第五章 一元一次方程（单元自测·冲刺卷）数学新教材人教版七年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 2．若与能合并，则的值是（     ） A．2001 B．2025 C． D．2026 3．下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 5．如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 6．若关于的方程的解为，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 （   ） A． B． C． D． 8．下列解方程的变形过程正确的是（     ）． A．由移项得 B．由移项得 C．由去分母得 D．由去括号得 9．如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 10．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2是显示部分式子的幻方，则与的关系可以表示为（     ） A． B． C． D． 11．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 12．已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．若，则________． 14．已知关于的方程的解是，则的值为________． 15．若关于x，y的多项式不含项，则_________ 16．阳光小学组织安全知识竞赛，共20题．评分规则是答对一题得10分，答错一题扣5分，弃权不扣分也不得分．芳芳所在小组弃权2题，得了120分，他们答对了( )题． 17．已知线段．点、是线段上的两个动点，点从点出发，点从点出发，两个点同时出发相向而行．如果点的速度为，点的速度为，那么经过________秒时线段的长为． 18．阅读以下内容： 我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便． 类似地，解方程，这个方程的解是________． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）解方程： (1) ； (2)； (3) ． 20．（6分）阅读探究：我们规定：数轴上两点的距离． (1)数轴上表示和两点的距离=______； (2)若，求； (3)求的最小值． 21．（8分）我们规定：对于任意有理数a，把a减去a的绝对值，所得的结果叫做数a的“倍点”，记作，即．例如，． (1)求和的值； (2)若，求的值； (3)小明说：“若两个数的倍点相同，则这两个数一定相等．”请判断这个说法是否正确，并说明理由． 22．（8分）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 23．（8分）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 24．（8分）如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 25．（10分）数学活动：自己动手做一根杆秤 背景 杆秤是中国独立发明的度量物体质量的衡器，是我国古代劳动人民的智慧结晶．一起来了解它的原理并制作一根杆秤． 探究原理 如图，使用杆秤时将重物放在秤钩上，用手提起B处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出重物的质量．其中秤钩质量克，秤砣质量克，重物质量克，秤纽与秤钩的水平距离为x厘米，秤纽与零刻线的水平距离为y厘米，秤砣与零刻线的水平距离为z厘米，根据杠杆平衡条件可得：．    杆秤制作 (1)选材：小组成员找来四种材料，最适合用来制作秤杆的是（     ） A．一根粗细相同的木棒  B．一根可伸缩塑料吸管  C．一根细铁丝  D．一根橡胶软管 (2)制作：①选取（1）材料作秤杆，在秤杆一端选取两点分别刻槽A和槽B，（点A在点B右侧）使得，在槽B处系上绳子作为秤纽，将秤钩固定在槽A处． ②用细线系一个的砝码作秤砣；手提秤纽，若A端向上倾斜，则应将秤砣向 （选填“左”或“右”）移动，使秤杆平衡，如图所示，在秤砣的位置标零刻线，此时，求秤钩的质量．    ③在秤钩处挂500克砝码，手提秤纽，并调节秤砣的位置使秤杆平衡，此时，标记秤砣细线在秤杆上的位置M，并记为500克，，在零刻线到位置M之间均匀地画上49条刻度线，零刻度线左侧第1条刻度线表示10克，第2条刻度线表示20克，以此类推… 杆秤使用 (3)用做好的杆秤称量一个鸡蛋的质量．当秤杆在水平位置平衡时，秤杆上秤砣的挂绳在第6条刻度线，则此鸡蛋的质量为 克． 误差分析 (4) 秤砣经过长时间的使用（因为生锈脱落、磕碰等各种原因），其质量会变轻，此时称重就会产生误差．当质量为180克的重物时，杆秤平衡时读数为190克，则此时这块秤砣现在的质量为 克． 26．（12分）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 【主题】探究月历与幻方的奥秘 【活动一】 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．） 【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）． 【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究． (5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． (6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 2．若与能合并，则的值是（     ） A．2001 B．2025 C． D．2026 3．下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 5．如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 6．若关于的方程的解为，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 （   ） A． B． C． D． 8．下列解方程的变形过程正确的是（     ）． A．由移项得 B．由移项得 C．由去分母得 D．由去括号得 9．如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 10．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2是显示部分式子的幻方，则与的关系可以表示为（     ） A． B． C． D． 11．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 12．已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．若，则________． 14．已知关于的方程的解是，则的值为________． 15．若关于x，y的多项式不含项，则_________ 16．阳光小学组织安全知识竞赛，共20题．评分规则是答对一题得10分，答错一题扣5分，弃权不扣分也不得分．芳芳所在小组弃权2题，得了120分，他们答对了( )题． 17．已知线段．点、是线段上的两个动点，点从点出发，点从点出发，两个点同时出发相向而行．如果点的速度为，点的速度为，那么经过________秒时线段的长为． 18．阅读以下内容： 我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便． 类似地，解方程，这个方程的解是________． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）解方程： (1) ； (2)； (3)． 20．（6分）阅读探究：我们规定：数轴上两点的距离． (1)数轴上表示和两点的距离=______； (2)若，求； (3)求的最小值． 21．（8分）我们规定：对于任意有理数a，把a减去a的绝对值，所得的结果叫做数a的“倍点”，记作，即．例如，． (1)求和的值； (2)若，求的值； (3)小明说：“若两个数的倍点相同，则这两个数一定相等．”请判断这个说法是否正确，并说明理由． 22．（8分）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 23．（8分）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 24．（8分）如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 25．（10分）数学活动：自己动手做一根杆秤 背景 杆秤是中国独立发明的度量物体质量的衡器，是我国古代劳动人民的智慧结晶．一起来了解它的原理并制作一根杆秤． 探究原理 如图，使用杆秤时将重物放在秤钩上，用手提起B处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出重物的质量．其中秤钩质量克，秤砣质量克，重物质量克，秤纽与秤钩的水平距离为x厘米，秤纽与零刻线的水平距离为y厘米，秤砣与零刻线的水平距离为z厘米，根据杠杆平衡条件可得：．    杆秤制作 (1)选材：小组成员找来四种材料，最适合用来制作秤杆的是（     ） A．一根粗细相同的木棒  B．一根可伸缩塑料吸管  C．一根细铁丝  D．一根橡胶软管 (2)制作：①选取（1）材料作秤杆，在秤杆一端选取两点分别刻槽A和槽B，（点A在点B右侧）使得，在槽B处系上绳子作为秤纽，将秤钩固定在槽A处． ②用细线系一个的砝码作秤砣；手提秤纽，若A端向上倾斜，则应将秤砣向 （选填“左”或“右”）移动，使秤杆平衡，如图所示，在秤砣的位置标零刻线，此时，求秤钩的质量．    ③在秤钩处挂500克砝码，手提秤纽，并调节秤砣的位置使秤杆平衡，此时，标记秤砣细线在秤杆上的位置M，并记为500克，，在零刻线到位置M之间均匀地画上49条刻度线，零刻度线左侧第1条刻度线表示10克，第2条刻度线表示20克，以此类推… 杆秤使用 (3)用做好的杆秤称量一个鸡蛋的质量．当秤杆在水平位置平衡时，秤杆上秤砣的挂绳在第6条刻度线，则此鸡蛋的质量为 克． 误差分析 (4)秤砣经过长时间的使用（因为生锈脱落、磕碰等各种原因），其质量会变轻，此时称重就会产生误差．当质量为180克的重物时，杆秤平衡时读数为190克，则此时这块秤砣现在的质量为 克． 26．（12分）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 【主题】探究月历与幻方的奥秘 【活动一】 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．） 【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）． 【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究． (5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． (6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入各选项方程，验证左右两边是否相等即可判断． 