第1讲 二次函数图象与性质（培优教程）-【牵手重高】2026-2027学年九年级全一册数学课件（浙教版·新教材）

配套 新版 教材 让学习更高效 牵手重高 数学 培优教程 九年级金一册 (浙教版) 皿 宁波出版社 NINGBO PUBLSHING HOUSE 第一讲二次函数图象与性质 牵手重高 知识梳理 分要点诠释》甜 一、二次函数的三种形式 方法 适用条件及求法 若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次 一般式 函数解析式为y=ax2十b.x十c(a≠0) 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则可设所求 顶点式 二次函数解析式为y=a(x一h)2+k(a≠0) 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),则可设 交点式 所求的二次函数解析式为y=a(x一x1)(x一x2)(a≠0) 牵手重高 【例1】将二次函数y=x2-8.x十3化为y=a(x-m)2+k的形式是y=(x-4)-13. 牵手重高 【变式训练1】如果把二次函数y=x2一4x+5化为y=a(x一h)2十k的形式，那么h十k= 3 牵手重高 b 【变式训练2】用配方法可将二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)转化为y=a(x十2a )2十 4ac-b2 4a 牵手重高 【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别为（一1,0），(3,0)，其形状及开 口方向与抛物线y=一2x2相同，则y=a.x2+bx十c的函数解析式为y=-2x2+4x+6 牵手重高 【变式训练3】已知抛物线的顶点坐标为(3，一2)且与抛物线y=一子的形状，开口方向相 同，则这条抛物线的表达式为y=(x-3)-2 牵手重高 7 【变式训练4】抛物线y=2x2一3x一5与x轴的两个交点之间的距离是 牵手重高 二、二次函数的图象与性质 一般地，形如y=ax2十bx十c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫作x的二次函数，也常常写 成yax-》+(顶点武)或y=a--(交点式).其中=名k=如。 4a x,---4ac,=-6+v=4 2a 2a 二次函数y=ax2十bx十c的图象是一条抛物线，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口 向下.开口大小由a决定（随着a的增大而减小）.对称轴是直线x=一 ，即二次函数的图 牵手重高 象关于直线x=一，乡对称（当6=0时，对称轴是y轴）.对称轴与抛物线的交点（一 2a 。)是 抛物线的顶点.抛物线y=a(x一h)2十k的对称轴是直线x=h,顶点坐标是(h,k).对于二次 函数y=a,x2十bx十c,一般用配方法或公式法求抛物线的对称轴和顶点坐标. 当α>0时，顶点是抛物线的最低点，二次函数有最小值，在对称轴的左侧，即当x≤ 一乙时y的值随x值的增大而减小：在对称轴的石侧，即当≥一2乙时.y的值随x值的璐 大而增大.当α<0时，顶点是抛物线的最高点，二次函数有最大值，在对称轴的左侧，即当 x≤一 名时y的值随x值的增大而增大；在对称轴的右侧，即当2之 2a时y的值随x值 的增大而减小. 牵手重高 【例3】对于二次函数y=-2x2+5,当-2<x≤1时，y的取值范围是-3<y≤5 牵手重高 【变式训练5】若函数y=x2-6x+5,当2≤x≤6时的最大值是M,最小值是m,则M一m= 9 牵手重高 【变式训练6】已知函数y=2+x-1,当m≤≤m十2时，一≤)≤1，则m的取值范围是 (B) A.m≥-2 B.-2≤m≤-1 C.-2≤m≤-号 D.m≤-1 牵手重高 【例4】抛物线y=ax2十bx十c(a<0)经过点A(一2,0)，B(0,2).当x<0时，若y=ax2+ bx十c的函数值随x的增大而增大，则a的取值范围为a≤0 牵手重高 【变式训练7】已知二次函数y=2x2一bx十1，当x<1时，y随x的增大而减小，则实数b的 取值范围为b≥4. 牵手重高 【变式训练8】二次函数y=ax2+bx十c的图象过点(3,1)，(6，一5)，若当3<x<6时，y随 着x的增大而减小，则实数a的取值范围是三a兰且a0 牵手重高 【例5】已知点A,B的坐标分别为(1,0)，(2,0)，若二次函数y=x2十(a一2)x十3的图象与 线段AB只有一个交点，则a的取值范围是-2≤a≤-’或a=2-2√3 牵手重高 【变式训练9】若二次函数y=一(x+1)2十h的图象与线段y=x十2（一3≤x≤1）没有交点， 则h的取值范围是>7或≤ 3 牵手重高 【变式训练10】已知x轴上有A(一1,0)，B(3,0)两点，函数y=x2+2kx十k2一3的图象与线 段AB有交点时，k的取值范围是-V3-3≤k≤5+1 牵手重高 【例6】已知二次函数y=ax2十bx十c(x≠0)的图象如右图所示，有下列 4个结论：①b-4ac>0;②abc<0;③b<a+c;④4a+b=1.其中结 论正确的是①②③·（写序号） 12 (例6) 牵手重高 【变式训练11】已知二次函数y=a.x2+bx+c的图象，则点P(a,bc)在第 一 象限. 1】 (变式训练11) 牵手重高 【变式训练12】已知二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)的图象，且关于x的一元二次方程ax2十 bx十c一m=0没有实数根，有下列结论：①b2一4ac>0;②abc>0;③m>2.其中正确的结 论有2个. y个 2 (变式训练12) 牵手重高 【变式训练13】已知二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象，有下列6个结论：①abc<0; ②b<a-c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m(am+b)(m≠1且m为实数)；⑥2a+ b十c>0.其中正确的结论有①③④⑥.（写序号） (变式训练13) 牵手重高 三、图象的平移 1.平移步骤. (1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x一h)2十k,确定其顶点坐标(h,k). (2)保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处.具体平移方法如下： 向上(>O)【或向下(k<0)】平移k个单位 y=ax2 y=ax2+k 向右(h>0)【或向左(h<0)】 平移h个单位， 向右(h>0) 再向上(k>O)【或向下(k<0)】 向右(h>0) 【或向左(h<O)】 平移k个单位 【或向左(h<0)】 平移h个单位 平移1h个单位 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移k个单位 牵手重高 2.平移规律. 在原有函数的基础上“h值正左移，负右移；k值正上移，负下移”.概括成8个字：“左加 右减，上加下减.” 3.二次函数一般式直接平移法. “左加右减，上加下减”平移规律依旧适用. 比如：将y=ax2+bx十c(a≠0)向右平移4个单位，向上平移5个单位，得 y=a(x-4)2+b(x-4)+c+5. 牵手重高 【例7】二次函数y=ax2一2x十3的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得二 次函数的解析式为y=ar+1)2-2(r+1)+5 牵手重高 【变式训练14】把抛物线y=2x2一4x十3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y=2x2+1 牵手重高 【变式训练15】将抛物线y=ax2十bx一1向上平移3个单位长度后，经过点（一2,5），则 8a-4b-11的值是-5 牵手重高 【变式训练16】如下图，将函数y=2(x一2)+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的 图象，其中点A(1,m),B(4,)平移后的对应点分别为点A',B'.若曲线段扫过的面积为 9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是 y=三x-2+4 B B 0 (变式训练16) 牵手重高 【例8】关于x的一元二次方程a(x一h)2十k=x十n的两根分别为x1=一1，x2=3,则方程 a(x-h-3)2+k+3=x十n的两根分别为x1=2,x2=6 牵手重高 【变式训练17】已知抛物线y=(x-m)2十n与x轴交于点(1,0)，(4,0)，则关于x的一元二 次方程(x-m-3)2十n=0的解是x1=4,x2=7 牵手重高 【变式训练18】关于x的一元二次方程a(x-h十1)2十k十2=0(a>0)的解是x1=一5，x2= 1,则不等式a(x十h-2)2+k<-2的解集为0<x<6. 牵手重高 【变式训练19】抛物线y=ax2十bx十c经过A(一1,3)，B(2,3),则关于x的一元二次方程 a(x-2)2-3=2b-bx-c的解为x=1或：4 牵手重高