27.1 反比例函数的概念【分层作业】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.1 反比例函数的概念【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1】反比例函数的识别 2 【题型2】利用反比例函数定义求参数 4 【题型3】反比例函数的值 7 三.拓展性作业 9 【题型4】根据实际问题列反比例函数解析 9 【题型5】反比例函数实际建模与复合比例问题 11 四.中考链接 16 五.自我评价 20 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空（课本知识） 1. 一般地，形如 （ 为常数，）的函数，叫作反比例函数。其中 是_____， 是 的函数；自变量 的取值范围是_____________。 2. 反比例函数的三种等价表达形式（）： ① 分式形式：；② 乘积形式：__________；③ 负指数幂形式：__________。 3. 判定反比例函数的两个必要条件： （1）自变量 的次数为__________；（2）比例系数 __________。 4. 实际问题中的反比例函数，自变量除满足 外，还需符合__________意义。 参考答案： 1. 自变量；不等于0的全体实数 2. ② ；③ 3. ；不为0 4. 实际 二.巩固性作业 【题型1】反比例函数的识别 1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：A选项：这是的形式（），是正比例函数，不是反比例函数． B选项：这是的形式（），符合反比例函数定义． C选项：化简：这不是的形式，不是反比例函数． D选项：化简：这是二次函数，不是反比例函数． 2．（25-26八年级下·上海·期末）下列函数图像是双曲线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需判断各选项的函数类型，根据反比例函数的图像是双曲线即可得到答案． 解：选项A、是正比例函数，图像为过原点的直线，不符合要求.； 选项B 、是常函数，图像为平行于轴的直线，不符合要求； 选项C、是正比例函数，图像为过原点的直线，不符合要求； 选项D、可变形为，属于反比例函数，反比例函数的图像是双曲线，符合要求． 3．（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【答案】（2）、（3） 【分析】根据反比例函数的定义，形如（ 为常数， ）的函数是反比例函数，逐一判断各关系式即可得到结果． 解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式； ，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数； ，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数； 整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式； ，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式． 综上，只有（2）和（3）是反比例函数． 4．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【答案】②④⑥ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，），或可转化为（）、（）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 解：①是一次函数，不是反比例函数， ②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数， ④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑤是二次函数，不是反比例函数， ⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑦是正比例函数，不是反比例函数， 综上所述，反比例函数有②④⑥． 故答案为：②④⑥． 【题型2】利用反比例函数定义求参数 1．（2026九年级上·全国·专题练习）已知函数 （为常数）． （1）若该函数是反比例函数，则________； （2）若该函数是正比例函数，则________． 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）根据反比例函数的定义，得且，解答即可； （2）根据正比例函数的定义，且，解答即可． （1）解：根据题意，得且， 故且， 故且， 综上所述，． （2）解：根据题意，得且 且 故且 综上． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 3．（2026九年级上·山东·专题练习）若是反比例函数，则的值为_________． 【答案】-2 【分析】根据反比例函数的定义，得到的指数为，且系数不为，据此列条件求解即可. 解：∵是反比例函数，反比例函数的一般形式为， ∴满足两个条件：且， 解方程，得，即或， ∵，得， ∴. 4．（26-27九年级上·全国·周测）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，得到，求出m，然后代入求解即可． 解：∵是关于x的反比例函数， ∴， 解得， 则． 【题型3】反比例函数的值 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． （1）写出这个函数自变量的取值范围； （2）当时，求函数y的值； （3）当时，求自变量x的值． 【答案】（1）自变量的取值范围为；（2）函数y的值为；（3）自变量x的值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． （1）解：自变量的取值范围为； （2）解：当时，； （3）解：当时， ， 解得． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点在函数的图象上，则横纵坐标之积等于2．由于点在函数的图象上，则，据此逐项判断横纵坐标之积是否等于2即可． 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． A、，故点不在该反比例函数图象上； B、，故点不在该反比例函数图象上； C、，故点在该反比例函数图象上； D、，故点不在该反比例函数图象上． 3．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 【答案】 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵， ∴． 三.拓展性作业 【题型4】根据实际问题列反比例函数解析 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据运送总量固定，V与t的乘积为非零常数的特点判断函数类型． 解：由题意得，，整理得，符合反比例函数关系． 2．（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【答案】60 解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）写出下列函数解析式，指出其中的正比例函数和反比例函数． （1）火车从北海驶往相距约的南宁，若火车的平均速度为，求火车距北海的距离与行驶的时间之间的函数解析式； （2）某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数解析式； （3）俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，求他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数解析式． 【答案】（1）解：由题意，得，是正比例函数 （2）解：由题意，得，是反比例函数 （3）解：由题意，得，即，是反比例函数 【分析】根据题意写出函数关系式并判断，即可解答. 解：（1）略 （2）略 （3）略 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2） （1）解：函数的图象经过点 将点代入，得， 该反比例函数的表达式为； （2）解：当时，． 【题型5】反比例函数实际建模与复合比例问题 1．（2026九年级下·湖南益阳·专题练习）已知y与成反比例，并且时，求： （1）y和x之间的函数关系式； （2）当时，y的值； （3）当时，x的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据与成反比例设出函数形式，再代入已知条件求出得到函数关系式； （2）将代入计算即可； （3）将代入计算即可． （1）解：∵与成反比例， ∴设， 将，代入得， 解得， ∴和之间的函数关系式为； （2）解：将代入得； （3）解：将代入得， 解得． 2．（25-26八年级下·上海松江·期末）已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． （1）求z关于x的函数表达式； （2）当时，求z的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意设把时，代入，求得的值；设，把，，代入计算求出的值，即可确定与的函数解析式；将代入，可求得与的函数解析式， （2）将代入（1）中的解析式再计算即可． （1）解：∵y与x成反比例，z与y成正比例， ∴设，， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， ， ，即. （2）解：将代入， 得． 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，则，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，求出时，y的值即可得到答案． （1）解：设， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，当时，． 4．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时， （1）求关于的函数表达式； （2）若点在这个函数图像上，求的值 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）与成反比例，可设，与成正比例，可把看成一个整体，设，利用待定系数法即可求解； （2）把代入解析式解答即可． （1）解：设，，则， 当时，；当时， 可得， 解得：． ； （2）解： 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·福建·中考真题）下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论． 解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 2．（2026·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 3．（2026·河北·中考真题）平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 【答案】B 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 二、填空题 4．（2026·云南·中考真题）若函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 5．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 6．（2024·陕西·中考真题）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则________0． 【答案】/小于 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出，，再根据，得出，最后求出即可． 解：∵点和点均在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1 反比例函数的概念【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业 2 【题型1】反比例函数的识别 2 【题型2】利用反比例函数定义求参数 2 【题型3】反比例函数的值 3 三.拓展性作业 3 【题型4】根据实际问题列反比例函数解析 3 【题型5】反比例函数实际建模与复合比例问题 5 四.中考链接 6 五.自我评价 7 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空（课本知识） 1. 一般地，形如 （ 为常数，）的函数，叫作反比例函数。其中 是_____， 是 的函数；自变量 的取值范围是_____________。 2. 反比例函数的三种等价表达形式（）： ① 分式形式：；② 乘积形式：__________；③ 负指数幂形式：__________。 3. 判定反比例函数的两个必要条件： （1）自变量 的次数为__________；（2）比例系数 __________。 4. 实际问题中的反比例函数，自变量除满足 外，还需符合__________意义。 二.巩固性作业 【题型1】反比例函数的识别 1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海·期末）下列函数图像是双曲线的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 4．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【题型2】利用反比例函数定义求参数 1．（2026九年级上·全国·专题练习）已知函数 （为常数）． （1）若该函数是反比例函数，则________； （2）若该函数是正比例函数，则________． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 3．（2026九年级上·山东·专题练习）若是反比例函数，则的值为_________． 4．（26-27九年级上·全国·周测）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【题型3】反比例函数的值 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． （1）写出这个函数自变量的取值范围； （2）当时，求函数y的值； （3）当时，求自变量x的值． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 三.拓展性作业 【题型4】根据实际问题列反比例函数解析 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 2．（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）写出下列函数解析式，指出其中的正比例函数和反比例函数． （1）火车从北海驶往相距约的南宁，若火车的平均速度为，求火车距北海的距离与行驶的时间之间的函数解析式； （2）某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数解析式； （3）俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，求他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数解析式． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当时，求的值． 【题型5】反比例函数实际建模与复合比例问题 1．（2026九年级下·湖南益阳·专题练习）已知y与成反比例，并且时，求： （1）y和x之间的函数关系式； （2）当时，y的值； （3）当时，x的值． 2．（25-26八年级下·上海松江·期末）已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． （1）求z关于x的函数表达式； （2）当时，求z的值． 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，求y的值． 4．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时， （1）求关于的函数表达式； （2）若点在这个函数图像上，求的值 四.中考链接 一、单选题 1．（2026·福建·中考真题）下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·中考真题）平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 二、填空题 4．（2026·云南·中考真题）若函数的图象经过点，则________． 5．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 6．（2024·陕西·中考真题）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则________0． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $