15.3等腰三角形 同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

等腰三角形(1) 知识点 等腰三角形的有关概念 定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形.其中，相等的两条边叫作 ，第三条边叫作 ，两腰的夹角叫作 ，腰与底的夹角叫作 . 1.(2026 扬州一模改编)若一个等腰三角形的周长是12 cm，底边长为2cm ，则这个三角形的腰长是 cm. 2.(1)(2025 淮安)等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 . (2)(2026山西模拟改编)若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是( ) A.70° B.45° C.35° D.50° 知识点 等腰三角形的两个底角相等 几何语言：如图，在△ABC中， ∵AB=AC, ∴∠B=∠C. 等腰三角形的这个性质简写成“ ”. 3.(人教8上P80 改编)如图,AB=AC,AE平分∠DAC,那么AE∥BC吗? 为什么? 知识点 等腰三角形“三线合一”的性质 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.(简写成“ ”) 几何语言：如图，在△ABC中， ∵AB=AC, 又∵AD平分∠BAC, ∴DB=DC,AD⊥BC. 4.(1)(北师8下P4)如图,在△ABC中,AB=AC,D 为BC的中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为( ) A.35° B.45° C.55° D.60° (2)(2026 广西期末)已知AF 是等腰△ABC的底边BC上的高，若点 F 到直线AB 的距离为3，则点 F到直线AC 的距离为( ) A. B.2 C.3 D. 学科网（北京）股份有限公司 5.【例1】(2025 西宁)等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 . 9.(人教8 上 P84)已知等腰三角形的周长为18，一边长为8，则它的底边长是( ) A.8 B.2 C.7或8 D.2或8 小结：必须对等腰三角形的边进行分类讨论，注意三边长是否能构成三角形. 6.【例2】(人教8 上 P79 改编)如图,在△ABC 中,点 D是边BC上的一点.若AB=AD = DC,∠BAD =44°,则∠C 的大小为 . 10.(人教8上P79 改编、北师8下P7)如图,在等腰三角形 ABC 中,AB = AC,BD 平分∠ABC,∠A=36°,则∠1 的度数为( ) A.36° B.54° C.72° D.108° 小结：等腰三角形的两个底角相等，结合三角形的内、外角定理列方程求解. 7.【例3】如图,在△ABC中,AB =AC,AD 是BC边上的中线,BE⊥AC 于点E.求证:∠CBE=∠BAD. 小结：等腰三角形“三线合一”的应用.. 11.(人教8上P84、北师8下P5)如图,点D,E在△ABC 的BC边上,AB =AC,AD =AE.求证:BD=CE. 83/199 8.【例4】如图,在 中,AB=AC,点D 在线段BC上, ,在△ADC中,CA =CD,求 三个内角的度数. 小结：适当设未知数，再利用三角形的内角和定理列方程求解. 12.(运算能力)(人教8上 P84 改编、北师8下P23)如图,∠BAD=90°,AB =AC,AC 的垂直平分线交 BC于D,交AC 于 E. (1)求∠BAC的度数; (2)若AB=10,BC=17.32,求△ABD的周长. 学科网（北京）股份有限公司 等腰三角形(2) 知识要点 对点训练 知识点 等腰三角形的判定 (1)定义判定：有两边 的三角形叫作等腰三角形. (2)判定定理：有两个角 的三角形是等腰三角形.(简写成“ ”) 1.下列能断定△ABC 为等腰三角形的是( ) A.∠A=30°,∠B=60° B.∠A=50°,∠B=80° C. AB=AC=2,BC=4 D. AB=3,BC=7,△ABC的周长为13 知识点 等腰三角形判定的运用 (1)理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明. (2)具体在做题时，经常与角平分线的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等定理结合起来综合运用. 2.(人教8上P80、北师8下P9)如图,已知AD平分∠CAE,AD∥BC.求证:△ABC 是等腰三角形. 知识点 等腰三角形的尺规作图 掌握尺规作图作等腰三角形的方法. 例如，已知底边及底边上的高线作等腰三角形的作法： ①首先，作一条与已知底边长度相等的线段作为等腰三角形的底边； ②其次，作底边的垂直平分线； ③然后，以底边及其垂直平分线的交点为一端点，在垂直平分线上截取与已知高线长度相等的高； ④最后，连接高的另一端点与底边的两个端点. 3.(人教8上P81、北师8下P25)已知等腰三角形底边a及底边上的高h，求作等腰三角形.(不写作法，保留作图痕迹) 已知: ; a , h 求作: . 学科网（北京）股份有限公司 4.【例1】(人教8上P81改编)如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠A =36°,BD,CE 分别是∠ABC，∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 8.如图,在△ABC 中,∠A =36°,∠B =72°,AC的垂直平分线分别交AC，AB 于点 D，E，则图中等腰三角形的个数为() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 小结：可按图形大小顺序，运用等腰三角形的判定定理判断个数. 5.【例2】如图,AD 平分∠BAC,BD⊥AD,DE∥AC,求证:△BDE 是等腰三角形. 小结：角的平分线和平行线结合，以角为纽带得到等腰三角形. 9.(人教8上P84、北师8下P9)如图,AD 平分∠BAC,AB∥CD,求证:△ACD 为等腰三角形. 85/199 6.【例3】(2026长沙期末)如图,已知在△ABC中,D是AB的中点,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,且ED=FD,求证:△ABC是等腰三角形. 小结：可以用全等三角形的判定和性质进行证明. 10.(人教8 上 P92、北师8 下 P8)如图,AD =BC,AC=BD,求证:△EAB 是等腰三角形. 7.【例4】尺规作图：如图，以∠α为顶角，线段a为腰作等腰三角形.(要求写出已知、求作，不写作法和证明，保留作图痕迹) ★11.(几何直观)如图，已知底边及一腰，求作等腰三角形. 等腰三角形(1) 知识点：腰底 顶角 底角 知识点：等边对等角 知识点：三线合一 1.5 2.(1)80°(2)C 3.解:AE∥BC.理由如下: ∵AB=AC,∴∠B=∠C. 由三角形的外角性质得∠DAC=∠B+∠C=2∠B. ∵AE平分∠DAC,∴∠DAC=2∠DAE, ∴∠B=∠DAE,∴AE∥BC. 4.(1)C (2)C 5.【例1】7 6.【例2】34° 7.【例3】证明:∵AB=AC,AD 是BC边上的中线, ∴∠ADC=90°,∠CAD=∠BAD, ∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°, ∴ ∠CBE=∠CAD,∴ ∠CBE=∠BAD. 8.【例4】解:∵AB=AC,AD=BD, ∴∠B=∠C=∠BAD, 设∠B=x,则∠ADC=∠B+∠BAD=2x, ∵CA=CD,∴ ∠DAC=∠ADC=2x, ∴∠BAC=∠DAC+∠BAD=3x, ∴在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=x+x+3x=180°, 解得x=36°, ∴在△ABC中,∠BAC=108°,∠B=∠C=36°. 9. D 10. C 11.证明:如图,过点A作AP⊥BC于 P. ∵AB=AC,∴BP=PC. ∵AD=AE,∴DP=PE. ∴BP-DP=PC-PE,∴ BD=CE. 12.解:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C, 设∠B=∠C=x°,∵∠BAD=90°, ∴∠ADB=90°-∠B=(90-x)°. ∵DE垂直平分AC,∴DA=DC, ∴∠DAC=∠C=x°,∴90-x=2x, 解得x=30,∴ ∠BAC=90°+30°=120°. (2)由(1)知DA=DC, ∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB +BC=10+17.32=27.32. 等腰三角形(2) 知识点：(1)相等 (2)相等 等角对等边 1. B 2.证明:∵AD平分∠CAE,∴∠EAD=∠CAD, ∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B,∠CAD=∠C, 是等腰三角形. 3.解:已知:线段a,h; 求作:△ABC,使AB=a,AC=BC,AB边上的高为h.如图，△ABC 即为所求作. 4.【例1】A 5.【例2】证明:∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD. ∵DE∥AC,..∠CAD=∠ADE,..∠EAD=∠ADE. ∵BD⊥AD,..∠ADE+∠BDE=90°,∠EAD+∠B=90°, ∴∠BDE=∠B, ∴BE=DE,∴△BDE 是等腰三角形. 6.【例3】证明:∵D是AB的中点,∴AD=BD,在Rt△ADE和Rt△BDF中, ∴ Rt△ADE≌Rt△BDF(HL),∴∠A=∠B, ∴AC=BC,∴△ABC是等腰三角形. 7.【例4】解:已知:∠α,线段a; 求作:△ABC,使得∠A=∠α,AB=AC=a. 如图，△ABC 即为所求作. 8. B 9.证明:∵AB∥CD,∴∠BAD=∠ADC. ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∴∠ADC=∠CAD,∴AC=DC,∴△ACD为等腰三角形. 10.证明:在△ADB和△BCA中, ∴△ADB≌△BCA(SSS),∴∠DBA=∠CAB, ∴AE=BE,∴△EAB是等腰三角形. 11.解:如图,△OAB 即为所求作. 学科网（北京）股份有限公司 $