1.2 等腰三角形(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

参考答案与提示 (SAS)。EF=FM。FM=CM+CF,∴.EF=BE+CF。 9.证明：(1)AD平分∠BDE,.∠ADB= (2)·△AEF的周长=AE+AF+EF,由(I)知EF=BE+ ∠ADE。AD=AB,.∠B=∠ADB=∠ADE。∠BAD= CF,.△AEF的周长=AE+AF+BE+CF=AB+AC。: ∠CAE,∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC。∴.∠BAC= △ABC是等边三角形，.AB=AC=5。.△AEF的周长= ∠DAE。又∠B=∠ADE,AB=AD,∴.△BAC≌△DAE 5+5=10。 (ASA)。AC=AE。.△ACE是等腰三角形。(2)在 15.解：(1)45°(2)∠DAC的度数不会改变。 △ABD中，设∠B=∠ADB=∠ADE=Q,.∠BAD=180°- 理由：EA=EC,∴∠CAE=∠C。.∠AED=2∠CAE。: (∠B+∠ADB)=180°-2ax。.∠BAD=∠CAE=180°-2a。 ∠BAE=90°，∴.∠B=180°-∠BAE-∠AED=90°-2∠C。 ∠ADB=∠ADE=Q,∴.∠CDE=180°-∠ADB-∠ADE= BA=BD,ZBAD=∠ADB。∴ZBAD=2I80-∠BF 180°-2a。∴.∠CAE=∠CDE。 10.(1)证明：如图1， 3[180-(90-2∠C]=45+∠C。∠DME=∠BME- 过点P作PF∥AQ交BC于点 F,∴.∠PFB=∠ACB,∠DPF ∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C。∴.∠DAC=∠DAE+ ∠CAE=45°-∠C+∠C=45°。(3)EA=EC,. ∠Q。AB=AC,∴LB=LACB。 ∠CAE=∠C。∠AED=2∠C。∠BAE=n°，∠B= ∴.∠B=∠PFB。∴.BPPF。BP= 180°-n°-∠AED=180°-n°-2∠C。BA=BD,∴.∠BAD= CQ,PF=CQ。又：∠PDF= 图1 ∠QDC,∴.△DPF≌△DQC(AAS)。.PD=DQ。(2) ∠ADB。∠BAD-2(180P-∠B)=7[180-(180P-n- 解：线段ED的长度保持不变。理由：①如图2，若点 P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于点F。与 2∠C)]=7n+LC。∠DAB=∠BAE-∠BAD=n2 (I)同理可证，PB=PF,△DPF≌△DQC。DF=DC。 -∠C=7-LC。∠DAC=∠DAE+∠CAE= PE1BC,BE=ER。ED=EF+Fm=BF+C=月 L0+zG2。 BC=3。②如图3，若点P在线段BA的延长线上，过 点P作PM∥AC交BC的延长线于点M,设PQ与CM 16.V3-117.B 交于点D,.∠M=∠ACB。AB=AC,∴.∠B=∠ACB。 18.证明：，△ACD,△BCE分别是以AC,BC为 ∴∠B=∠M。PM=PB。PE⊥BC,BP=CQ,∴BE=EM, 底边的等腰三角形，AD=DC,CE=BE。.∠A= PM=CQ。PM∥AC,∴.∠MPD=∠CQD,∠M=∠DCQ。 ∠DCA,∠ECB=∠CBE。·∠A=∠CBE,∴∠A=LECB= ∴.△PMD≌△QCD(ASA)。.CD=DM。∴ED=EM-DM= ∠DCA=∠CBE。.CD∥BE。∴∠DCE=∠CEB。EF= AD,.EF=DC。又CE=BE,∴.△DCE≌△FEB(SAS) BM-CM=宁(BM-CW)=BC=3。综上所述，线 ·DE=BF。 段ED的长度保持不变。 2等腰三角形（第2课时）】 1.32.B3.D4.C 5.证明：：∠BAC=90°，.∠ABE+∠AEB=90°。 AD⊥BC,.∠DBF+∠BFD=90°。∠ABE=∠CBE, ∠AEB=∠BFD。:∠BFD=∠AFE,∴.∠AEB=∠AFE ·AE=AF。 6.证明：AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD。 图2 图3 第10题答图 DE∥AC,∠ADE=∠CAD。.∠ADE=∠BAD。 11.D AE=DE。∠EBD=∠EDB,∴EB=ED。AB=AE+EB, ·AB=2DE。 2等腰三角形（第3课时） 7.证明：，·∠B+∠BDE+∠BED=180°，∠BED+ 1.答案不唯一，如：∠B=60°或∠C=60°或AB=AC ∠DEF+∠FEC=l80°，∠B=∠DEF,.∠BDE=∠FEC。 或AC=BC或AB=BC :AB=AC,∠B=∠C。又BD=CE,∴.△BED≌△CFE。 2.63.44.D DE=EF,即△DEF是等腰三角形。 5.(1)证明：BP=AP=AO=OC,∴.∠B=∠PAB 8.(1)证明：△ABC是等边三角形，∠ABC= ∠C=∠QAC。∠PAQ=60°，∴.△APQ为等边三角形。 LACB=60°。·BD是等边三角形ABC的中线，： ∴.∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°。∠APQ=∠B+∠PAB, ∠ABD=∠CBD=30°。∠ACB=∠E+∠CDE,CE=CD, LAQP=∠C+∠QAC,∴∠B=∠PAB=∠C=∠QAC=30°。 ∠E=∠CDE=30°。.∠CBD=∠E。.DB=DE。(2) AB=AC。(2)解：∠B=∠C=30°，∴.∠BAC=180° 解：成立。若BD是△ABC的角平分线或高，根据等 -∠B-∠C=120°。 腰三角形的三线合一性质，BD即是三角形的中线，转 6.证明：△ABC和△DEB为等边三角形，.BC= 化为(1)的问题。 AB.∠ABC=∠DBE=60°.DB=EB。.·.△ADB≌△CEB三角形的证明及其应用 第一章 等腰三角形（第2课时） 自主导学Q、典例精析 例题如图，在△ABC中，∠ACB=3∠B,∠1=∠2，CD1 AD于点D。求证：AB-AC=2CD 【分析】要证AB-AC=2CD,须将AB-AC和2CD分别转化到 两条线段上，为此，延长CD交AB于点E。由已知易证△ACE为 B 例题图 等腰三角形，进而得到AE=AC,则AB-AC=BE。再由∠ACB= 3∠B,可得出BE=EC,再由等腰三角形性质结论得证。 【证明】如图，延长CD交AB于点E,CDLAD,.∠ADE=∠ADC=90°。 .'∠1=∠2，∠AED=180°-∠1-∠ADE,∠ACD=180°-∠2- 2 ∠ADC,.∠AED=∠ACD。∴.AE=AC。∴.ED=CD。 E .∠ACD=∠ACB-∠ECB=3∠B-∠ECB,∠AED=∠B+∠ECB, D B ∴3∠B-∠ECB=∠B+∠ECB。∴.∠B=∠ECB。∴.EB=EC。 例题答图 .EB=AB-AE=AB-AC,EC=2CD,∴.AB-AC=2CD。 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是利用截长补短法分别将 AB-AC和2CD转化到BE和EC两条线段上，进而证BE和EC两条线段相等。当题目中涉 及垂直、角平分线、中线等条件时，要构造等腰三角形，反之亦然。 基础巩固飞)达标闯关 1.如图，在△ABC中，∠A=∠B=36°，点D在边AB上，∠ACD=2∠BCD,图中共有 个等腰三角形。 第1题图 第3题图 2.下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm)() A.2,3,4 B.3,7,7 C.2,2,6 D.5,6,7 3.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,交 AB于点D,交AC于点E。下列四个结论：①△BDF,△CEF都是等腰三角形；②DE=DB+ CE;③△ADE的周长等于AB+AC;④BF=CF。其中错误的是（) A.① B.② C.③ D.④ 15 口数学 八年级下册（北师大版） 4.在△ABC中，AB=3,AC=5,BC=7,在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分 割成两个三角形，使其中一个三角形是以AB为一边的等腰三角形，则这样的直线最多可画 出() A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，ADLBC,∠ABE=∠CBE。求证：AE=AF。 D 第5题图 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过点D作DE∥AC交AB于点E,连接BD,若 ∠EBD=∠EDB,求证：AB=2DE。 第6题图 能力提升坤综合拓展 7.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E,F分别是边AB,BC,AC上的点，且BD=CE, ∠B=∠DEF。求证：△DEF是等腰三角形。 E 第7题图 8.如图，已知△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E,使CE=CD。 (1)求证：DB=DE。 (2)若BD是△ABC的角平分线或高，(1)中的结论成立吗？请说明理由。 第8题图 三角形的证明及其应用 第一章 9.如图，点D在线段BC上，AD=AB,∠BAD=∠CAE,AD平分∠BDE。求证： (1)△ACE是等腰三角形。 B (2)∠CAE=∠CDE。 E 第9题图 10.如图1，在△ABC中，AB=AC,BC=6,点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点 Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P,Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交 于点D。 (1)求证：PD=DQ。 (2)如图2，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,点P,Q在移动的过程中，线段ED 的长度是否变化？若不变，请求出ED的长；若变化，请说明理由。 0 图1 图2 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2025·威海)我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”。 在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O。下列条件中，不能判断 四边形ABCD是筝形的是()】 A.BO=DO,AC⊥BD B B.∠DAC=∠BAC,AD=AB 第11题图 C.∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA D.∠ADC=∠ABC,BO=DO