用建模 审·设·列·解·检 与几何图形结合 面积·动点·存在性 考点串讲 ——1：二次函数的概念与结构特征 一般地，形如 y=ax²+bx+c（其中 a、b、c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。其中 x 是自变量，a、b、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）结构特征：①函数关系式是整式；②自变量的最高次数是 2；③二次项系数 a≠0，而 b、c 可以为零。 （2）判定要点：出现 xy、√x、分母含 x 等形式，或化简后最高次不是 2 次，都不是二次函数。 （3）含参数时：令 x 的指数等于 2 且二次项系数不等于 0，联立求值，注意舍去使 a=0 的解。 归纳总结 考点串讲 ——2：二次函数的三种表达式 一般式 y=ax²+bx+c（a≠0）；顶点式 y=a(x−h)²+k（a≠0，顶点为 (h,k)）；交点式 y=a(x−x₁)(x−x₂)（a≠0，x₁、x₂ 是与 x 轴交点的横坐标）。 （1）选式依据：已知无规律的三点用一般式；已知顶点或对称轴用顶点式；已知与 x 轴两交点用交点式。 （2）相互联系：三种表达式可以互相转化；一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法与因式分解。 （3）顶点坐标：一般式的顶点横坐标为 x=−b/(2a)，纵坐标为 (4ac−b²)/(4a)。 归纳总结 考点串讲 ——3：二次函数的图象与性质 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。 （1）图象与变换：y=ax² → y=ax²+k → y=a(x−h)² → y=a(x−h)²+k → y=ax²+bx+c，对称轴依次为 y轴、y轴、x=h、x=h、x=−b/(2a)；顶点依次为 (0,0)、(0,k)、(h,0)、(h,k)、(−b/(2a), (4ac−b²)/(4a))。 （2）最值：a>0 开口向上，顶点是最低点，y 有最小值；a<0 开口向下，顶点是最高点，y 有最大值。 （3）增减性：a>0 时，在对称轴左边 y 随 x 增大而减小，右边 y 随 x 增大而增大；a<0 时相反。 归纳总结 考点串讲 ——4：二次函数的图象变换 平移不改变抛物线的形状与开口方向，只改变顶点位置；翻折与旋转会改变开口方向。平移规律可概括为「上加下减（常数项）、左加右减（自变量）」。 （1）平移：向左平移 n 个单位，x 换成 x+n；向右换成 x−n；向上平移 n 个单位，常数项加 n；向下减 n。 （2）绕顶点旋转 180°：y=−a(x−h)²+k（a 变号，h、k 不变）；绕原点旋转 180°：y=−a(x+h)²−k（a、h、k 均变号）。 （3）翻折：沿 x 轴翻折 y=−a(x−h)²−k（a、k 变号，h 不变）；沿 y 轴翻折 y=a(x+h)²+k（a、k 不变，h 变号）。 归纳总结 考点串讲 ——5：二次函数的对称性问题 若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为 (x₁, y)、(x₂, y)，则抛物线的对称轴为直线 x=(x₁+x₂)/2。 （1）两类基本应用：求一个点关于对称轴对称的点的坐标；已知两点关于对称轴对称，求对称轴。 （2）关键特征：两点关于对称轴对称时，纵坐标相同，横坐标与 x=−b/(2a) 的差的绝对值相等。 （3）常用结论：与 x 轴的两个交点关于对称轴对称；y=ax²+bx+c 与 y=ax²−bx+c 的图象关于 y 轴对称，与 y=−ax²−bx−c 的图象关于 x 轴对称。 归纳总结 考点串讲 ——6：二次函数的最值问题 自变量取全体实数时，a>0 在 x=−b/(2a) 处取得最小值 (4ac−b²)/(4a)；a<0 在 x=−b/(2a) 处取得最大值 (4ac−b²)/(4a)。 （1）区间限制是考查重点：若顶点横坐标在区间 [x₁,x₂] 内，最值在顶点处取得。 （2）顶点不在区间内时，最值在区间端点取得：a>0 时最小值取离对称轴较近的端点、最大值取离得较远的端点。 （3）解题步骤：先求对称轴与顶点 → 判断顶点是否落在给定区间 → 再按增减性比较端点函数值。 归纳总结 考点串讲 ——7：图象与系数 a、b、c 的关系 a 决定开口方向与开口大小；a、b 共同决定对称轴位置（左同右异）；c 决定抛物线与 y 轴交点的位置。 （1）a：a>0 开口向上，a<0 开口向下；|a| 越大开口越小。 （2）b：b=0 时对称轴为 y 轴；a、b 同号时对称轴在 y 轴左侧，异号时在 y 轴右侧。 （3）c：c=0 图象过原点；c>0 与 y 轴正半轴相交；c<0 与 y 轴负半轴相交。 （4）特殊值：x=1 时 y=a+b+c，x=−1 时 y=a−b+c，x=2 时 y=4a+2b+c，x=−2 时 y=4a−2b+c，由对应点在 x 轴上方或下方判断其符号。 归纳总结 考点串讲 ——8：二次函数与方程、不等式的关系 二次函数 y=ax²+bx+c 中令 y=0，即得一元二次方程 ax²+bx+c=0；方程的解就是抛物线与 x 轴交点的横坐标，因此交点情况决定根的情况。 （1）Δ=b²−4ac：Δ>0 有两个交点、两个不相等的实数根；Δ=0 有一个交点、两个相等的实数根；Δ<0 无交点、无实数根。 （2）a>0 时 ax²+bx+c>0 的解集：Δ>0 为 x<x₁ 或 x>x₂，Δ=0 为 x≠−b/(2a)，Δ<0 为全体实数。 （3）a>0 时 ax²+bx+c<0 的解集：Δ>0 为 x₁<x<x₂，Δ≤0 无解；a<0 时结论相反。 归纳总结 考点串讲 ——9：用二次函数解决实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤：审（审清题意）→ 设（设出变量）→ 列（建立二次函数模型）→ 解（借助解析式、图象与性质求解）→ 检（检验结果并合理取舍）。 （1）利润最值：巧设未知数，依据利润公式列出函数关系式，再用二次函数的最值求最大利润。 （2）拱桥、隧道、拱门类：先建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，再据图象信息求解。 （3）面积最值：先确定自变量，再依据图形面积公式列出函数关系式，最后求最值。 （4）务必注意自变量的取值范围：顶点若不在范围内，应按对称轴一侧的增减性讨论。 归纳总结 考点串讲 ——10：二次函数与几何图形结合及存在性问题 二次函数与几何图形结合，核心是把几何条件转化为坐标关系：交点的坐标由方程组确定，长度由两点间距离公式计算，面积常用割补法。 （1）与直线的交点：联立解析式转化为一元二次方程，用判别式 Δ 判断公共点个数；只有一个公共点时 Δ=0。 （2）与三角形、四边形结合：用割补法或顶点坐标公式求面积，用两点距离与勾股定理判断形状。 （3）动点问题：设动点坐标为参数，通过距离、垂直、平行等几何条件建立方程求解。 （4）存在性问题：如抛物线上是否存在点使三角形为等腰（直角）三角形，或使四边形为平行四边形，需分类讨论并构造方程验证解是否在允许范围内。 归纳总结 题型全解 题型01 二次函数的概念 解：二次函数需满足：整式函数，且最高次项为二次． A：y=6x+1，最高次项为一次，不符合二次函数的定义； B：y=2x²−1/x，含有分式，不是整式，不符合二次函数的定义； C：y=−x(2−x)=x²−2x，符合二次函数的定义； D：y=2²−2x=4−2x，最高次项为一次，不符合二次函数的定义； 故选：C． 难度 0.85 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A．y=6x+1 B．y=2x²−1/x C．y=−x(2−x) D．y=2²−2x C 题型全解 题型01 二次函数的概念 方法总结 方法 1 紧扣定义三条件 ① 关系式是整式； ② 自变量的最高次数为 2； ③ 二次项系数 a≠0。 三者缺一，就不是二次函数。 方法 2 含参数时联立约束 令 x 的指数等于 2，且二次项系数 ≠0， 联立求参数值； 求出后务必回代检验 a≠0，舍去使 a=0 的解。 题型全解 题型02 二次函数的图象与性质 解：对于二次函数y=2x²+1． A、 a>0，图象开口向上，此选项不符合题意； B、顶点坐标为(0,1)，函数最小值为1，此选项不符合题意； C、对称轴为x=0，开口向上，故当x<−1时，y随x的增大而减小，此选项不符合题意； D、图象的对称轴为直线x=0，并非x=1，此选项符合题意． 故选：D． 难度 0.85 对于二次函数y=2x²+1，下列说法中不正确的是（ ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当x<−1时y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线x=1 D 题型全解 题型02 二次函数的图象与性质 方法总结 方法 1 化顶点式读性质 配方化为 y=a(x−h)²+k， 直接读出：开口方向由 a 定， 顶点 (h,k)，对称轴 x=h，最值 k。 方法 2 比较函数值大小 先看开口方向； 再比各点到对称轴的距离： a>0 时离得越远函数值越大，a<0 时离得越远越小。 题型全解 题型03 二次函数图象的绘制 答案：(1)直线x=−2，(−2,−1) （1）解：∵抛物线解析式为y=x²+4x+3=(x+2)²−1， ∴抛物线对称轴为直线x=−2，顶点坐标为(−2,−1)； 难度 0.65 已知二次函数y=x²+4x+3． (1)求此函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图像； (3)当−5/2<x<1时，y的取值范围为________； (4)若点A(0,y₁)和B(m,y₂)都在此函数的图像上， 且y₁<y₂，结合函数图像，则m的取值范围为________． 题型全解 题型03 二次函数图象的绘制 （3）解：由（1）得函数的对称轴为直线x=−2，顶点坐标为(−2,−1) 由（2）的函数图像，得出函数开口方向向上， 在x=−2处有最小值，且y=−1， 依题意，把x=1代入y=x²+4x+3，得y=1+4+3=8； 把x=−5/2代入y=x²+4x+3，得y=(−5/2)²+4×(−5/2)+3=−3/4； ∵8>−3/4>−1， 当−5/2<x<1时，y的取值范围为−1≤y<8． （4）解：∵点A(0,y₁)和B(m,y₂)都在此函数的图像上， 由函数图像可知， 当y₁<y₂时，m<−4或m>0． 难度 0.65 题型全解 题型03 二次函数图象的绘制 方法总结 方法 1 列表—描点—连线 先定顶点与对称轴； 对称轴两侧成对取点并列表； 用平滑曲线顺次连接，两端自然延伸。 方法 2 由图象读性质 看开口方向判断 a 的正负； 看顶点位置读最值与对称轴； 看与坐标轴的交点读方程、不等式的解。 题型全解 题型04 二次函数图象的平移 解：∵二次函数y=1/2x²的图象的顶点坐标为(0,0)， ∴向右平移4个单位长度后，所得图象的顶点坐标为(4,0)， ∴所得图象的表达式为y=1/2(x-4)²， 故选：A． 难度 0.94 把二次函数 y=1/2x²的图象向右平移4个单位长度后，所得图象相应的函数表达式为（ ） A．y=1/2(x-4)² B．y=1/2(x+4)² C．y=1/2x²+4 D．y=1/2x²-4 A 题型全解 题型04 二次函数图象的平移 方法总结 方法 1 平移口诀（先化顶点式） 先把解析式化为顶点式 y=a(x−h)²+k； 左加右减（自变量）、上加下减（常数项）； 顶点式平移出错率最低。 方法 2 由顶点坐标反推 求出原抛物线顶点 (h,k)； 按平移方向与单位数得新顶点 (h±m, k±n)； 写回 y=a(x−(h±m))²+(k±n)。 题型全解 题型05 二次函数与一次函数、反比例函数图象的判断 难度 0.65 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=bx−a（a，b为常数， 且a≠0）的图像与二次函数y=ax²−bx的图像可能是（ ） A． B． C． D． C 题型全解 题型05 二次函数与一次函数、反比例函数图象的判断 解：A选项：由二次函数图像可知：a<0,b<0， 由一次函数图像可知：a>0,b>0， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：a>0,b>0， 由一次函数图像可知：a<0,b>0， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：a<0,b<0， 由一次函数图像可知：a<0,b<0， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：a>0,b>0， 由一次函数图像可知：a<0,b<0， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 难度 0.65 题型全解 题型05 二次函数与一次函数、反比例函数图象的判断 方法总结 方法 1 同名参数一致法 同一字母在两条解析式中含义必须自洽； 如 a>0 时抛物线开口向上，则直线 y=ax+b 必上升； 据此逐项排除。 方法 2 假设排除法 分别假设 a>0 与 a<0； 逐一检验另一条图象是否矛盾； 取能同时成立的那一组。 题型全解 题型06 二次函数图象与系数的关系 答案：C 解：根据图象可知： ①抛物线开口向上，对称轴为直线x=1， ∴a>0，x=−(b)/(2a)=1，即b=−2a<0， 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，则c>0， ∴abc<0，故①正确； ②函数y=ax²+bx+c的图象过点(−1,0)，则a−b+c=0， 又b=−2a，则a+2a+c=0，即3a+c=0；故②正确； ③∵x=−2时，4a−2b+c<0，代入b=−2a，则4a+4a+c<0，即8a+c<0，故③错误， ④∵函数y=ax²+bx+c的图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=1， ∴函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的另一个交点为(3,0)， ∴当ax²+bx+c≥0时，x的取值范围是−1≤x≤3，故④正确， ∴正确的有①②④，共3个， 故选：C． 难度 0.65 如图，函数y=ax²+bx+c的图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=1， 给出下列结论：①abc<0；②3a+c=0；③8a+c>0； ④当ax²+bx+c≥0时，x的取值范围是−1≤x≤3，其中结论正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 题型全解 题型06 二次函数图象与系数的关系 方法总结 方法 1 逐项定符号 a 看开口方向； b 用「左同右异」（须结合 a 的符号）； c 看抛物线与 y 轴交点所在半轴。 方法 2 特殊值定符号 x=1 → a+b+c；x=−1 → a−b+c； x=2 → 4a+2b+c；x=−2 → 4a−2b+c； 由对应点在 x 轴上方还是下方判断其正负。 题型全解 题型07 求二次函数的解析式 答案：(1)二次函数的表达式为y=x²−2x−3 （1）解：将(−1,0)和(0,−3)代入解析式y=x²+bx+c， 得((−1)²−b+c=0；c=−3)， 解得：(b=−2；c=−3)， ∴该二次函数的表达式是y=x²−2x−3； （2）解：当y=0时，x²−2x−3=0， 解得：x=3或x=−1， 由图可得，该抛物线的开口向上， ∴当y<0时，x的取值范围为−1<x<3． 难度 0.65 如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点(−1,0)，(0,−3)． (1)求这个二次函数的表达式． (2)当y<0时，求x的取值范围． 题型全解 题型07 求二次函数的解析式 方法总结 方法 1 待定系数法选式 已知顶点或对称轴 → 设顶点式； 已知与 x 轴两交点 → 设交点式； 已知无规律三点 → 设一般式。 方法 2 一个字母先求 a 顶点式与交点式都只含一个待定字母 a； 代入已知点求出 a； 再按要求展开成一般式或写出顶点。 题型全解 题型08 二次函数图象与 x 轴交点问题 解：∵抛物线y=−(m−4)x^(m−2)+2x−5， ∴−(m−4)≠0，(m−2)=2， 即m≠4，m=4或m=0， ∴m=0， 此时y=−(0−4)x^(0−2)+2x−5=4x²+2x−5， 此时Δ=2²−4×4×(−5)=4+80=84>0，即抛物线与x轴有交点， ∴m=0． 故答案为：0． 难度 0.65 若抛物线y=−(m−4)x^(m−2)+2x−5与x轴有交点，则m=______． 0 题型全解 题型08 二次函数图象与 x 轴交点问题 方法总结 方法 1 判交点个数用 Δ Δ=b²−4ac； Δ>0 两个交点，Δ=0 一个交点，Δ<0 无交点； 也可令 y=0 直接解方程验证。 方法 2 一根求另一根 利用两根之和 x₁+x₂=−b/a； 已知一根即可求出另一根； 比重新解方程更快，且不易算错。 题型全解 题型09 二次函数与一元二次方程的综合 解：二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图像的一部分，与x轴的一个交点是M(−5,0)，对称轴是直线x=−2， ∴2×(-2)-(-5)=1， ∴与x轴的另一个交点是(1,0)， ∴关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的解是x₁=-5,x₂=1， 故选：A． 难度 0.65 如图是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图像的一部分，与x轴的一个交点是M(−5,0)， 对称轴是直线x=−2．则关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的解是（ ） A．x₁=−5，x₂=1 B．x₁=−2，x₂=1 C．x₁=0，x₂=1 D．x₁=−5，x₂=0 A 题型全解 题型09 二次函数与一元二次方程的综合 方法总结 方法 1 图象交点 ↔ 方程根 抛物线与 x 轴交点个数 = 方程的实数根个数； 与直线 y=mx+n 的交点，即解 ax²+bx+c=mx+n； 两法可互相验证。 方法 2 整体代换求值 把所求式子配成含 a+b+c、a−b+c 的整体； 或利用两根和与两根积； 避免硬解方程，减少运算量。 题型全解 题型10 二次函数与坐标轴的交点坐标 解：当y=0时，x²−6x−16=0， 解得x₁=−2，x₂=8， ∴二次函数图象与x轴交于(−2,0)，(8,0)， 当x=0时，y=−16， ∴二次函数图象与y轴交于(0,−16)， ∴二次函数图象与坐标轴交点的坐标(−2,0)，(8,0)，(0,−16)． 难度 0.85 已知二次函数y=x²−6x−16，求二次函数图象与坐标轴交点的坐标． 题型全解 题型10 二次函数与坐标轴的交点坐标 方法总结 方法 1 分别令 x=0 与 y=0 与 y 轴交点：令 x=0 得 (0,c)； 与 x 轴交点：令 y=0 解一元二次方程； 无实根即与 x 轴无交点。 方法 2 用交点算面积 底取 x 轴上两个交点间的距离； 高取顶点纵坐标的绝对值； S=½×底×高，注意取绝对值。 题型全解 题型11 二次函数与不等式综合 解：由图象可知： 方程x²−3x−4=0的解是x₁=4，x₂=−1； 不等式x²−3x−4>0的解集是x>4或x<−1； 不等式x²−3x−4<0的解集是−1<x<4． 故答案为：x₁=4，x₂=−1；x>4或x<−1；−1<x<4． 难度 0.65 若二次函数y=x²−3x−4的图象如图所示，则方程x²−3x−4=0的解是__________； 不等式x²−3x−4>0的解集是______________； 不等式x²−3x−4<0的解集是________________． x₁=4，x₂=−1 x>4或x<−1 −1<x<4 题型全解 题型11 二次函数与不等式综合 方法总结 方法 1 由图写解集 求出与 x 轴交点横坐标 x₁<x₂； a>0 时 ax²+bx+c>0 的解为 x<x₁ 或 x>x₂； ax²+bx+c<0 的解为 x₁<x<x₂。 方法 2 转化为图象高低比较 把 ax²+bx+c>mx+n 看作抛物线在直线上方； 先求两图象交点横坐标； 再按「上方/下方」读取自变量范围。 题型全解 题型12 二次函数的一般应用 解：∵小南周四跳绳量为500个， ∴周五跳绳量为500(1-50%)个， 又周六、周日两天日均增长率为x， ∴周日的跳绳量为500(1-50%)(1+x)²个， ∴小南周日跳绳量y关于x的函数关系式为y=500(1-50%)(1+x)²． 故选：C． 难度 0.85 为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了50%．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为x，若小南周四跳绳量为500个，则小南周日跳绳量y关于x的函数关系式为（ ） A．y=500(1+50%)(1+x) B．y=500(1−50%)(1+x) C．y=500(1−50%)(1+x)² D．y=500(1+50%)(1+x)² C 题型全解 题型12 二次函数的一般应用 方法总结 方法 1 五步建模 审→设→列→解→检； 利润问题用「总利润=（售价−成本）×数量」列式； 求出结果后检验是否符合实际意义。 方法 2 最值必看取值区间 先求对称轴与顶点； 顶点落在区间内 → 在顶点取最值； 顶点在区间外 → 按增减性比较两个端点值。 题型全解 题型13 抛物线形与运动轨迹类的应用 （1）解：根据矩形的长为12，宽为3，可得M(12,0)，N(0,3)， 根据抛物线的对称性可知P的横坐标为6， 结合隧道最大高度为6，即：P(6,6)； 由顶点P(6,6)设此函数解析式为：y=a(x−6)²+6， 将点N(0,3)代入y=a(x−6)²+6中，得a=−(1)/(12)， ∴即抛物线解析式为：y=−(1)/(12)(x−6)²+6， 整理成一般式为：y=−(1)/(12)x²+x+3； （2）略 难度 0.65 如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．矩形的长是12米，宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． (1)求出这条抛物线的函数解析式； (2)一辆大货运汽车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆货车能否安全通过？ 题型全解 题型13 抛物线形与运动轨迹类的应用 （2）能通过，理由如下：过隧道时，为了确保通过，货车应该沿着隧道的正中间运动，根据（1）可知，抛物线的对称轴为， ∵车的宽度为4米， ∴货车最左侧边缘的点的横坐标为， 即当x=4时，， ∵， ∴货车能通过 难度 0.65 如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．矩形的长是12米，宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． (1)求出这条抛物线的函数解析式； (2)一辆大货运汽车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆货车能否安全通过？ 题型全解 题型13 抛物线形与运动轨迹类的应用 方法总结 方法 1 建系把实际化为抛物线 选起点、落点或最高点之一为原点建系最简便； 用待定系数法求出解析式； 注意单位统一与自变量的实际范围。 方法 2 关键点代入检验 「能否通过/是否命中」类问题， 把关键点的横坐标代入解析式， 比较所得函数值与实际高度即可判断。 