2026-2027学年人教版九年级数学第一学期期中模拟检测（三）基础卷

保密★启用前 九年级数学新教材第一学期期中模拟检测（三） 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六二十七章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．方程的根是（  ） A．，1 B． C．0， D．0，1 2．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 3关于抛物线，下列说法中错误的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标 D．与轴交点坐标 4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，其中，则的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 5．如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 6.将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 7.已知二次函数（）的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 8.已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 9.如图，正的顶点在反比例函数的图象上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（    ）      A．  B．  C． D．   二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11从“和谐号”动车飞驰大江南北，到“复兴号”引领世界标准，中国高铁不断创造出举世瞩目的成就．作为中国铁路网中南北走向大动脉之一的京沪铁路，促进了沿海城市与内陆城市的经济发展，若在这条线路上某个区间往返行车需印制种高铁票，设该区间共设置个停车站，请根据题意列出一元二次方程并化为一般形式为 ． 12.已知点和点都是反比例函数的图象上的点，则 ． 13.在2026年亚运会中足球比赛实行单循环赛（即每两个队都比赛一场），如果所有队伍总共比赛15场，那么共有 个球队参赛． 14．函数的图象与过原点的直线l交于A、B两点，现过A、B分别作x、y轴的平行线，相交于C点．若的面积为4，则m的值为 15.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： 用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)． 17.本小题分如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 18.本小题8分如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 19.本小题8分某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 20本小题10分如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 21.本小题10分某书店销售儿童书刊，每套进价为元，当每套售价为元时，一天可销售出套．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价销售，若一套书每降价元，平均每天可多售出1套，设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若要书店每天盈利元，则需降价多少元？ (3)书店每天盈利能达到元吗？请说明理由． 22本小题12分某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由降至． (1)当时，水温与开机时间分钟的函数表达式． (2)求的值． (3)求开机50分钟时热水器中水的温度． 23本小题12分）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学新教材第一学期期中模拟检测（三） 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六二十七章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A D C C A A B 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 12. 0 13． 6 14． 15． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 解：（1） 因式分解得： 所以或 解得：┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 (2)． 方程整理得： 配方得： 即 ∴原方程没有实数根． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 17.本小题分)解：（1）解方程组， 解得或， ， ；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）当时，，， ．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 18.本小题8分 解：（1）二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 19.本小题8分) 解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 20本小题10分解：（1）将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入，可得， ∴． 把，代入，得， 解得： ∴一次函数的表达式为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 （2）一次函数的表达式为， 令，则，． ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ∵， ， 解得：或， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 21.本小题10分）解：（1）设每套书降价x元时，所获利润为y元，则每天可出售套， 由题意得：；┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）当时， 整理得：， 解得：， 但为了尽快减少库存，所以只取， 答：若每天盈利元，为了尽快减少库存，则应降价元；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）不可以，理由如下： ， 则当时，y取得最大值，即书店的盈利不可以达到元┉┉┉┉┉┉┉┉4分 22.本小题12分解：（1）当时，将点代入直线关系式，得 ， 解得， ∴直线关系式为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴反比例函数. 当时，（分）， 所以；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）当时，直线的关系式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， 解得， 当时，， 所以开机50分钟时热水器中水的温度是70℃.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 23本小题12分 解：（1）∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期期中模拟检测（三） 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六二十七章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．方程的根是（  ） A．，1 B． C．0， D．0，1 2．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 3关于抛物线，下列说法中错误的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标 D．与轴交点坐标 4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，其中，则的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 5．如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 6.将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 7.已知二次函数（）的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 8.已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 9.如图，正的顶点在反比例函数的图象上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（    ）      A．  B．  C． D．   二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11从“和谐号”动车飞驰大江南北，到“复兴号”引领世界标准，中国高铁不断创造出举世瞩目的成就．作为中国铁路网中南北走向大动脉之一的京沪铁路，促进了沿海城市与内陆城市的经济发展，若在这条线路上某个区间往返行车需印制种高铁票，设该区间共设置个停车站，请根据题意列出一元二次方程并化为一般形式为 ． 12.已知点和点都是反比例函数的图象上的点，则 ． 13.在2026年亚运会中足球比赛实行单循环赛（即每两个队都比赛一场），如果所有队伍总共比赛15场，那么共有 个球队参赛． 14．函数的图象与过原点的直线l交于A、B两点，现过A、B分别作x、y轴的平行线，相交于C点．若的面积为4，则m的值为 15.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： 用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)． 17.本小题分如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 18.本小题8分如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 19.本小题8分某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 20本小题10分如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 21.本小题10分某书店销售儿童书刊，每套进价为元，当每套售价为元时，一天可销售出套．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价销售，若一套书每降价元，平均每天可多售出1套，设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若要书店每天盈利元，则需降价多少元？ (3)书店每天盈利能达到元吗？请说明理由． 22本小题12分某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由降至． (1)当时，水温与开机时间分钟的函数表达式． (2)求的值． (3)求开机50分钟时热水器中水的温度． 23本小题12分）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期期中模拟检测（三） 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六二十七章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．方程的根是（  ） A．，1 B． C．0， D．0，1 【答案】C 解：∵ ∴或 解得：或 故选C． 2．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴ ， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 故选：D． 3关于抛物线，下列说法中错误的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标 D．与轴交点坐标 【答案】D 解：在中， ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， ∴选项A、B、C均不符合题意； 令，得， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴选项D符合题意． 故选：D． 4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，其中，则的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 解：是关于x的一元二次方程有两个实数根， ， 又， ． 故选：A． 5．如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 【答案】D 解：设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ， 反比例函数解析式为， 当时，． 故选：D． 6.将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 解：∵， ∴新抛物线的顶点为， ∵二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为， ∴原抛物线的顶点为， 设原抛物线的解析式为， 代入得：， ∴，． 故选：C． 7.已知二次函数（）的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：观察二次函数的图象可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，反比例函数的图象位于二，四象限， 可知C符合题意． 故选：C． 8.已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 解： 是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 9.如图，正的顶点在反比例函数的图象上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：设正三角形的边长为， 过A点作x轴的垂线，D点为垂足． ∵是正三角形， ∴， ∴， ∴点A的坐标为：， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴点A的坐标为：． 故选：A． 10．如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】B 解：当在点左侧，即：时： ①当正方形的边在的外部时，重叠部分为矩形，如图：      设分别交于点， ∵垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，图象为开口向下的一段抛物线； ②当正方形的边在的内部时，与重叠部分即为正方形，如图：      由①可知：， ∴，图象是一段开口向上的抛物线； 当过点时，即时，重合，此时，； 综上：满足题意的只有B选项， 故选B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11从“和谐号”动车飞驰大江南北，到“复兴号”引领世界标准，中国高铁不断创造出举世瞩目的成就．作为中国铁路网中南北走向大动脉之一的京沪铁路，促进了沿海城市与内陆城市的经济发展，若在这条线路上某个区间往返行车需印制种高铁票，设该区间共设置个停车站，请根据题意列出一元二次方程并化为一般形式为 ． 【答案】 解：根据题意：， 化为一般形式为：， 故答案为：． 12.已知点和点都是反比例函数的图象上的点，则 ． 【答案】0 解：由题意可知：， ∴， ∴， 故答案为：0． 13.在2026年亚运会中足球比赛实行单循环赛（即每两个队都比赛一场），如果所有队伍总共比赛15场，那么共有 个球队参赛． 【答案】6 解：设有个球队参赛， 根据题意，可列方程为：， 解得：或（舍去）， 答：参赛的球队数为6． 故答案为：6． 14．函数的图象与过原点的直线l交于A、B两点，现过A、B分别作x、y轴的平行线，相交于C点．若的面积为4，则m的值为 【答案】2 解：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称， 的面积等于两个三角形加上一个长方形的面积和， 则的面积， 又， ∴． 故答案为：2． 15.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： 用适当方法解下列一元二次方程 (1)； (2)． 解：（1） 因式分解得： 所以或 解得： (2)． 方程整理得： 配方得： 即 ∴原方程没有实数根． 17.本小题分如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 解：（1）解方程组， 解得或， ， ； （2）当时，，， ． 18.本小题8分如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 解：（1）二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 19.本小题8分某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 20本小题10分如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 解：（1）将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入，可得， ∴． 把，代入，得， 解得： ∴一次函数的表达式为． （2）一次函数的表达式为， 令，则，． ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ∵， ， 解得：或， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为． 21.本小题10分某书店销售儿童书刊，每套进价为元，当每套售价为元时，一天可销售出套．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价销售，若一套书每降价元，平均每天可多售出1套，设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若要书店每天盈利元，则需降价多少元？ (3)书店每天盈利能达到元吗？请说明理由． 解：（1）设每套书降价x元时，所获利润为y元，则每天可出售套， 由题意得：； （2）当时， 整理得：， 解得：， 但为了尽快减少库存，所以只取， 答：若每天盈利元，为了尽快减少库存，则应降价元； （3）不可以，理由如下： ， 则当时，y取得最大值，即书店的盈利不可以达到元． 22本小题12分某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由降至． (1)当时，水温与开机时间分钟的函数表达式． (2)求的值． (3)求开机50分钟时热水器中水的温度． 解：（1）当时，将点代入直线关系式，得 ， 解得， ∴直线关系式为； （2）将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴反比例函数. 当时，（分）， 所以； （3）当时，直线的关系式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， 解得， 当时，， 所以开机50分钟时热水器中水的温度是70℃. 23本小题12分）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 解：（1）∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $