九年级数学上学期期中分层模拟·巩固培优卷（新教材北师大版）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数解析式中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断二次函数需满足解析式化简后自变量最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：A选项，自变量最高次数为1，不是二次函数； B选项，中二次项系数为3不为0，自变量最高次数为2，是二次函数； C选项，化简得，自变量最高次数为1，不是二次函数； D选项，未说明，当时不是二次函数． 2．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 3．如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，其左视图如图所示： ． 4．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合相似三角形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 5．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 7．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以、为圆心，以长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接、、、，则下列说法不正确的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．四边形是菱形 C． D． 【答案】D 【分析】由作图可得，从而可得四边形为菱形，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由作图可得， ∴四边形为菱形，故B选项正确， ∴，故C选项正确， ∵菱形是特殊的平行四边形， ∴四边形是平行四边形，故A选项正确； 由已知条件无法得出，故D选项说法错误． 8．如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边，分别交于点M，N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作于点，于点，证明，利用四边形的面积等于正方形的面积求解． 【详解】解：过作于点，于点， ∵四边形是正方形，边长为a， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的性质，掌握中心投影的概念找出相似比是解题关键． 分别求出、、，再依据中心投影的概念，根据距离相等推出相似比为，利用相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：由题意，得， ，， 由题意，得，，， 由中心投影的性质，可知，相似比为， ∴，故A选项错误； ，故B选项正确； ，，故C、D选项错误， 故选：B． 10．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．把一元二次方程 化为一般形式是____________． 【答案】 【分析】一元二次方程的一般形式为，移项整理原方程即可得到结果． 【详解】解：移项得． 12．若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【详解】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 13．如图，木工师傅在加固一个三角形屋架时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条，分别与两边、交于点、．已知，，，则木条_________． 【答案】 【分析】根据题意可知，利用平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可求解． 【详解】解： ， ， ，，， ， ． 14．如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 【答案】162 【分析】本题主要考查三视图还原几何体，根据几何体的三视图，得出该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，再根据图中数据求出它的体积即可． 【详解】由三视图可知，该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，如图： 则该几何体的体积为：． 故答案为：． 15．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 16．在矩形中，，，点是折线上的动点(且点不与点重合)，当的长为整偶数时，则的长是______． 【答案】或或 【分析】由矩形的性质和勾股定理可得，，再分点在上运动和点在上运动两种情况，利用勾股定理表示出的长，再结合的长为整偶数即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵点是折线上的动点(且点不与点重合)， 当点在上运动时，如图， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整偶数， ∴或， 当时，解得或（不合题意，舍去）； 当时，解得或（不合题意，舍去）； ∴的长为或； 当点在上运动时，如图， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整偶数， ∴或， 当时，解得， 当时，点和点重合，此时； 当时，解得或（不合题意，舍去）， 当时，和点重合，此时； 综上，的长是或或． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）解方程：； （2）如图，在中，、分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】（1），； （2）证明：在与中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）由已知容易证明，进而可得，从而由邻边相等的平行四边形是菱形得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）略 18．如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 的面积为5． 【分析】（1）由图形可知，，由此即可画出图形； （2）根据图形可知的三边长分别为，，，相似三角形对应边成比例，设的三边分别为，，，，由，对取值即可． 【详解】（1）略； （2）根据图形可知的三边长分别为，，， 相似三角形对应边成比例， 设的三边分别为，，，， 正方形网格中最长线段长， 的最大值为， 此时的三边分别为，，， 画图略； ， ． 19．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； (2)估计路灯的高． 【答案】(1) 如图： 点O和点Q即为所求： (2)路灯的高是4.5米 【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质，熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由题意可得，进而得到，即，解得，再结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）由题意可知：， ， ，， 又， ，则， 即：， 解得：， ， ， ， 所以路灯的高是4.5米． 20．如图，菱形的对角线相交于点O, (1)求证：四边形 是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1) ∴四边形是平行四边形 四边形是菱形 ，即 ∴四边形是矩形 (2)6 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，结合矩形的性质得，再由勾股定理得，即可求解． 本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：在菱形中，， 在矩形中， ，， 在中，． 21．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； （2）解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 22．如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 【答案】(1)证明：，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ． ∵，， ， ， ， ∵在正方形中，， ， ∴四边形为正方形； (2) 【分析】（1）先证得四边形为矩形．根据正方形的性质得到，，得到，，由此证得PN=MN，即可得到结论； （2）作于点D，交于点E，根据的面积求出，，，设，则，，由证得，即可求出. 【详解】（1）略 （2）解：作于点D，交于点E， ，， ， ∵， ， ， ， ，                 设，则，， ， ， ，即，                                         解得， 即的长为． 23．某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 【答案】(1)，自变量的取值范围是且为整数． (2)每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3542元． (3)每件商品的售价定为55元或60元时，每个月的利润为3500元；当每件售价在55元至60元之间且为整数时，每个月的利润不低于3500元． 【分析】（1）根据“月利润=每件利润×月销售量”的等量关系列函数解析式，结合售价上限与x为正整数的条件确定自变量取值范围． （2）用配方法将二次函数化为顶点式，结合x的整数性与取值范围确定最大利润及对应售价． （3）令，解一元二次方程得到对应x值，进而得到售价；结合二次函数的开口方向确定利润不低于3500元的售价范围． 【详解】（1）解：每件利润为元，则月销售量为件， ∴． ∵每件售价不高于70元， ∴， 解得． 又∵x为正整数， ∴自变量x的取值范围是且x为整数． （2）解：． ∵， ∴当时，y有最大值． ∵x为正整数，且， ∴当或时，y取得最大值3542． 此时售价为（元）或（元）． 答：每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3542元． （3）解：令，则， 整理得， 解得，， 对应售价为（元）或（元）， ∵二次函数开口向下， ∴当时，， 即当每件售价在55元至60元之间且为整数时，月利润不低于3500元． 24．综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】(1) (2)证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． (3) 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； （2）略 （3）解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 25．已知抛物线（为常数，）过点，顶点为点 (1)当时，求此抛物线顶点的坐标； (2)当时，若的面积为4，求此抛物线的解析式； (3)将抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位；得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，直按写出的值和四边形周长的最小值． 【答案】(1) 顶点的坐标为 (2) 抛物线的解析式为 (3) 的值为，四边形周长的最小值为 【分析】（1）先由抛物线过点求出的值，再将代入解析式，配方得到顶点坐标． （2）先写出顶点的坐标，利用割补法表示的面积，结合面积为和的条件求，进而得到抛物线解析式． （3）先根据平移规律得到点、的坐标，利用轴对称性质找到周长最小时点、的位置，结合的条件求出的值，再计算周长的最小值． 【详解】（1）解：∵（为常数，）过点， ∴， ∴， 当时，抛物线， ∴此抛物线顶点的坐标为； （2）解：由（1）可知，， ∵抛物线， ∴此抛物线顶点的坐标为， 设直线的表达式为，代入点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， 过点作轴交直线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此抛物线的解析式为：； （3）解：∵原抛物线顶点的坐标为， 将抛物线向左平移个单位，向下平移个单位， ∴新顶点的坐标为，即． ∵抛物线，向左平移个单位，向下平移个单位， ∴新抛物线的解析式为， 令，得， ∴． ∵的长度为定值， ∴四边形的周长最小等价于最小． 作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点， 由对称性质得，， ∴， 当且仅当、、、四点共线时，等号成立，此时四边形周长最小． 由对称性质可得： 的坐标为， 的坐标为． 此时在直线上， ∵， ∴． 过点作轴，过点作轴，交于点， 则， 则，，． 过点作轴，过点作轴，交于点， 则， 则，，． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 当时， ， ， ∴四边形周长的最小值为． 综上所述，的值为，四边形周长的最小值为． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B D D C D ⊙ D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11.7x2-3x+2=0 12.片<2 13.3.2 14.162 15.1 16.2万或8或10 三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 【详解】(1)解：+)小=4(x+) :xx+)-4(x+1)=0 :(x+x-4)=0 .x+1=0或x-4=0, x=-1x2=4 解得 3分 (2)证明：在△ADE与△ABF中， 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「∠E=∠F AE=AF ∠EAD=∠FAB' △ADE≌AABF(ASA) .AB=AD, 又四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是菱形.6分 18.(1)△ABD如图所示： 2分 D 图1 △4BC (2) 如图所示： B 的面积为5.6分 图2 △4BC 19. (1) 如图： 2/12 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 M O 点O和点即为所求：…3分 (2)由题意可知：MP=4,P9=6,MN=BP=1.5,AOI‖AN II BP, ∴.△MNP△AOP,△BPOCAOAO MN MP BP PO AOAP’AOAQ, 又：MW=BP ..MN BP MP PO A0=A0,则AP=A0, 4 6 即：AM+4AM+6+4' 解得：AM=8, MN MP AO AP, 154 A0-12: .A0=4.5. 所以路灯A0的高是4.5米.6分 20.(1)CE∥BD,DE∥AC 四边形OCED是平行四边形 :四边形ABCD是菱形 ∴.AC⊥BD,即∠COD=90° .四边形OCED是矩形3分 (2解：在菱形80D中，0心-4C=4-2, 在矩形OCED中， 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE=OC=2,∠BDE=90°BD=4V2 在Rt△BDE中，BE=VBD2+DE2=V4W2+2=B2+4=V36=6.…6分 21. 【详解】(1)解：关于x的一元二次方程x2-4x-m+5=0有两个实数根， ∴.△=（-4)2-4×1×(-m+5)=16+4m-20=4m-4≥0 .m之1；3分 (2)解：片，5是方程的两个根， +=-1 - =4,xx=-m+5 (x+x2}=x++2xx2=16 ∴.m2-2+2(-m+5)=16 整理得m2-2m-8=0, 解得m=4或m=-2, 由(1)得m≥1， m=4.8分 22. (I)i证明：'NM⊥BC,NP⊥MW,P9⊥BC, .四边形POMN为矩形， .PN II BC, :四边形P'MN'是正方形， .P'N'I‖BC,MN⊥BC, .PN∥P'N' 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PN'BN' PNBN· .MN⊥BC,MN'⊥BC, ∴.MNIIMN' MN'BN' ·MN=BN PN MN' PN MN 在正方形P'OMN'中，P'W'=MN', ∴.PN=MN, .四边形PMN为正方形：4分 (2)解：作AD⊥BC于点D,AD交PN于点E, A B C:S。MBc=1.5m2∠BAC=90° AB.AC-1.5. .AC=1.5m, ..AB=2m, BC=V22+1.52=2.5(m) nC.AD-15. AD=2x1.56 2.5=5(m, 设PN=m,则P0=DE=m,4E9x(m). PN∥BC, ∴AAPNAABC. 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S-r AE_PN,即62.5， AD BC 5 得9。 30 即Pw的长为37m.4分 23 【详解】(1)解：每件利润为(50+x-35)元，则月销售量为(210-7x)件， :y=05+210-7)=-7r2+105x+3150 :每件售价不高于70元， .50+x≤70， 解得x≤20」 又x为正整数， 自变量x的取值范围是1≤x≤20且x为整数.2分 .15+3543.75 (2)解：y=-7+105x+3150=-x-2 .-7<0, 当x=7.5时，y有最大值. x为正整数，且1≤x≤20 ∴当x=7或x=8时，y取得最大值3542 此时售价为50+7=57（元）或50+8=58（元）. 答：每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3542元.5分 (3)解：令y=3500,则-7x2+105x+3150=3500, 整理得x2-15x+50=0, 解得=55=10 对应售价为50+5=55（元）或50+10=60（元）， 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,二次函数开口向下， .当5≤x≤10时，y≥3500， 即当每件售价在55元至60元之间且为整数时，月利润不低于3500元.…8分 24」 【详解】(1)解：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠FDC=90°， :DE⊥CF于点G, .∠CGD=90°， .∠ADE=90°-∠CDG,∠DCF=90°-∠CDG, .∠ADE=∠DCF, ∴△ADEn△DCF, DE AD .CF DC' :在矩形ABCD中，AD=5,AB=CD=3, DE 5 C℉3；…4分 (2)证明：过点E作EP⊥BC于点P,过点H作H0⊥CD于点2，且交EF于点O. E D G B F P C ,四边形ABCD是矩形， .AD⊥CD,AD∥BC .AD∥HQ∥BC,HQ=AD 同理，EP∥CD,EP=CD .∴∠HOF=∠EFP .EF⊥GH, 7/12 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠QHG+∠HOF=90° .∠OFP+∠FEP=90°， ∴.∠QHG=∠FEP :∠HQG=∠EPF=90° ∴.△HQG∽△EPF GH HOBC FE EP AB.8分 (3)解：过点A作AG∥CB,延长CF交AG于点G. F D B 图2 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8, .AB=√AC2+BC2=10 BF=6, ..AF=AB-BF=4, :AG∥CB, ∴.△AFG∽△BFC,∠GAC=180°-∠ACB=90°， AG AF 4 2 “BCBF63: AG=16 ’ CE⊥AD .∠AEC=90° ∴.∠CAD+∠ACE=90° 又：∠CAD+∠ADC=90°， :∠ACE=∠ADC, 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ACG∽△CDA, AC AG …CDCA· CD=4C2=3627 ΓAG164.12分 3 25. 【详解】()解：=-2a+c(46为常数，a≠0)过点2(2,2) .2=4a-4a+c, c=2, 当a=-l时，抛物线’=r-2+c=-+2x+2=-(x-}+3 此抛物线顶点P的坐标为，3) ;4分 (2)解：由(1)可知，c=2, 抛物线y=ar-2mc+c=a(x-l+2-a 此抛物线顶点P的坐标为，2-) 设直线00的表达式武为”=（体≠0），代入点22,2)， .2=2k, .k=1, ∴直线OQ的表达式为y=x, 过点P作PH⊥x轴交直线OQ于点H, 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1号 ,H(1,1) .PH=2-a-1=1-a, Ssorg=S.omm+S.rmg= H+PH-(。-_PH=4 2 2 2 .0-ax2-4, 2 .a=-3, 此抛物线的解析式为：y=-3x+6x+2 ;.8分 (3)解：：原抛物线顶点P的坐标为(，2-)，将抛物线向左平移2个单位，向下平移(a+)个单位， ∴新顶点A的坐标为1-2,2-a-(a+1》,即A(-1,1-2a) :抛物线”=a-2m+c=a(x-l少+2-0，向左平移2个单位，向下平移a+)个单位， 新抛物线的解析式为'=ax++1-2a 令x=0,得y=a+1-2a=1-a, .B(0,1-a) AB的长度为定值， ∴.四边形ABMN的周长最小等价于BM+MN+NA最小. 作点B关于直线x=I的对称点B,作点A关于直线y=-5的对称点A,由对称性质得BM=B'M, NA=NA', 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BM+MN+NA=B'M+MN+NA'B'A', 当且仅当B、M、N、A四点共线时，等号成立，此时四边形周长最小. 由对称性质可得： B'的坐标为(2,1-0，A的坐标为(-1,2a-1). 此时MN在直线BA'上， ..MNI/AB .ABIB'4' 过点4作4Cx轴，过点B作BCy轴，交于点C,则C0,1-2) 则AC=0-(-)=1,BC=0-a)-(1-2a=a,∠ACB=90°. 过点B作BDx辅，过点4作4Dy轴，交于点D,则D(-1-叫 D =-5 则B'D=2-(-)=3,AD=0-a)-(2a-1)=12-3a,∠B'DA=90°. :ABI川BA, ∴.∠BAD=∠BAD(两直线平行，内错角相等)， BCIIAD .∠ABC=∠BAD .∠BAD=∠ABC, 又：∠ACB=∠B'DA=90°， .△ABC∽△BAD 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC BC 1 a ∴.8D=AD,即312-3a, 解得a=2」 当a=2时， AB=√AC2+BC2=VP+22=√5BA=VBD2+AD2=V32+62=√45=35 ·四边形ABM 周长的最小值为B+BA=V5+35=4N5 综上所述，“的值为2，四边形1BMW 4W5 周长的最小值为 .12分 12/12………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~5章。 5．难度系数：0.78 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数解析式中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 3．如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（     ） A． B． C． D． 4．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以、为圆心，以长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接、、、，则下列说法不正确的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．四边形是菱形 C． D． 8．如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边，分别交于点M，N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 10．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．把一元二次方程 化为一般形式是____________． 12．若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 13．如图，木工师傅在加固一个三角形屋架时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条，分别与两边、交于点、．已知，，，则木条_________． 14．如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 15．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 16．在矩形中，，，点是折线上的动点(且点不与点重合)，当的长为整偶数时，则的长是______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）解方程：； （2）如图，在中，、分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 18．如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 19．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； (2)估计路灯的高． 20．如图，菱形的对角线相交于点O, (1)求证：四边形 是矩形； (2)连接，若，，求的长． 21．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 22．如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 23．某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 24．综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 25．已知抛物线（为常数，）过点，顶点为点 (1)当时，求此抛物线顶点的坐标； (2)当时，若的面积为4，求此抛物线的解析式； (3)将抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位；得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，直按写出的值和四边形周长的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~5章。 5．难度系数：0.78 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数解析式中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 3．如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（     ） A． B． C． D． 4．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以、为圆心，以长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接、、、，则下列说法不正确的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．四边形是菱形 C． D． 8．如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边，分别交于点M，N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 10．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．把一元二次方程 化为一般形式是____________． 12．若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 13．如图，木工师傅在加固一个三角形屋架时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条，分别与两边、交于点、．已知，，，则木条_________． 14．如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 15．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 16．在矩形中，，，点是折线上的动点(且点不与点重合)，当的长为整偶数时，则的长是______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）解方程：； （2）如图，在中，、分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 18．如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 19．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； (2)估计路灯的高． 20．如图，菱形的对角线相交于点O, (1)求证：四边形 是矩形； (2)连接，若，，求的长． 21．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 22．如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 23．某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 24．综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 25．已知抛物线（为常数，）过点，顶点为点 (1)当时，求此抛物线顶点的坐标； (2)当时，若的面积为4，求此抛物线的解析式； (3)将抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位；得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，直按写出的值和四边形周长的最小值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $