27.2 第2课时 反比例函数的综合应用&难点探究专练 反比例函数与一次函数的综合-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

第2课时 反比例函数的综合应用 知识要点扫描 .S△BC=2S△A0B=2, k(k≠0)的比例系数 ∴S△BcD=S△B0c=2. 1.反比例函数y= 【解】2 k的几何意义 【例2】如右图，已知一次函 (1)如右图，过双曲线上任意 2x一2与反比例函数 1 数y1= 一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线 PM,PN,垂足为M,N,所得矩 y=”的图象在第一、第三象限分别交于 形PMON的面积S=PM·PN A(6,1),B(a,-3)两点，连接OA,OB. =y…x=y.“y=心xy=k心s= (1)求反比例函数的解析式. |k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂 (2)求△AOB的面积. 线，所得的矩形面积为k· (3)直接写出当y1>y2时，x的取值范围. (2)如上图，过双曲线上任意一点E作EF 【点拔11)将A(6,1)代入y:=可求m 垂直于其中一坐标轴，连接EO,则S△Eor= 的值，从而可得反比例函数的解析式.(2)求得 ,,即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂 点B的坐标，设直线AB交x轴于点C,由 线，且与原点连接，则所得三角形的面积为 S△AOB=S△Aoc十S△BOC求解.(3)根据点A,B 2 的横坐标及图象求解 2.反比例函数图象与一次函数图象的交点 当一次函数y=k1x十b中的k1与反比例 【解1)将A(6,1)代入y=”中，得1 数y中的，的符号相同时，两图象必 6,解得m=6,∴y2=6 6 交点，并且有两个交点 (2)设直线AB交x轴于点C,如图. 已经典例题剖析 1 把B(a,-3)代入y1= 【例1】如右图，在平面直角 坐标系中，线段AC的端点A在 -2,得-3=2a-2,解得a= y轴的正半轴上，AC∥x轴，点C -2,.B(-2,-3).将y=0代入y1= 2x、 在第一象限内，函数y=二(x一 2,解得x=4,∴.点C的坐标为(4,0)，即OC O)的图象交AC于点B,D为x轴上一点，连接 CD,BD.若BC=2AB,则△BCD的面积为 :4::SAAOB =SAAOC SABOC=7OC. 1 【点拨】如右图，连接OB, 2OC·(y)2OC·（yAyB)=24 OC.由AC∥x轴可知，△AOB (1+3)=8. 为直角三角形，.S△AOB=1. (3)当y1>y2时，x的取值范围是一2<x 又：BC=2AB, <0或x>6. 九年级数学RJ版 基础对点训练 A(-2,3),B(m,-2)两点. 知识点①反比例函数的比例系数k的几何 过点B作BP∥x轴，交y轴 于点P,连接AP,则△ABP 意义 1.(2025一2026赣州南康区检测)如图，M为 的面积是 第3题图 反比例函数y=(k≠0)的图象上的一点， 4.我们知道反比例函数的图象是一个轴对称 图形.如下图，点A(1,2)在反比例函数y= MA⊥y轴，垂足为A.若△AOM的面积为 3,则k的值为 (k>0,x>0)的图象上. x (1)k= (2)这个图象的对称轴是直线 0 C O 第1题图 变式题图 (3)已知直线AB平行于(2)中的对称轴，请 求出直线AB的解析式. 变式题(2025一2026合肥瑶海区期末)如 2 5 图，点A,B分别在反比例函数y1=二(x 3 >0),y2=二(x>0)的图象上，点C在x 1 012345 轴的负半轴上.若□ACOB的面积是4，则 k的值为 A.2 B.4 C.6 D.8 知识点③ 反比例函数与方程、不等式 5.如图，正比例函数y1=k1x(k1 2.如图，A,B是反比例函数 <0)的图象与反比例函数y2 y的图象上的两点，连 2(k,<0)的图象交于A,B 接OB,OA,AB,过点A 两点，点A的横坐标为一1.当 作AC⊥y轴，垂足为C, 第2题图 第5题图 y1<y2时，x的取值范围是 AC交OB于点D.已知D为OB的中点， A.x<-1或x>1 △AOD的面积为1. B.x<-1或0<x<1 (1)△ADB的面积是 C.-1<x<0或x>1 (2)k的值为 D.-1<x<0或0<x<1 6.在同一平面直角坐标系中，正比例函数y 知识点② 反比例函数与一次函数 k1x的图象与反比例函数y=兰的图象没有 3.如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x 公共点，则k1k2 0(填“>”或 +b与双曲线y2= (k1·k2≠0)相交于 x “<”) 上册第二十七章 难点探究专练 反比例函数与一次函数的综合（跨单元） 题型① 反比例函数与一次函数的图象的位 点（一1,0）的直线AB相交于A,B两点.已 置问题 知点A的坐标为(1,3)，C为x轴上任意一 1.已知a<0<b,则关于x的函数y=a.x一3 点.若S△ABc=9,则点C的坐标为() A.(-3,0) B.(5,0) 和y=在同一平面直角坐标系中的图象大 C.(-3,0)或(5,0) D.(3,0)或(-5,0) 致为 小 第4题图 第6题图 2.关于x的一次函数y=ax十b与反比例函数 5.已知直线y=8-x与反比例函数y=12 (x ab y=(a,b为常数且均不等于0)在同一平 >0)的图象交于A,B两点.设点A的坐标 面直角坐标系内的图象可能是 为(m,n),则长、宽分别为m,n的矩形的对 来平 角线长为 6.如图，过点C(2,1)作AC∥x轴，BC∥y轴， 点A,B都在直线y=一x+6上.若双曲线 3.一题多解法函数y=一ax十a与y=a(a y 二(x>0)与△ABC总有公共点，则k的 x ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能 取值范围是 是 题型③ 反比例函数与一次函数的函数值大 小问题 7.如图，若函数y=kx十b(k≠ 0)与y=”(m≠0)的图象交 x 于A(-2,3),B(6,-1)两 点，则不等式kx十b>的解 第7题图 集为 A.x<-2 题型② 反比例函数与一次函数的图象的交 B.-2<x<0或x>6 点问题 C.x<6 4.如图，反比例函数y=(>0)的图象与过 D.x<-2或0<x<6 46 九年级数学RJ版 (3)点P(0,b)是y轴上的一点，若△ABP 变式题如图，反比例函数y 是以AB为直角边的直角三角形，求b的值： =(k≠0)与一次函数y x十m的图象交于点C(a, C A 0 1)和点D(b,4).一次函数 变式题图 y=x十m的图象分别与x 轴、y轴交于点A(一5,0)和B.当x<0 时，不等式 ≤x十m的解集为 题型④ 反比例函数与一次函数的面积问题 9.已知一次函数y=m.x十n的图象与反比例 8.如下图，一次函数y=mx十n(m,n为常数， m≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的 函数y=严的图象交于A(-,-2m), m x B(m,1)两点，则△OAB的面积为() 图象交于A(-2,一2)，B(a,1)两点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式. A.3 B名 n号 (2)结合图形，请直接写出不等式 -x<0 10.如下图，在平面直角坐标系中，直线AB分 别与x轴、y轴交于点A,B,与反比例函数 的解集。 y=(x>0)的图象交于点C,已知点A的 坐标为（一2,0），点C的坐标为(1,6)，点D 在反比例西数)-产（>0)的图象上，织坐 标为2. (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标. (2)连接BD,OD,请直接写出四边形AB- DO的面积. 上册第二十七章b=52-2n·5=25-10n. a<b,且ab<0, .a<0<b, ÷e 解得1.5<n<2.5. 观察选项，只有n=2符合该范围. 12.B【解析】设方程x2+3.x一3=0的两个根为x1,x2. .a=1,b=3,c=3, b .由一元二次方程根与系数关系可知x1十x2= a =一3， 即x2=-3-x1· .已知x1在0.5与1之间， x2在-4与-3.5之间. 当x=-3.75时，y=(-3.75)2+3×(-3.75)-3= -0.1875<0: 当x=-4时，y=(-4)2+3×(-4)-3=16-12-3 =1>0. x2在-4与-3.75之间， .与方程x2+3x一3=0另一根更接近的是一4. 13.1或3【解析】设A(x1,0),B(x2,0). 令y=0,得x2十mx十m-2=0. 由根与系数的关系，得x1十x2=一m,x1x2=m一2， AB=|x1-x2|=√(x十x2)-4x1x2= √(-m)-4(m-2)=√m2-4m+8. ,AB=√5，.√m-4m十8=5， 两边平方，得m2-4m十8=5， 解得m1=1,m2=3. 故m的值为1或3. 第二十七章反比例函数 27.1反比例函数的概念 1.C2.23.D4.y=-1 x k 5.解：(1)设y关于x的函数解析式为y= x+1(k≠0). 当z=2时y=一3，一6● 1 Γ31 2+1 解得k=-2心y=一2(x+1D 1 .1 1 (2)令y=6,即6=一2(x+D解得x=-4. 6.C 27.2反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 1.B2.C3.D变式题)- (2)y=8 10 九年级数学RJ版 4.C5.-3 6.(1)A(2)CD 7.解：(1)(2,2) (2):双曲线y=经过点B(2,2), …2 之，解得6=4. “双曲线的解析式为y=4(x>0). :AC⊥x轴，A(4,0), ∴点C的横坐标为4. 将=4代入=得y=-1. ∴.点C的坐标为(4,1). 设BC所在直线的解析式为y=a.x十b.把B(2,2), 1 C(4.D代人y=ax+b,得2a十b-2解 a=-2' 4a+b=1, b=3. 1 ∴BC所在直线的解析式为y=一2x+3. 8.解：(1)D(2,m),F(4,m-3. (2)设反比例函数的解析式为y=冬(k≠0). ,D(2,m),F(4,m一3)在反比例函数的图象上， .k=2m=4(m-3),解得m=6,.∴.k=12, ÷反比例函数的解析式为y=12 9.D 第2课时反比例函数的综合应用 1.6变式题C 212号 【解析】(1)，D为OB的中点，.BD= OD,SAABD=SAAOD=1. (2)设点D的坐标为(a,b). :D为OB的中点，∴.点B的坐标为(2a,2b),.k =4ab. 又，AC⊥y轴，点A在反比例函数图象上， ∴.点A的坐标为(4a,b),∴.AD=4a-a=3a. △A0D的面积为1,7X3a·b= 2 .28 .ab=- …k=4ab=4X3=3 3号【解折]：直线=工十6与双商线，-会（， 15 ·k≠0)相交于A(一2,3)，B(m,一2)两点，.k2= -2×3=-2m,.m=3,∴.B(3,-2).BP∥x轴， Bn=8Sm=号×8X3+2)=5 15 4.解：(1)2(2)y=x (3)设直线AB的解析式为y=k1x十b(k1≠0). :直线AB∥直线y=x,.k,=1. 把A(1,2)代入y=k1x+b,得2=1+b,b=1, ∴.直线AB的解析式为y=x十1. 5.C6.< 难点探究专练反比例函数 与一次函数的综合（跨单元） 1.D2.D 3.D【解析】当a>0时，一a<0,y=-a.x十a的图象经 过第一第二第四象限y=的图象位于第一、第三 象限，无选项符合题意；当a<0时，一a>0,y=一a.x 十。的图象经过第一第三、第四象限y=的图象位 于第二、第四象限，只有D选项符合题意. 一题多解法 由y=一a.x十a=一a(x一1)，可知一次函数的图 象一定经过点(1,0)，故排除A,C选项；B,D选项 中反比例函数的图象在第二、第四象限，则α<0， 此时一次函数图象应经过第一、第三、第四象限， 故排除B选项. 4.D【解析】：反比例函数y=冬(k>O)的图象过点 x 3 A(1,3),.k=1×3=3,.y= 设直线AB的解析式为y=m.x十n. 将(1,3)，(-1,0)代入y=mx+, 3 (3=m十n, 得 m=2' 0=-m十n, 解得 3 n=2' 3 3 ·直线AB的解析式为y=2x+2: 33 y=2x+2 x=-2, 联立方程组 3 3 解得1， y=31 y=1 y-x 2, B(-2,-) 1 设C（c,0),六Sae=2·|c+11X [3-(-)】=9 解得c=3或c=-5. 故点C的坐标为(3,0)或（一5,0）. 5.210 6.2≤k≤9【解析】当双曲线过点C时，把C(2,1)代入 y=(x>0),得k=2X1=2.:双曲线与△ABC要 k 有公共点，.k≥2 联立y=-x十6与y冬得-十6=冬整理，得 -6x十k=0,得△=(-6)2-4k=36-4k. 当双曲线和直线只有一个交点时，36一4k=0,解得飞 =9,此时交点坐标为(3,3)，在线段AB上； 当双曲线和直线有两个交点时，36一4k>0,解得k< 9,.k≤9. 故k的取值范围是2≤k≤9， 7.D变式题-4≤x≤-1 8.解：1)：点A(-2,-2)在反比例函数y=(k≠0) 的图象上， .k=(-2)X(-2)=4, “反比例函数的解析式为y=工 4 :点B(a,1)在反比例函数y=的图象上， 1=4,a=4B(4,1). a 把(-2，一2)，(4,1)分别代入y=mx+n(m≠0)， 1 一2m十n=-2·解得m=2 得 4m+n=1, n=-1, 1 ·一次函数的解析式为y=2x一1 (2)-2<x<0或x>2. (3)当∠BAP=90时，AB2+AP2=BP, 即(4+2)2+(1+2)2+（一2）2+(-2-b)2=42+(1- b)2, 整理，得6b=一36，解得b=一6. 当∠ABP=90°时，AB2+BP2=AP2,即(4+2)2+(1 +2)2+(-4)2+(b-1)2=22+(b+2)2, 整理，得6b=54,解得b=9. 故b的值是一6或9. g.D【解折：点A(-品-2m)在反比例函数y-贸 的图象上-2m=”,解得加=2。 m ∴点A的坐标为-分-4)，点B的坐标为2. ∴.可得直线AB的解析式为y=2x-3. 3 当y=0时x=2 3 :直线AB与x轴的交点的横坐标为2， 5m-号×2x1+4-5 10.解：(1)，点C的坐标为(1,6)，且点C在反比例函数 6=(x>0)的图象上 .k=1X6=6, 6 ∴反比例函数的解析式为y=(x>0). 设直线AC的解析式为y=k'x十b. 上册详解详析 11△ 点C的坐标为(1,6)，点A的坐标为(-2,0)， k'+6=6, -2k'+b=0, 解得b=4: k'=2, .直线AC的解析式为y=2x+4. 当x=0时，y=4,∴点B的坐标为(0,4). (2)四边形ABDO的面积为10. 【解析12)：点D在函数=。（x>0)的图象上，且 纵坐标为2， x=3,∴.点D的坐标为(3,2)， ∴.S四边形AB0=S△OBD十S△ABO =2·D·OB+2OA·0B ⊙、1 1 X3×4+2×2×4=10. 解题技巧专练反比例函数中k的 几何意义与拓展 1.C 变式题B【解析】：点P,Q在反比例函数y=是的 图象上，且S,S2,S:是三个相邻且不重叠的小矩形， .S1+S2=5,S3+S2=5. S2=2, .S1=3,S3=3, .S,+S=6. 2.A【解析】由B是双曲线y:=士(x>0)上的点，可设 x B(a,） :AB∥x轴，∴yB=yA= a ”点A在双曲线y=冬(x<0)上，=1 k ∴xA=ak,∴A(ak,）,AB=xB-xA=a-ak, 1 1 Sac=2AB·yA=2（a-ak)·a =2,即1-k 4,解得k=-3. 3.-6【解析】SAoc=6,D是AC的中点，.S△x =3. :∠AC0=90,反比例函数y=(x<0)的图象经过 x 点D,.|k|=2S△xx=6. :函数图象在第二象限，.k=一6. 4.A 5.C【解析】设点B的坐标为(a,b),且a<0,b>0,则 DO=-a,BD=6. :AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴BD∥AC. 12 九年级数学RJ版 .OC=CD. icE=2BD=26.cD=20=-30 ,四边形BDCE的面积为2， 六2(BD+CE)·CD=2, 即2(6+2b)·(-g)=2∴b=- 3 将B(a,b)代入反比例函数y=冬，得k=ab=-16 k 难点探究专练反比例函数 和几何图形的综合（跨单元） 1.B2.12 3.解：(1)点M(a,4)在直线y=2x十2上， .4=2a十2，解得a=1,∴.M(1,4). 将M1,4)代人y=《中，得k=1×4=4, 心反比例函数的解析式为y1(x>0), (2)对于直线y=2x+2,当x=0时，y=2; 当y=0时，x=一1， .B(0,2),A(-1,0). :四边形ABCD是平行四边形，.BC∥AD,AD =BC, .点C的纵坐标为2. ,点C在反比例函数的图象上， 4 4 .将y=2代入y=中，得2=年，解得x=2, x .C(2,2),AD=BC=2. A(-1,0),点D在点A的右侧， ∴点D的坐标为(1,0). 4.解：1)：反比例函数y=(x>0)的图象经过点 x D(4,1), .k=4×1=4, 反比例函数的解析式为y=一(x>0). ,四边形OABC是矩形，且D为AB的中点， .B(4,2),点E的纵坐标为2. 把y=2代入y=4,得2=4，解得x=2,…E(2,2. x (2)-3≤m≤0. 【解析】(2)把D(4,1)代入y=x+m,得1=4+m,解 得m=-3.把E(2,2)代入y=x十m,得2=2+m,解 得m=0,∴.m的取值范围是一3≤m≤0. 5.解：(1)如图，过点C作CE⊥x轴于点E,过点A作 AF⊥y轴于点F,则CE=√3. ,四边形OABC是菱形， ∴.∠AOB=∠COB,OA=OC. ,B(a,a),∴点B在∠FOE的平分线上，