27.5 反比例函与一次函数综合【分层作业】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.5 反比例函与一次函数综合【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1】一次函数与反比例函数图象交点坐标求解 2 【题型2】判断一次函数与反比例函数图象共存情况 3 【题型3】利用一次函数与反比例函数交点求函数解析式 4 三.拓展性作业 5 【题型1】一次函数与反比例函数交点比较函数值大小（图象法） 5 【题型2】利用反比例函数与一次函数的交点求自变量取值范围 6 【题型3】利用反比例函数与一次函数的交点综合求值 7 三.探究性作业 9 【题型1】一次函数、反比例函数函数与几何面积综合 9 【题型2】一次函数、反比例函数存在性简单探究问题 12 四.中考链接 14 五.自我评价 17 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空（课本知识） 1. 过反比例函数 图象上任意一点，作轴、轴的垂线，两条垂线与坐标轴1. 一次函数与反比例函数的交点坐标，同时满足两个函数解析式，可通过__________联立求解。 2. 反比例函数与正比例函数相交，两个交点关于__________对称。 3. 图象比较函数值大小：以__________为分界，分左右区间判断图象上下位置，图象在上的函数值更大。 4. 函数综合求面积，常用方法：利用坐标求底和高，结合__________公式计算。 二.巩固性作业 【题型1】一次函数与反比例函数图象交点坐标求解 1．（2025九年级·安徽·专题练习）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段检测）若一次函数与反比例函数的图像有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．无法确定 3．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为________． 4．（2026·湖南·模拟预测）如图，等腰直角三角板的直角顶点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在反比例函数的图象上，与反比例函数的图象交于点 D，已知，则点D的坐标为______． 【题型2】判断一次函数与反比例函数图象共存情况 1．（26-27九年级上·四川·开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3】利用一次函数与反比例函数交点求函数解析式 1．（2025·新疆喀什·三模）若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4，则该反比例函数的解析式为______． 2．（2026·重庆铜梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数第一象限的图像上，直线的解析式为，若点A的横坐标是2，则_______． 3．（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点，连接 ，如果的面积为，那么反比例函数的解析式为___________． 三.拓展性作业 【题型1】一次函数与反比例函数交点比较函数值大小（图象法） 1．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）已知点A（x1，m），B（x2，n）是直线与双曲线的两个交点，若，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（2025·安徽·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象相交于点，其中，直线与的图象的交点纵坐标为，与的图象的交点纵坐标为，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·期中）已知直线与双曲线交于点，则当时他们的纵坐标的大小关系为_______． 4．（2026·陕西渭南·模拟预测）直线y＝2x＋b与反比例函数的图象交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，点C（2，t）也在该反比例函数的图象上，则m，n，t的大小关系为_____．（用“＜“连接） 【题型2】利用反比例函数与一次函数的交点求自变量取值范围 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 4．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【题型3】利用反比例函数与一次函数的交点综合求值 1．（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点的坐标． 2．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、两点，连接、． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）求的面积． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求点的坐标． 4．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 三.探究性作业 【题型1】一次函数、反比例函数函数与几何面积综合 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴． （1）求的值； （2）以、为边作菱形，求点的坐标； （3）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出满足的的取值范围． 3．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求线段的长． 4．（25-26九年级下·甘肃金昌·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C．已知点B的坐标为，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，，求四边形的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【题型2】一次函数、反比例函数存在性简单探究问题 1．（2026·贵州毕节·三模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内相交于点A，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，与反比例函数的图象在第一象限内相交于点，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）在x轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E．已知点，点． （1）连接，求的面积； （2）若点P为直线上一动点，是否存在一点P使得以D，E，P为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·四川雅安·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察图象，写出时自变量的取值范围； （3）连接，在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期末）已知一次函数（a为常数）与轴交于点，与反比例函数交于两点，点的横坐标为． （1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象； （2）已知点的横坐标为3，请根据图象写出当时对应自变量的取值范围； （3）若点与点关于原点成中心对称，求出的面积； （4）在平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·浙江金华·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 3．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 4．（2026·辽宁丹东·中考真题）如图，函数与函数的图象交于点A，C，垂直于y轴，垂足为点B，连接，已知的面积为1，则k的值为______． 三、解答题 5．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． （1）求和的值． （2）求的面积． （3）当时，的取值范围是__________． 6．（2026·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.5 反比例函与一次函数综合【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1】一次函数与反比例函数图象交点坐标求解 2 【题型2】判断一次函数与反比例函数图象共存情况 6 【题型3】利用一次函数与反比例函数交点求函数解析式 10 三.拓展性作业 13 【题型1】一次函数与反比例函数交点比较函数值大小（图象法） 13 【题型2】利用反比例函数与一次函数的交点求自变量取值范围 17 【题型3】利用反比例函数与一次函数的交点综合求值 20 三.探究性作业 27 【题型1】一次函数、反比例函数函数与几何面积综合 27 【题型2】一次函数、反比例函数存在性简单探究问题 35 四.中考链接 46 五.自我评价 55 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空（课本知识） 1. 过反比例函数 图象上任意一点，作轴、轴的垂线，两条垂线与坐标轴1. 一次函数与反比例函数的交点坐标，同时满足两个函数解析式，可通过__________联立求解。 2. 反比例函数与正比例函数相交，两个交点关于__________对称。 3. 图象比较函数值大小：以__________为分界，分左右区间判断图象上下位置，图象在上的函数值更大。 4. 函数综合求面积，常用方法：利用坐标求底和高，结合__________公式计算。 参考答案： 1. 方程组 2. 原点 3. 交点横坐标 4. 三角形面积 二.巩固性作业 【题型1】一次函数与反比例函数图象交点坐标求解 1．（2025九年级·安徽·专题练习）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将交点横坐标代入解析式中是解题的关键．将代入一次函数中，求得，再将代入反比例函数中，求得k的值． 解：将代入中， 得：， 将代入中， 得：， 故选：C． 2．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段检测）若一次函数与反比例函数的图像有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题运用了方程组的知识和一元二次方程根的判别式的有关内容，注意函数图像的交点问题和对应一元二次方程的根的关系．将一次函数与反比例函数联立，转化为一元二次方程，通过判别式分析实数解的条件，结合选项判断正确取值范围． 解：联立 ，得 ， 整理为一元二次方程 ， ∵一次函数与反比例函数的图像有交点， ∴，且， ∴且． 故选：C． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】先利用已知点的坐标求出正比例函数解析式，再联立两个函数解析式求解，即可得到另一个交点的坐标． 解：把点代入，得，解得， ∴正比例函数的解析式为， 联立两函数解析式，得， 解得或， ∴点的坐标为． 4．（2026·湖南·模拟预测）如图，等腰直角三角板的直角顶点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在反比例函数的图象上，与反比例函数的图象交于点 D，已知，则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，三角形全等的判定和性质；过点B作轴于点E，证出，得到，求出反比例函数的表达式， 设直线的函数表达式为待定系数法求出解析式，令，计算求解即可． 解：如图：过点B作轴于点E， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 设直线的函数表达式为 将代入 得， 解得， ∴， 令， 解得， ∵ 点D的横坐标在之间， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴． 故答案为：． 【题型2】判断一次函数与反比例函数图象共存情况 1．（26-27九年级上·四川·开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一次函数：①当时，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．对于反比例函数，若，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小；若，反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大． 解：①若， 则反比例函数的图象在第一、三象限；一次函数的图象经过第一、二、四象限； ②若， 则反比例函数的图象在第二、四象限；一次函数的图象经过第一、三、四象限； 只有A选项图象满足题意． 4．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 解：A、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； B、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象交y轴的负半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、二、三象限可知，两结论一致，故本选项符合题意． 【题型3】利用一次函数与反比例函数交点求函数解析式 1．（2025·新疆喀什·三模）若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4，则该反比例函数的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，正比例函数的性质，先根据正比例函数求出正比例函数的图象与某反比例函数的图象的交点坐标为，再利用待定系数法求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：在中，当时，，解得， 故正比例函数的图象与某反比例函数的图象的交点坐标为， 设反比例函数的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 2．（2026·重庆铜梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数第一象限的图像上，直线的解析式为，若点A的横坐标是2，则_______． 【答案】6 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，先求出一次函数与反比例函数图象交点，再代入表达式求出即可． 解：∵直线的解析式为，点A的横坐标是2， ∴点A的纵坐标是， ∴， ∵点A在反比例函数第一象限的图象上， ∴， 故答案为：6． 3．（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点，连接 ，如果的面积为，那么反比例函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，，故，，根据，求解即可； 解：设，根据题意，得反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点， 故，， 的面积为， ， ， 设反比例函数的解析式为， ， ， 故反比例函数的解析式为； 三.拓展性作业 【题型1】一次函数与反比例函数交点比较函数值大小（图象法） 1．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）已知点A（x1，m），B（x2，n）是直线与双曲线的两个交点，若，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】由，推出点A和点B都在第二象限或第三象限，再分类讨论，利用反比例函数与一次函数的性质求解即可． 解：∵， ∴点A和点B都在第二象限或第三象限， 当点A和点B都在第二象限时，如图， 直线经过第一、二、三象限， ∴， ∴， 不满足双曲线位于第二、四象限，舍去； 当点A和点B都在第三象限时，如图， 直线经过第二、三、四象限， ∴， ∴， 满足双曲线位于第一、三象限，在每个象限内，在每个象限内，y随x的增大而减少， ∵， ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键． 2．（2025·安徽·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象相交于点，其中，直线与的图象的交点纵坐标为，与的图象的交点纵坐标为，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，由，则点在第二象限，又因为一次函数图象过，故有，，然后根据性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵， ∴点在第二象限， ∵一次函数图象过， ∴，， ∵， ∴，， ∴的大小关系为 故选：． 3．（24-25八年级上·上海·期中）已知直线与双曲线交于点，则当时他们的纵坐标的大小关系为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据直线与双曲线的交点在第一象限可画出大致的函数图象，利用数形结合的数学思想即可求解. 解：∵直线与双曲线的交点在第一象限， ∴画出函数图象草图如下： 可知：当时，， 故答案为： 4．（2026·陕西渭南·模拟预测）直线y＝2x＋b与反比例函数的图象交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，点C（2，t）也在该反比例函数的图象上，则m，n，t的大小关系为_____．（用“＜“连接） 【答案】n＜t＜m 【分析】首先将两函数图像的交点坐标代入关系式得到方程组，求出m，n的值，即可得出反比例函数关系式，然后将点C的坐标代入关系式求出t，即可判断． 解：∵直线y＝2x+b与反比例函数的图象交于两点A（1，m），B（﹣2，n）， ∴， 解得 ， ∴反比例函数解析式为． ∵点C（2，t）也在该反比例函数的图象上， ∴C（2，2），即t＝2， ∴n＜t＜m， 故答案为：n＜t＜m． 【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求关系式是解决此类问题的常用方法． 【题型2】利用反比例函数与一次函数的交点求自变量取值范围 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将、两点代入函数，求出的值，再结合图象，根据函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量取值直接作答即可． 解：将，两点代入， 得，， 解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】观察函数图象即可求解． 解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 4．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______． 【答案】或 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 解：由题意可得， 解得， ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 【题型3】利用反比例函数与一次函数的交点综合求值 1．（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点的坐标． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）把代入一次函数解析式求得点的坐标，利用待定系数法求得反比例函数解析式； （2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得点的坐标． （1）解：把代入得 ， 则点的坐标是． 把代入得 ， 则反比例函数的解析式是； （2）根据题意得， 解得或， 把代入 得， 则点的坐标是． 2．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、两点，连接、． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；；（2） 【分析】（1）将代入一次函数表达式即可求出点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数表达式求解；联立一次函数和反比例函数的表达式即可确定点的坐标； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出点坐标，再根据计算求解． （1）解：一次函数的图象经过点， ，解得， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； 联立， 整理得，即， 解得，， ∴当时，， ； （2）解：如图，设一次函数与轴相交于点， AI 对于，令，则， ， ， 又，， ． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数为；一次函数为；（2）点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立两个函数解析式求出x的值，代入某个函数解析式求出y的值，即可得到点B的坐标． （1）解：将代入： 得， ∴反比例函数为； 直线经过和，代入得方程组： ①②得：， 将代入②得， 解得， ∴一次函数为； （2）解：联立一次函数和反比例函数的方程组： 将①代入②： 解得：或 当时，，即点， 当时，，即点， ∴点的坐标为． 4．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），y1=－2x＋2；（2）3；（3）或 【分析】（1）根据待定系数法即可确定反比例函数解析式，然后确定，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）过点A作交的延长线于点D，结合图形，求三角形面积即可； （3）结合图形得出当或时直线在双曲线的下方即可求解． （1）解：∵的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵的图象过点， ∴， ∴， ∵直线的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）过点A作交的延长线于点D， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，， 由函数图象可知，当或时直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 三.探究性作业 【题型1】一次函数、反比例函数函数与几何面积综合 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴． （1）求的值； （2）以、为边作菱形，求点的坐标； （3）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）；（2）；（3）关于的不等式的解集为或 【分析】（1）根据正比例函数的图象经过得到，把代入即可得到的值； （2）把正比例函数和反比例函数解析式联立得到，求出，根据四边形是菱形得到，由轴得到轴，即可求出点的坐标； （3）根据反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，根据两个图象的位置即可求出答案． （1）解：∵正比例函数的图象经过 ∴， ∴， 把代入得到，解得； （2）解：由（1）得到， 与联立得到， 解得或， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵轴． ∴轴， ∵， ∴点的坐标为； （3）解：∵反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点， ∴当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴关于的不等式的解集为或． 2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）根据勾股定理得到，可知反比例函数的解析式，进而求出，即可求出一次函数的解析式； （2）求出，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图象作答即可． （1）解：∵轴，，， ∴， ∴， 将代入得， 解得：， 即， 将代入得：， 即， 将、代入得： ，解得：， ∴； （2）解：当时，解得， 即， ∴； （3）解：根据函数图象可知，当时，或． 3．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，函数图像平移，得到函数中的值，再根据已知条件，得出点坐标，将点坐标代入反比例函数内，即可得到函数解析式． （2）根据为的中位线，得出，继而得出，两点坐标，通过，即可得到的长度． （1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到， 得与为同一函数， ，， 一次函数为， 将代入一次函数，得， ∴ ， 过点作轴于点，， ∴的横坐标为， 在上，代入，得， 点坐标为， 点B在反比例函数上， ∴将点B坐标代入得，， 则反比例函数表达式为； （2）解：过点作轴于点，为的中位线，， ，， 轴，， 点的横坐标为， 又点在一次函数上，代入，得， 点的坐标为 轴， ∴点的纵坐标为3， ∵交反比例函数的图象于点． ∴， ∴， 点的坐标为， ∴， ． 4．（25-26九年级下·甘肃金昌·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C．已知点B的坐标为，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，，求四边形的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），；（2）12；（3）或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过点B作轴于点D，则，，再根据计算即可得出结果； （3）找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可． （1）解：将点代入中，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． ∵轴，且， ∴点A横坐标为， 当时，． ∴点A坐标为． 将，代入中，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图，过点B作轴于点D， ∵，， ∴，， ； （3）解：观察图象可知，不等式的解集为或． 【题型2】一次函数、反比例函数存在性简单探究问题 1．（2026·贵州毕节·三模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内相交于点A，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，与反比例函数的图象在第一象限内相交于点，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）在x轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，一次函数的平移，轴对称最短路径问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）首先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先联立表达式求出，作点关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，即为所求，然后求出直线的函数表达式为，令，进而求解即可． 解：（1）正比例函数的图象向下平移3个单位长度后的函数表达式为， 把点代入，得， ∴． 把点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）存在． 理由：联立正比例函数和反比例函数得， 解得或 ∵点A在第一象限， ∴． 作点关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，即为所求， ∴． 设直线的函数表达式为 把，代入，得 解得 ∴直线的函数表达式为 令，则，解得， ∴． ∴在x轴上存在点，使得的周长最小． 2．（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E．已知点，点． （1）连接，求的面积； （2）若点P为直线上一动点，是否存在一点P使得以D，E，P为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12；（2）存在，综上：或 【分析】（1）将点C代入解析式可求反比例函数解析式，即可得点D坐标，由三角形的面积公式可求解； （2）过点E作于点P，通过等面积法，得，设，根据两点距离公式，列式即可求解，或当点与点重合时，，此时，也满足题意． （1）解：把代入，得， 则反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴D点坐标为， ∴； （2）解：存在， 如图，过点E作于点P，    将、代入， 得， 解得， 则直线的解析式为， ∴当时，，则 当时，，则 ∴ ∵ ∴， ∴， ∵ ∴ 设， 即 则 解得 把代入 解得 ∴点 当点与点重合时，，此时， 此时点 综上：或 【点拨】本题是反比例函数综合题，考查了两点距离公式、待定系数法求反比例函数、勾股定理、等面积法，相似三角形判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 3．（25-26九年级上·四川雅安·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察图象，写出时自变量的取值范围； （3）连接，在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的解析式为；（2）或；（3）存在， 【分析】（1）先求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）构建方程即可解决问题． （1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，两点， ∴， ，， 把、的坐标代入，得：， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象得知：时，自变量的取值范围是：或； （3）解：存在．理由如下： 设，由题意得，， ， 解得， ． 【点拨】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积的求法，学会构建方程解决问题是解题关键． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期末）已知一次函数（a为常数）与轴交于点，与反比例函数交于两点，点的横坐标为． （1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象； （2）已知点的横坐标为3，请根据图象写出当时对应自变量的取值范围； （3）若点与点关于原点成中心对称，求出的面积； （4）在平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），图象见解析；（2）或；（3）2；（4）、或． 【分析】（1）根据B点的横坐标为且在反比例函数的图象上，可以求得点B的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可； （2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出当时对应自变量x的取值范围； （3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后根据点A、D、C的坐标，即可计算出的面积； （4）有三种情形，画出图形可得结论． 解：（1）∵B点的横坐标为且在反比例函数的图象上， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得，， ∴一次函数的解析式为， ∵， ∴时，；时，； ∴图象过点， 函数图象如图所示；    （2）联立方程组， 解得或， ∵一次函数（a为常数）与反比例函数交于B、C两点，B点的横坐标为， ∴点C的坐标为， 由图象可得，当时对应自变量x的取值范围是或； （3）∵点与点D关于原点成中心对称， ∴点， 作轴交于点E， 将代入，得， ∴， 即的面积是2． （4）如图1，将向右平移3个单位，再向上平移2个单位，点O与点C重合，    此时，点B与点P重合， ∴； 如图2，同理可得，    如图3，同理可得，；    综上，点P的坐标为、或． 【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标． 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 2．（2026·浙江金华·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标． 二、填空题 3．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答． 解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 4．（2026·辽宁丹东·中考真题）如图，函数与函数的图象交于点A，C，垂直于y轴，垂足为点B，连接，已知的面积为1，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．过点C作轴于点D，根据反比例函数的性质可得，从而得到，即可求解． 解：如图，过点C作轴于点D， ∵函数与函数的图象交于点A，C， ∴点A，C两点关于坐标原点对称， ∵轴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题 5．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． （1）求和的值． （2）求的面积． （3）当时，的取值范围是__________． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法即可求得和的值． （2）先将代入中，求得点坐标为，，结合即可求得的面积． （3）根据图象和点的坐标即可求得的取值范围． （1）解：将代入中，即， ∴， 将代入中，即， 解得：． （2）解：将代入中，即， 解得：， ∴点坐标为， ∴， 又∵， ∴的高为， ∴． （3）解：由上可得， ∵，　　 故结合图象可得当时，的取值范围是． 6．（2026·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解； （3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解． （1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， ∵在直线上， ∴， 解得； （2）解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，， ∴A、B关于原点对称， ∴， 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴，， 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、， 当时，； 当时，； ∴，， ∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴， ∴． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 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