压轴突破 压轴突破 1　二次函数与线段、周长综合 （1）解：①将点B(m,−3)代入直线y=−x−1， 得−3=−m−1 解得：m=2， 故答案为：2； ②由①得点B(2,−3) ∵点A(−1,0)，B(2,−3)在抛物线y=ax²+bx−3上， ∴(a−b−3=0；4a+2b−3=−3)， 解得(a=1；b=−2)， ∴抛物线的解析式为y=x²−2x−3； ③由②得y=x²−2x−3 =(x−1)²−4， ∴抛物线解析式顶点坐标为(1,−4)， 故答案为：1，−4； 难度 0.4 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx−3与直线y=−x−1交于点A(−1,0)，B(m,−3)，点P是线段AB上的动点． (1)①m=________； ②求抛物线的解析式 ． ③直接写出抛物线解析式顶点坐标 （________，________）； (2)过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y=ax²+bx−3于点Q，求线段PQ的长的最大值，并求出此时点P与点Q的坐标． 2 y=x²−2x−3 1 −4 压轴突破 压轴突破 1　二次函数与线段、周长综合 （2）解：设点P的横坐标为x，其中−1≤x≤2， ∴点P(x,−x−1)，点Q(x,x²−2x−3)， ∴PQ=−x−1−(x²−2x−3) =−x−1−x²+2x+3 =−x²+x+2 =−(x−1/2)²+9/4， ∵−1<0， ∴当x=1/2时，PQ最大，为9/4， 此时点P的坐标是(1/2,−3/2)，点Q的坐标是(1/2,−15/4)． 难度 0.4 压轴突破 压轴突破 2　二次函数与面积综合 （1）解：把A(−1,0)，C(0,3)代入y=−x²+bx+c得： (−1−b+c=0；c=3)， 解得(b=2；c=3)； （2）解：由（1）得，函数解析式为y=−x²+2x+3， 整理得y=−(x−1)²+4， 则该二次函数对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,4)； 难度 0.65 已知二次函数y=−x²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为A(−1,0)，另一交点为B，与y轴的交点坐标为C(0,3)． (1)求出b，c的值； (2)求这个二次函数的对称轴、顶点坐标； (3)点P是抛物线上一点，且S△ABP=10，直接写出点P的坐标． 压轴突破 压轴突破 2　二次函数与面积综合 （3）解：如图： 当y=0时，-x²+2x+3=0， 解得：x=-1或x=3， ∴B(3,0)； 由图可知S△ABP=1/2AB·(y_P)， 其中AB=3−(−1)=4， ∴有1/2×4×(y_P)=10， 解得：y_P=±5， ∵点P在抛物线上，抛物线顶点纵坐标为4， ∴y_P=−5， 代入解析式有−x²+2x+3=−5， 解得：x=4或−2， ∴P(4,−5)或P(−2,−5)． 难度 0.65 压轴突破 压轴突破 3　二次函数与角度综合 （1）解：由题意得：(a+b+4=0；−b/2a=5/2)， 解得(a=1；b=−5)， 故抛物线的表达式为y=x²−5x+4①； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下：对于，令，解得或4，令，则，故点B的坐标为，点，设直线的表达式为，则，解得，故直线的表达式为，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，∵，故有最大值，当时，的最大值为，此时点Q的坐标为；∵，，故四边形为平行四边形； 难度 0.4 如图所示，已知抛物线y=ax²+bx+4(a≠0)与x轴相交于点A(1,0)和B， 与y轴相交于点C，对称轴为直线x=5/2． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若P是线段BC上的一个动点（不与点B,C重合），过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，连结OQ，当线段PQ的长最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线相交于点E，且∠DQE=2∠ODQ，连结BE．在y轴上是否存在一点F，使得BE=BF？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴突破 压轴突破 3　二次函数与角度综合 （3）解：∵D是OC的中点， ∴点D(0,2)， 设直线DQ的表达式为y=k₁x+b，则(b=2；2k₁+b=−2)， 解得(k₁=−2；b=2)， 直线DQ的表达式为y=−2x+2， 过点Q作QH⊥x轴于点H， 则QH∥CO，故∠AQH=∠ODA， 而∠DQE=2∠ODQ， ∴∠HQA=∠HQE， 则直线AQ和直线QE关于直线QH对称， ∵点A(1,0)在直线AQ上， ∴点(3,0)在直线QE上， 故设直线QE的表达式为y=k₂x+b₂，则(3k₂+b₂=0；2k₂+b₂=−2)， 解得(k₂=2；b₂=−6)， 故直线QE的表达式为y=2x−6②， 联立①②并解得(x=5；y=4)（不合题意的值已舍去）， 故点E的坐标为(5,4)， 设点F的坐标为(0,m)， 由点B、E的坐标得：BE²=(5−4)²+(4−0)²=17， 由点B、F的坐标得：BF²=(0−m)²+(4−0)²=m²+16， 当BE=BF时，则16+m²=17， 解得m=±1， 故点F的坐标为(0,1)或(0,−1)． 难度 0.4 压轴突破 压轴突破 4　二次函数与特殊三角形综合 答案：(1)y=−x²+2x+3 （1）解：设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c， ∵抛物线与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)． ∴(a−b+c=0；9a+3b+c=0；c=3) 解得：(a=−1；b=2；c=3) ∴抛物线的解析式为y=−x²+2x+3. （2）解：如图，设M的坐标为(n,−n²+2n+3)， ∵B(3,0)，C(0,3)． ∴OB=3，OC=3， ∴S△OBC=1/2×3×3=9/2，S△OBM=1/2×3×(−n²+2n+3)=3/2(−n²+2n+3)，S△OCM=1/2×3×n=3/2n ， ∴S△BCM=S△OBM+S△OCM−S△OBC=3/2(−n²+2n+3)+3/2n−9/2=−3/2(n−3/2)²+(27)/(8)， ∴当n=3/2时，△BCM的面积最大，最大值是(27)/(8)， ∴−n²+2n+3=−(3/2)²+2×3/2+3=(15)/(4)， ∴M(3/2,(15)/(4)). 难度 0.4 如图，已知抛物线与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点， 与y轴交于点C(0,3)． (1)求抛物线的解析式； (2)连接CB， 在直线CB上方的抛物线上有一点M，使得△BCM的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以PB为腰的点P， 使得△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 压轴突破 压轴突破 4　二次函数与特殊三角形综合 3）解：存在，理由如下： ∵抛物线与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点， ∴抛物线的对称轴为：x=1，假设存在P(1,m)满足题意： ①当PB=PC时， √(1²+(3−m)²)=√((3−1)²+m²)， 解得：m=1， ∴P₁(1,1)， ②当PB=BC时，√((3−1)²+m²)=3√2， 解得：m₂=√14，m₃=−√14， ∴P₂(1,√14)，P₃(1,-√14)， 综上，共存在3个点P₁(1,1)，P₂(1,√14)，P₃(1,-√14)，使△PBC是以PB为腰的等腰三角形． 难度 0.4 如图，已知抛物线与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点， 与y轴交于点C(0,3)． (1)求抛物线的解析式； (2)连接CB， 在直线CB上方的抛物线上有一点M，使得△BCM的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以PB为腰的点P， 使得△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 压轴突破 压轴突破 5　二次函数与四边形综合 难度 0.4 如图，抛物线L:y=−x²+bx+c与x轴交于A(−5,0)和B两点，与y轴交于点C(0,5)． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线L向左平移4个单位长度得到抛物线L′，L与原抛物线L相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：将A(−5,0)和C(0,5)代入y=−x²+bx+c，得(−25−5b+c=0；c=5)， 解得(b=−4；c=5)， ∴抛物线的函数表达式为y=−x²−4x+5； （2）解：由题意知，y=−x²−4x+5=−(x+2)²+9， ∴平移后函数解析式为y′=−(x+2+4)²+9=−x²−12x−27， 联立得(y=−x²−4x+5；y′=−x²−12x−27)， 解得，(x=−4；y=5)， ∴M(−4,5)； ∵N为原抛物线对称轴上的一点， ∴设N(−2,p)，H(m,n)， 由题意知，以点A,M，N,H为顶点的四边形为矩形，分以AM为边，以AM为对角线两种情况求解： ： ①当以AM为边，∠AMN=90°时，则AN，MH为对角线， ∴AM²=(−4+5)²+5²=26，MN²=(−4+2)²+(5−p)²=4+(5−p)²，AN²=(−2+5)²+p²=9+p²， 由勾股定理得，AM²+MN²=AN²，即26+4+(5−p)²=9+p²， 解得，p=(23)/(5)， ∴N(−2,(23)/(5))， ∵AN，MH为对角线， ∴AN，MH的中点坐标相同， ∴((−4+m)/(2)=(−5−2)/(2)；(5+n)/(2)=(0+(23)/(5))/(2))， 解得，(m=−3；n=−2/5)， ∴H(−3,−2/5)； 当以AM为边，当∠MAN=90°时，则AH，MN为对角线， 同理AM²+AN²=MN²，即26+9+p²=4+(5−p)²， 解得，p=−3/5， ∴N(−2,−3/5)， ∵AH，MN的中点坐标相同， ∴((−5+m)/(2)=(−4−2)/(2)；(0+n)/(2)=(5−3/5)/(2))， 解得，(m=−1；n=(22)/(5))， ∴H(−1,(22)/(5))； 压轴突破 压轴突破 5　二次函数与四边形综合 · 答案 ②当以AM为对角线，∠ANM=90°时，AM，NH为对角线， ∴AM²=(−4+5)²+5²=26，MN²=(−4+2)²+(5−p)²=4+(5−p)²，AN²=(−2+5)²+p²=9+p²， 由勾股定理得，MN²+AN²=AM²，即4+(5−p)²+9+p²=26，整理得，(p−2)(p−3)=0， 解得，p=2或p=3， ∴N(−2,2)或N(−2,3) 当N(−2,2)时， ∵AM，NH中点相同， ∴((−5−4)/(2)=(m−2)/(2)；(0+5)/(2)=(n+2)/(2))， 解得，(m=−7；n=3)， ∴H(−7,3)； 当N(−2,3)时， ∵AM，NH中点相同， ∴((−5−4)/(2)=(m−2)/(2)；(0+5)/(2)=(n+3)/(2))， 解得，(m=−7；n=2)， ∴H(−7,2)； 综上所述，存在点H，且(−3,−2/5)或(−1,(22)/(5))或(−7,3)或(−7,2)． 压轴突破 压轴突破 6　二次函数与相似三角形综合 （1）解：直线y=x−3，令y=0，得x=3，令x=0，得y=−3， 所以B(3,0)，C(0,−3)，代入y=−x²+mx+n得， (n=−3；−9+3m+n=0)，解得：(n=−3；m=4)， ∴y=−x²+4x−3， ∴y=−x²+4x−3=−(x−2)²+1， ∴顶点P的坐标为：P(2,1)； （2）解：在抛物线上取点E，连接CE，BE，过E作x轴的垂线，交BC于点F， 设点F(x,x−3)，则点E(x,−x²+4x−3)， ∴EF=−x²+3x， ∴S△CBE=S△CEF+S△BEF =1/2EF⋅OB =−3/2x²+9/2x =−3/2(x−3/2)²+(27)/(8)， ∴当x=3/2时，△CBE的面积有最大值， 此时，点E的坐标为(3/2,3/4)； 难度 0.4 如图，直线y=x−3与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B,C两点的抛物线y=−x²+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； (2)当0<x<3时，在抛物线上存在点E，使△CBE的面积有最大值，求点E的坐标； (3)连接AC，点N在x轴上，是否存在以B,P,N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 压轴突破 压轴突破 6　二次函数与相似三角形综合 （3）解：存在，理由如下， 连接BP，设N(n,0)， 当y=0时，−x²+4x−3=0， 解得x₁=1，x₂=3， ∴A(1,0)， ∵B(3,0)，C(0,−3)，P(2,1)， ∴∠CBA=∠ABP=45°，且△ABC非等腰三角形， 若B,P,N为顶点的三角形与△ABC相似， ∴∠CBA=∠ABN=45°，则点N(n,0)在点B的左侧， ∴AB=2,BC=√(3²+3²)=3√2,BP=√((3−2)²+1²)=√2,BN=3−n， ①当(BN)/(BP)=(BC)/(BA)时，△ABC∽△PBN， ∴(3−n)/(√2)=(3√2)/(2)， 解得n=0，所以点N的坐标为N₁(0,0)， ②当(BN)/(BP)=(BA)/(BC)时，△ABC∽△PBN， ∴(3−n)/(√2)=(2)/(3√2)， 解得n=7/3，所以点N的坐标为N₂(7/3,0)， 综上所述，点N的坐标为N₁(0,0)或N₂(7/3,0)． 难度 0.4 压轴突破 压轴突破 7　二次函数与圆综合 难度 0.4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于A,B两点，点B的坐标为(3,0)，抛物线的对称轴为直线x=1．点D在x轴下方抛物线上，DF⊥x轴，交△ABD外接圆于点E，EF的长度为（ ） A．1/2 B．(√2)/(2) C．1 D．√2 C 压轴突破 压轴突破 7　二次函数与圆综合 · 答案 解：∵抛物线与x轴交于A,B两点，点B的坐标为(3,0)，抛物线的对称轴为直线x=1， ∴A(−1,0)， 由题意可得：(a−b+c=0；9a+3b+c=0；c=3)，解得：(a=−1；b=2；c=3)， ∴抛物线的解析式为：y=−x²+2x+3， 如图：设△ABD的外接圆的圆心为H，连接AH、BH、DH，EH，作HP⊥DE，则AH=BH，DP=PE， ∵AH=BH，且A、B两点关于直线x=1对称， ∴点H在直线x=1上， 设H(1,m)(m<0)， ∵DF⊥x轴,DE⊥HP， ∴HP∥x轴， ∴y_p=y_H=m， 设D(n,−n²+2n+3)且−n²+2n+3<0， ∴DP=y_P−y_D=m+n²−2n-3， ∴DP=PE=m+n²−2n-3， ∵DF⊥x轴， ∴x_p=x_D=n， ∴PH=x_P−x_H=n−1， ∵DH=BH且H(1,m),B(3,0)， ∴DH=BH=√((1−3)²+m²)=√(4+m²)， ∴DH²=m²+4，DP²=(m+n²−2n−3)²,PH²=(n−1)²， ∵DH²=DP²+PH²， ∴(m+n²−2n−3)²+(n−1)²=m²+4， 整理得：n²−2n−3=−2m(n²−2n−3)−(n²−2n−3)²， ∵−n²+2n+3<0， ∴1=−2m−(n²−2n−3)，即n²−2n−3=−2m−1， 由∵DF=−y_D=−(−n²+2n+3)=n²−2n−3=−2m−1， ∴EF=DF−DE=DF−2DP=−2m−1−2(m+n²−2n−3) =−2m−1−2m−2(n²−2n−3) =−2m−1−2m−2(−2m−1) =−2m−1−2m+4m+2 =1． 故选：C． 针对训练（1/4） 1．抛物线y=x²的顶点坐标是（ ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C　 2．二次函数y=(x+1)(x−3)+k（k为常数）的对称轴为直线（ ） A．x=−1 B．x=0 C．x=1 D．x=3 【答案】C　 3．已知函数y=(x+1)²+m的图象过点(−2,y₁)、(0,y₂)、(3,y₃)，则（ ） A．y₁<y₂ B．y₂=y₃ C．y₁<y₃ D．y₁<y₂<y₃ 【答案】C　 4．将函数y=−x²+2x+8的图象仅向下平移k个单位后，得到的图象经过原点，则k=（ ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】D　 针对训练（2/4） 5．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A．y=x²−3 B．y=3x C．y=2x+1 D．y=1/x 【答案】A　 6．抛物线y=ax²先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点(0,2026)，则a的值是（ ） A．−2023 B．2023 C．2026 D．2029 【答案】D　 7．已知y=ax²+bx+c是二次函数，则（ ） A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a， b，c均不为零 【答案】A 8．如图是嘉嘉求抛物线y=3x²−6x+1的顶点坐标的过程，则（ ） 解：∵y=3x²−6x+1 =3(x²−2x+1²)−1²+1…………① =3(x−1)²………………② ∴抛物线的顶点坐标为(0,1)………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 【答案】B 针对训练（3/4） 9．二次函数y=2x²的图象上有三个点A(1,y₁)，B(2,y₂)，C(3,y₃)，则y₁、y₂、y₃的大小关系为（ ） A．y₁>y₂>y₃ B．y₁>y₃>y₂ C．y₂>y₁>y₃ D．y₃>y₂>y₁ 【答案】D 10．将抛物线C: y=−(x−3)²+6进行平移得抛物线C′: y=−x²+2，点P(m,5)在抛物线C上，对应点P′在抛物线C′上，则点P′的横坐标可以是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 11．已知二次函数y=x²−4ax+a(a≠0)的图象经过点(5a,m)，则下列三名同学的说法中正确的是（ ） 甲：存在实数a，使得m<a． 乙：对任意实数a，都有m<a． 丙：不存在实数a，使得m<a． A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．三人都不正确 【答案】C 12．已知二次函数y=2(x−h)²，当x>3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是（ ） A．h=3 B．h<3 C．h≤3 D．h≥3 【答案】C 针对训练（4/4） 13．y=(k-3)x^(k²-3k-2)+x-2是一个开口向下的二次函数，那么k=__． 【答案】-1 14．在适宜环境中，某实验种群的数量y（单位：只）与培养时间x（单位：天）满足二次函数关系y=−2x²+40x+50（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势）．该种群数量达到最大值时的培养时间为___________天． 【答案】10 15．已知点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)在抛物线y=−x²−1上，且x₂>x₁>0，则y₁__________y₂（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 16．点A(s,t)在二次函数y=2(x−m)²（m为常数）的图象上，s−m=t t≠0．当s−1≤x≤s+2时， 二次函数的最大值与最小值的差为______． 【答案】25/2 真题实战 真题实战 1　含参二次函数的图象性质 答案：B 来源：浙江杭州·26期末 在平面直角坐标系中，函数y=x²−2tx+t（t是已知数，且t≠0）的图象经过点(t/2，m)，(3t，n)（ ） A．可找到一个实数t，使得m>t B．可找到一个实数t，使得n<0 C．无论实数t取何值，都有m>t D．无论实数t取何值，都有n<0 真题实战 真题实战 2　拱桥的抛物线建模 答案：(1)y=−(4)/(25)x²+4 (2)不能，理由：由题意，∵船的宽度为6m ∴令x=3，则y=−(4)/(25)×3²+4=(64)/(25)<3．∴这艘船不能从该桥下通过． 来源：浙江杭州·26期末 如图是一座拱桥的示意图，当水面宽为10m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线． (1)建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． (2)一艘宽为6m，高出水面3m的货船能否从该拱桥安全通过？请说明理由． 真题实战 真题实战 3　新定义「平衡抛物线」 来源：浙江宁波·26期末 【阅读理解】若抛物线y=ax²+bx+c的顶点落在直线y=x上， 称这样的抛物线为平衡抛物线，如y=x²−4x+6的顶点为(2,2)落在直线y=x上，是平衡抛物线． 【提出问题】若抛物线y₁=1/4x²+b₁x+c₁，y₂=−1/4x²+b₂x+c₂都是平衡抛物线，抛物线y₁的对称轴为直线x=−3．抛物线y₂的对称轴为直线x=n．点A(m,p)在抛物线y₁上，点B(2n−m,q)在抛物线y₂上，点C与点B关于直线x=n对称．设d=(p−q)． 【解决问题】 (1)求抛物线y₁的解析式； (2)若n=1． ①判断线段AC的中点M是否一定落在直线y=x上？请你作出判断并说明理由； ②当−4≤m≤4时，求d的取值范围； 【拓展思考】 (3)在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6， 求n的取值范围． 真题实战 真题实战 3　新定义「平衡抛物线」 · 答案 答案：(1)y₁=1/4x²+3/2x−3/4；(2) ①解：线段AC的中点M落在直线y=x上．理由：点A(m,1/4m²+3/2m−3/4)，点B(2−m,−1/4m²+1/2m+3/4)，∴p=1/4m²+3/2m−3/4=1/4(m+3)²−3，q=−1/4m²+1/2m+3/4=−1/4(m−1)²+1，∵点C与点B关于直线x=n对称，∴点C(m,−1/4m²+1/2m+3/4)．∴AC中点为(m,m)．∴线段AC的中点M落在直线y=x上．②0≤d≤(21)/(2)；(3)n≥9或n≤−7． 单元总结 / 易错复盘 ·分类规则 判定二次函数必须同时满足：整式、最高次为 2、二次项系数不为 0。 含参数时求出参数后要回代检验 a≠0，勿遗漏舍根。 平移只改变顶点位置，「左加右减」作用在自变量上。 区间最值必须先判断顶点是否落在给定范围内。 ·核心概念 一般式 y=ax²+bx+c；顶点 ( −b/(2a), (4ac−b²)/(4a) )；对称轴 x=−b/(2a)。 a 定开口，a、b 定对称轴（左同右异），c 定与 y 轴交点。 Δ=b²−4ac 决定抛物线与 x 轴交点个数，也决定方程根的情况。 对称轴 x=(x₁+x₂)/2，用于由对称点反求对称轴或另一交点。 ·答题注意事项 混淆「左加右减」的作用对象，把平移量加到常数项上。 忽略自变量取值范围，直接取顶点纵坐标作最值。 由图象判断 a、b、c 符号时忘记「左同右异」须结合 a 的符号。 存在性问题漏解：未分类讨论，或未检验解是否在允许范围内。 浙教版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $