4.1 比例线段（第3课时比例中项和黄金分割 教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦比例中项（数与线段）和黄金分割，通过蒙娜丽莎、帕特农神庙等美学案例导入0.618的神奇数字，衔接比例线段知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合美学与数学，通过《蒙娜丽莎》脸部矩形测量、黄金分割点分类讨论等活动，培养数学抽象、逻辑推理素养，结合故宫等生活实例，小结结构化，助力学生感受数学价值，教师可高效开展教学。

4.1.3 比例中项和黄金分割 第四章 三角形相似 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解比例中项、黄金分割的定义与本质，掌握黄金比的推导及应用; 熟练掌握比例中项的求解方法，能准确求解实数、线段的比例中项; 在探究、运算、建模的过程中提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养，感受数学的美学价值与实际应用价值。 导入新课 我们常常会觉得建筑、画作、自然生物的形态和谐又美观，其实这些让人看着舒服的图形，都暗藏着同一个固定的数学比例规律。古人没有精密测算工具，却能打造出传世美学建筑，艺术家的作品经久不衰，大自然的生灵自带对称美感，这一切的秘密，都藏在一个约等于0.618的神奇比值中。 今天我们就在比例线段的基础上，学习两个全新的几何概念——比例中项与黄金分割，揭开美学背后的数学奥秘，用数学知识解释生活中的极致美感。 蒙娜丽莎 帕特农神庙 帝王蝶 新知探究 做一做 已知。算一算，成立吗？是否成比例？ 解：∵b= ∵ 即成比例 一般地，如果三个数，满足比例式（或a:b=b:c），那么b就叫作的比例中项。 4 新知探究 做一做 1. 1是不是 和 的比例中项？如果是，写出比例式. 2.已知线段a=3，b=27，求a,b的比例中项线段。 3. 已知,,存在比例中项吗？若存在，请求出比例中项. 设a、b的比例中项为线段为c，则： 由于c为线段，故c=9，则a,b的比例中项线段为9 设a、b的比例中项为线段为c，则： 则a,b的比例中项为 同号两数存在比例中项，且有两个，它们互为相反数；两线段的比例中项只有一个。 5 新知探究 读一读 蒙娜丽莎 《蒙娜丽莎》是达芬奇的传世名作，现收藏于法国卢浮宫，是卢浮宫三大镇馆之宝之一。画面描绘一位佛罗伦萨女士，人物姿态端庄，双手交叠，带着著名的“神秘微笑”；背景是朦胧悠远山水风景。达芬奇独创晕涂法，没有生硬轮廓线，层层叠涂颜料，眼角嘴角过渡柔和，造就了无论从哪个角度，都感觉她在对你微笑的奇妙效果。 新知探究 做一做 1.请同学们在图4-3中动手测量出、、AB的长度。 2.根据你的测量结果计算与的值。它们相等吗？ 现将画面中的脸部围在矩形ABCD内，四边形BCEF为正方形。量一量点F到点A，B的距离。与相等吗？ 的值都约为0.618，所以 3.和你的同伴分享你的结果。 新知探究 总 结 如果P把线段AB分成两条线段AP和PB，使,且那么称线段AB被点P黄金分割 ，P叫作线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫作黄金比。 A P B 1.右图中的与是黄金比吗？ 它们都是黄金比 2.是黄金比吗？ 四边形BCEF是正方形 BF=BC 即也是黄金比 3.黄金比的值是多少？ 宽与长的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。 算一算 新知探究 A P B 解：设则，。 化简，得： 解，得：(不合题意，舍去)。 黄金比为0.618 如图P是线段AB的黄金分割点，且求黄金比。 典例分析 例5 如图，已知线段 AB= ，点P是它的黄金分割点，AP＞PB。求AP，BP的长。 典例1 解：P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB， 如果去掉条件AP＞PB，AP，BP的长会发生改变吗？ A P B 变 式 典例分析 已知线段 AB= ，点P是它的黄金分割点。求AP，BP的长。 解：（1）当AP＞PB时 P是线段AB的黄金分割点， 解：（2）当PB＞AP时 P是线段AB的黄金分割点， 由于线段有两个黄金分割点，已知原线段长，求分线段长， 若条件中没有AP＞PB或PB＞AP时，需要分类讨论，以免漏解。 典例分析 1.求下列各组线段的比例中项。 练一练 解：（1）设线段a、b的比例中项为c，则： 由于c为线段，故c=3，则a,b的比例中项为3。 （2）设线段a、b的比例中项为c，则： 由于c为线段，故c=，则a,b的比例中项为。 线段的长度非负 设比例中项为c 列 代入计算乘积 开方得正负两解 根据题意写答案 典例分析 练一练 2.已知P是线段AB的黄金分割点，AP>PB。 （1）求的值。 （2）若AB=2，求PB的长 先看谁长谁更短 长乘黄金得长段 全长减去长线段 短线长度立刻算 A P B 解：（1）P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则 （2）P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，AB=2, ， ， ， 读一读 数学与生活 故宫（紫禁城）从南端大清门到北端景山的整段中轴线，太和殿所处位置恰好接近全长0.618处，是整座皇城视觉重心，空间节奏庄重和谐。 故 宫 读一读 数学与生活 帕特农神庙 帕特农神庙坐落于希腊雅典卫城，是古希腊建筑巅峰代表作，建于公元前5世纪，用来供奉雅典娜女神。后世测量发现它多处尺寸接近黄金分割比例，是黄金分割在建筑美学里的经典案例。 课堂小结 比例线段 比例中项 黄金分割 线段 数 分割点有两个 黄金比 0.618 当堂训练 练一练 1.线段a=,的比例中项线段c= 。 2.已知a=4,b=6,c为a、b的比例中项，则c= _ 。 3.一本书的宽与长之比为黄金比。已知书的宽为14cm，求这本书的长度（精确到0.1cm）。 1 解：宽与长之比为黄金比， 宽:长= 拓展学习 读一读 黄金分割优选法，是黄金分割的重要应用，又称0.618法。它由美国数学家基弗（Kiefer，1924～1981）于 1953 年提出，我国数学家华罗庚于 20 世纪六七十年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广。黄金分割比值就是优选法（0.618法）的数学本源。黄金分割是几何美学、线段比例知识；优选法是把黄金分割用到生产试验里，用来用最少试验次数快速找到最优方案，是数学服务生产生活的典型应用。 黄金分割与优选法 $