【详解】解：将分别代入各选项方程： 选项A：左边，不符合； 选项B：左边右边，符合； 选项C：左边，不符合； 选项D：左边不符合． 2．若与能合并，则的值是（     ） A．2001 B．2025 C． D．2026 【答案】B 【分析】由单项式可合并判断其为同类项，列方程求出m、n的值后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵两个单项式能合并， ∴二者为同类项，相同字母的指数分别相等， ∴，， 解得，， ∴． 3．下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐项判断正误即可． 【详解】解： A．若，不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得，A说法正确，不合题意； B．若，不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得，B说法正确，不合题意； C．若，当时，；当时，，因此不一定成立，C说法错误，符合题意； D 对任意实数，都有，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，D说法正确，不合题意． 4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住总人数不变的等量关系列方程． 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 5．如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 【答案】A 【分析】根据方程的左右两边分别表示笔管和笔斗的数量，结合每根短竹的产量反推的含义即可． 【详解】解：∵每根短竹可制成笔管个， ∴表示笔管的总个数，则表示用于制作笔管的短竹数量， ∵短竹总数为根， ∴表示用于制作笔斗的短竹数量， ∵每根短竹可制成笔斗个， ∴表示笔斗的总个数， ∵个笔管搭配个笔斗，即笔管总数等于笔斗总数， ∴方程符合题意， ∴表示制成笔管的短竹数量． 6．若关于的方程的解为，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将新方程中的看作原方程中的，利用已知原方程的解，建立关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程中，， 解得： ∴的解为． 7．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解法，根据题意利用换元法解题即可． 【详解】解：由题可得， 解得， 故选：B． 8．下列解方程的变形过程正确的是（     ）． A．由移项得 B．由移项得 C．由去分母得 D．由去括号得 【答案】D 【分析】根据一元一次方程变形中的移项、去分母、去括号法则判断即可． 【详解】解：A、由，移项得，原变形错误； B、由，移项得，原变形错误； C、由，去分母时两边同乘10，得，原变形错误； D、由，去括号得，原变形正确． 9．如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和，根据长方形的周长为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形纸片的面积为． 10．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2是显示部分式子的幻方，则与的关系可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中心位置上的数为，根据题意，得， 求解即可． 【详解】解：设中心位置上的数为， 根据题意，得， 整理，得； 故， 故． 11．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题意得出，，然后建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∵在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026， ∴， ∴， 解得． 12．已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先根据多项式加减法则化简和，再逐个验证三个说法的正确性，即可求解． 【详解】解：∵，， 故， ， ， ； ， ， ， ； ①若，即， 解得；故①说法正确． ②， ， ； 若的值与的值无关，则含项的系数为， 即，， 解得，， ∴，故②说法正确． ③， ， ， 整理得， 故， ∴； ∵是正整数，是整数， 故的值可以是、、， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 符合条件的整数的值有个，故③说法正确． 综上，个说法都正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．若，则________． 【答案】4或 【分析】根据绝对值的性质，绝对值等于同一个正数的数有两个，且互为相反数，将原绝对值方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴或， 解方程，得； 解方程，得； 因此或． 14．已知关于的方程的解是，则的值为________． 【答案】 【分析】将代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是， ∴把代入原方程，得：， 整理得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 15．若关于x，y的多项式不含项，则_________ 【答案】 【分析】多项式不含项，说明项的系数为，先化简原多项式，再令项系数为求出，最后代入计算即可． 【详解】解： ∵多项式不含项， ∴项的系数为， 即， 解得， ∴． 16．阳光小学组织安全知识竞赛，共20题．评分规则是答对一题得10分，答错一题扣5分，弃权不扣分也不得分．芳芳所在小组弃权2题，得了120分，他们答对了( )题． 【答案】 【分析】总题量20题，弃权2题，参与评分的题目共18题，设答对题数为，根据得分规则列方程求解即可． 【详解】解：设芳芳所在小组答对了题，则答错了（）题， 根据题意得：， ， ， 答：他们答对了题． 17．已知线段．点、是线段上的两个动点，点从点出发，点从点出发，两个点同时出发相向而行．如果点的速度为，点的速度为，那么经过________秒时线段的长为． 【答案】 或 【分析】分相遇前、相遇后两种情况讨论，设运动时间为秒，根据线段长度关系列方程求解。 【详解】解：设经过秒时线段的长为，分两种情况计算： 当点，相遇前，时， ∵，，， ∴，即， 解得； 当点，相遇后，时， ∵的总长度比多出的长度 ∴， 解得； 综上，经过秒或秒时线段的长为． 18．阅读以下内容： 我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便． 类似地，解方程，这个方程的解是________． 【答案】 【分析】先提取后，根据题目信息拆分方程左边各项，抵消中间项，将原方程化简为一元一次方程求解． 【详解】解： ． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）解方程： (1) ； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先移项，再合并同类项，系数化为，即可作答． （2）先去括号，移项，再合并同类项，系数化为，即可作答． （3）先去分母，去括号，移项，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为，得． （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 20．（6分）阅读探究：我们规定：数轴上两点的距离． (1)数轴上表示和两点的距离=______； (2)若，求； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可解答； （2）解绝对值方程即可解答； （3）当时有最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是； （2）解：， ∴， ∴, 即或； （3）解：当时有最小值， 此时 ． 21．（8分）我们规定：对于任意有理数a，把a减去a的绝对值，所得的结果叫做数a的“倍点”，记作，即．例如，． (1)求和的值； (2)若，求的值； (3)小明说：“若两个数的倍点相同，则这两个数一定相等．”请判断这个说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)0， (2) (3)解：小明的说法不正确．理由如下： 由，得当时，； 当时，； 如，，得， 显然，故小明的说法不正确． 【分析】（1）根据给出的定义，计算求解即可； （2）利用分类思想，建立方程解答即可； （3）通过分类讨论，去绝对值计算说明即可． 【详解】（1）解：根据定义，得，． （2）解：由，得当时，；当时，； ， ， 解得． （3）略 22．（8分）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 【答案】(1)0.5 (2)260度 (3)430度 【分析】（1）根据收费方法，用9月份的电费除以用电量求出a的值即可； （2）设10月份的电量为x度，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小明家8月份的用电量为y度，根据8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：a的值为0.5． （2）解：设小明家10月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴， 依题意得：， 解得：， 答：小明家10月份的用电量为260度． （3）解：设小明家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：， 答：小明家8月份的用电量为430度． 23．（8分）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 【答案】(1)五个数的和是15的5倍 (2) (3)有 (4)十字形框中的五个数之和不能等于2022，能等于2025 【分析】本题考查了探索数字的规律，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加，然后除以5，即可得出结论； （2）根据（1）的结论即可得； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出其余4个数，将这5个数相加即可得解； （4）用2022除以5，得2022不是5的倍数，则十字框中的五数之和不能为2022，用2025除以5，得2025是5的倍数，则可得十字框中的五数之和能为2025． 【详解】（1）解：，即五个数的和是15的5倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数可以表示为： ，，，，则它们的和为； （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，，由题意得，因此这五个数之和还是中间数的5倍； （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵， ∴2022不是5的倍数， ∴5个数的和不能是2022， ∵， ∴2025是5的倍数，且405在第三列， ∴5个数的和能等于2025． 24．（8分）如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)； (2) (3)、、 【分析】本题为数轴动点综合题，需要按照动点Q的运动状态划分三个时间段：Q未出发，Q向右运动未到达点C，Q到达C后折返向左．利用数轴上两点距离等于两数差的绝对值列方程求解，求解后必须检验是否在对应取值范围． 【详解】（1）解：∵数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，， ∴，； （2）解：P表示的数：， 当时，点Q的运动时间为秒，Q未到达点C， Q表示的数：， 两点距离：， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，Q还未出发，Q在点A处， ， 令，得，满足， ②当时，Q向右运动，未折返， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， ③当时，Q到达C后向左折返， Q表示的数：， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， 综上所述，t的值为、、． 25．（10分）数学活动：自己动手做一根杆秤 背景 杆秤是中国独立发明的度量物体质量的衡器，是我国古代劳动人民的智慧结晶．一起来了解它的原理并制作一根杆秤． 探究原理 如图，使用杆秤时将重物放在秤钩上，用手提起B处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出重物的质量．其中秤钩质量克，秤砣质量克，重物质量克，秤纽与秤钩的水平距离为x厘米，秤纽与零刻线的水平距离为y厘米，秤砣与零刻线的水平距离为z厘米，根据杠杆平衡条件可得：．    杆秤制作 (1)选材：小组成员找来四种材料，最适合用来制作秤杆的是（     ） A．一根粗细相同的木棒  B．一根可伸缩塑料吸管  C．一根细铁丝  D．一根橡胶软管 (2)制作：①选取（1）材料作秤杆，在秤杆一端选取两点分别刻槽A和槽B，（点A在点B右侧）使得，在槽B处系上绳子作为秤纽，将秤钩固定在槽A处． ②用细线系一个的砝码作秤砣；手提秤纽，若A端向上倾斜，则应将秤砣向 （选填“左”或“右”）移动，使秤杆平衡，如图所示，在秤砣的位置标零刻线，此时，求秤钩的质量．    ③在秤钩处挂500克砝码，手提秤纽，并调节秤砣的位置使秤杆平衡，此时，标记秤砣细线在秤杆上的位置M，并记为500克，，在零刻线到位置M之间均匀地画上49条刻度线，零刻度线左侧第1条刻度线表示10克，第2条刻度线表示20克，以此类推… 杆秤使用 (3)用做好的杆秤称量一个鸡蛋的质量．当秤杆在水平位置平衡时，秤杆上秤砣的挂绳在第6条刻度线，则此鸡蛋的质量为 克． 误差分析 (4)秤砣经过长时间的使用（因为生锈脱落、磕碰等各种原因），其质量会变轻，此时称重就会产生误差．当质量为180克的重物时，杆秤平衡时读数为190克，则此时这块秤砣现在的质量为 克． 【答案】(1)A (2)右，10克 (3)60 (4) 【分析】（1）根据制作秤杆的基本要求即可解答； （2）根据秤杆的原理和题中公式即可求解； （3）根据（2）③中的要求和题意即可解答； （4）设此时秤砣质量为克，根据杠杆平衡公式求解即可； 【详解】（1）解：制作秤杆需要材料硬度适中、不易变形，能保持形状稳定： A. 粗细均匀的木棒满足要求； B. 可伸缩塑料吸管长度会变化，导致刻度不准； C. 细铁丝易弯折变形； D. 橡胶软管柔软无法保持直杆状态； 因此选A． （2）解：方向判断：支点是秤纽B，A（挂秤钩端）在B右侧，A端向上倾斜说明左侧（秤砣侧）力矩更大，需要减小秤砣的力臂，因此应将秤砣向右移动； 求秤钩质量：标零刻线时不挂重物，则，秤砣在零刻线，， 代入题目给的杠杆公式：， 代入，，， 得：， 解得， 即秤钩的质量为10克； （3）解：根由题意：对应，均匀刻度下，零刻线左侧每1条刻度对应，因此第6条刻度对应质量为， 故此鸡蛋的质量为60克； （4）解：实际重物克，读数克，对应， 设此时秤砣质量为克， 则， 解得：（克）． 26．（12分）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 【主题】探究月历与幻方的奥秘 【活动一】 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．） 【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）． 【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究． (5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． (6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据月历中同一列相邻两数相差7求解； （2）根据月历中同一列相邻两数相差7求解； （3）根据图5第二列求出幻和，利用幻和列方程求解； （4）表示出9个数的和，求出幻和，利用第二行和等于幻和列方程求解； （5）利用三阶幻方的性质求解； （6）设中心数为，利用第三行和等于第三列和求出右上角的数，再利用副对角线和等于幻和求出中心数，进而求出和； 【详解】（1）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ； （2）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ； （3）解：图5中第二列三个数之和为， 幻方中每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都等于30， 由图5可知，第一行， 解得， 主对角线， 解得； （4）解：这9个数分别为， 它们的和为， 幻和为， 由图6可知，第二行， 解得； （5）解：设中心数为， ， ， ； （6）解：设中心数为，则幻和为，设右上角的数为， 第三行的和等于第三列的和， ， 解得， 副对角线上的三个数之和等于幻和， ， 解得， 幻和为， ，解得， 主对角线上的三个数之和等于幻和， ，解得， ． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·冲刺卷（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B C B A A B D A A B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 4或 14. 15. 16. 17. 18. 三、解答题（共8小题，共66分） 19.【详解】（1）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为，得．(2分) （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得．(4分) （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得．(6分) 20.【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是；(1分) （2）解：， ∴， ∴, 即或；(3分) （3）解：当时有最小值， 此时 ．(6分) 21.【详解】（1）解：根据定义，得，．(2分) （2）解：由，得当时，；当时，； ， ， 解得．(4分) (3)解：小明的说法不正确．理由如下： 由，得当时，； 当时，； 如，，得， 显然，故小明的说法不正确．(8分) 22.【详解】（1）解：， 答：a的值为0.5．(1分) （2）解：设小明家10月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴，(2分) 依题意得：， 解得：， 答：小明家10月份的用电量为260度．(4分) （3）解：设小明家8月份的用电量为y度， 依题意得：，(6分) 解得：， 答：小明家8月份的用电量为430度．(8分) 23.【详解】（1）解：，即五个数的和是15的5倍；(2分) （2）解：设中间数为a，则其余的4个数可以表示为： ，，，，则它们的和为；(4分) （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，，由题意得，因此这五个数之和还是中间数的5倍；(6分) （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵， ∴2022不是5的倍数， ∴5个数的和不能是2022， ∵， ∴2025是5的倍数，且405在第三列， ∴5个数的和能等于2025．(8分) 24.【详解】（1）解：∵数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，， ∴，；(1分) （2）解：P表示的数：， 当时，点Q的运动时间为秒，Q未到达点C， Q表示的数：， 两点距离：， ∵， ∴， ∴；(3分) （3）解：①当时，Q还未出发，Q在点A处， ， 令，得，满足，(5分) ②当时，Q向右运动，未折返， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足，(6分) ③当时，Q到达C后向左折返， Q表示的数：， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， 综上所述，t的值为、、．(8分) 25.【详解】（1）解：制作秤杆需要材料硬度适中、不易变形，能保持形状稳定： A. 粗细均匀的木棒满足要求； B. 可伸缩塑料吸管长度会变化，导致刻度不准； C. 细铁丝易弯折变形； D. 橡胶软管柔软无法保持直杆状态； 因此选A．(2分) （2）解：方向判断：支点是秤纽B，A（挂秤钩端）在B右侧，A端向上倾斜说明左侧（秤砣侧）力矩更大，需要减小秤砣的力臂，因此应将秤砣向右移动； 求秤钩质量：标零刻线时不挂重物，则，秤砣在零刻线，， 代入题目给的杠杆公式：， 代入，，， 得：， 解得， 即秤钩的质量为10克；(5分) （3）解：根由题意：对应，均匀刻度下，零刻线左侧每1条刻度对应，因此第6条刻度对应质量为， 故此鸡蛋的质量为60克；(7分) （4）解：实际重物克，读数克，对应， 设此时秤砣质量为克， 则， 解得：（克）．(10分) 26.【详解】（1）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ；(1分) （2）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ；(2分) （3）解：图5中第二列三个数之和为， 幻方中每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都等于30， 由图5可知，第一行， 解得，(3分) 主对角线， 解得；(4分) （4）解：这9个数分别为， 它们的和为， 幻和为， 由图6可知，第二行， 解得；(6分) （5）解：设中心数为， ， ， ；(8分) （6）解：设中心数为，则幻和为，设右上角的数为， 第三行的和等于第三列的和， ， 解得，(9分) 副对角线上的三个数之和等于幻和， ， 解得，(10分) 幻和为， ，解得， 主对角线上的三个数之和等于幻和， ，解得， ．(12分) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $