第3章 一次方程与方程组（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一次方程与方程组单元提升卷，通过文化情境（清代贡瓜问题）、生活实际（阶梯电价、轮胎换位）及数学思想（整体转化）的梯度设计，适配单元复习，强化模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二元一次方程定义、解法、应用题|结合清代档案等文化情境，考查抽象能力| |填空题|4/20|解的意义、利润问题、图形规律|以叠放纸杯等图形问题，培养几何直观| |解答题|9/90|方程组综合、阶梯电价、轮胎优化、变式探究|通过轮胎换位等实际问题，强化模型意识与运算能力，体现整体转化思想|

第三章 一次方程与方程组（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C B D A A A A D C 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．7 12．480元 13．56 14． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 16．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将①代入②，得， 解得 将代入①，得 ∴原方程组的解为； （2）解：整理方程组，得 ，得，解得 将代入②，得 ∴原方程组的解为． 17．【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与有相同的解， ∴联立方程组，得 ①②，得， 解得，              把代入①，得， 解得， ∴这两个方程组的相同解为； （2）解：把，代入方程组， 得， ④，得， 解得，       把代入④，得， 解得． 18．【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 19．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ，， ； （2） ， ， 是方程的解， ， ； （3）， 的值与a的取值无关， ， ． 20．【答案】(1)8；0.7 (2) (3)或 【详解】（1）解：由题意可得，由图2可得， 数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的实际长度； （2）解：依题意有， 解得， 即数轴上点B所对应的数b为； （3）解：设点Q所表示的数是x， ①当Q在延长线上时， ， 解得， ②当Q在之间时， ， 解得， 综上所述点Q表示的数为或． 21．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，， ， 解得：； （2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要个小长方形， ， 整数解为：或或或， ， 的最大值为． 22．【答案】(1) (2)应在汽车行驶万公里时交换，轮胎报废时总行驶里程为万公里 (3)定期换位使每个轮胎作为前轮和后轮行驶的里程相等，最终所有轮胎同时报废，最大总里程为万公里 【详解】（1）解：已知总胎纹厚度为1，后轮8万公里报废，可得后轮1万公里磨耗厚度为； （2）解：设行驶万公里时交换轮胎，交换后再行驶万公里两对轮胎同时报废， 由题意，原前轮交换后做后轮，总磨损量为1，得：， 原后轮交换后做前轮，总磨损量为1，得：， 整理得方程组：， 解得， 答：应在行驶万公里时交换，总行驶里程为万公里； （3）解：设总行驶里程为S万公里． 每行驶1万公里，两个前轮总磨损为，两个后轮总磨损为， 则每万公里总磨损为． 当所有轮胎同时报废时总里程最大，5个轮胎总最大磨损为， 可得：， 解得， 答：安排换位使每个轮胎作为前轮和后轮行驶的里程相等，最终同时报废，最大总里程为万公里． 23．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：将代入，得 得 ∴ 将代入得 ∴ ∴． （2）根据题意可知，方程组的解是 根据题意，令， ∴新的方程组为，新方程组的解为 ∴     解得． （3）根据题意可知，方程组的解是 将所求方程组变形得 令，得方程组，该方程组和原方程组解相同 ∴即     ∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一次方程与方程组（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程的定义：方程为整式方程，含有两个未知数，且所有含未知数的项的次数均为1，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合要求． B. 中是分式，该方程不是整式方程，不符合要求． C. 只含有1个未知数，且未知数的最高次数为2，是一元二次方程，不符合要求． D. 是整式方程，含有、两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程的定义． 2．将方程去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出两个分母的最小公倍数，再给方程左右两边每一项同时乘该最小公倍数，化简后对比选项得到结果． 【详解】解：∵原方程为，两个分母分别为和，二者的最小公倍数是， ∴给方程左右两边同时乘以去分母，得：， 化简得． 3．若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程， 得， 即， 解得． 4．若方程组的解为，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过换元，令，，利用已知方程组的解得到关于的方程，分别求解后选出对应选项． 【详解】解：设 ∵ ∴，， 解得，， ∴方程组的解为． 5．清代宫廷档案中有这样一个问题：“士人携钱入市购贡瓜．若购四瓜，则余钱四百八十文；若购六瓜，则不足三百二十文．瓜价恒定，问一瓜值几何？”意思是：有一位读书人带钱去集市购买贡瓜．如果买4个瓜，身上还剩余480文钱；如果买6个瓜，身上还差320文钱，每个瓜的单价不变，请问一个瓜价值多少文？设每个瓜售价为x文，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用读书人携带的总钱数不变作为等量关系，分别用两种购买情况表示总钱数，即可列出方程． 【详解】解：每个瓜售价为文，读书人携带的总钱数固定，则总钱数可表示为文，总钱数可表示为文， ∵总钱数相等， ∴可列方程． 6．若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】从二元一次方程“二元”“一次”的核心特征入手，列关于的关系式求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且， 由得， 解得或， 由，得， ∴． 7．已知二元一次方程组，则的值为（     ）． A．2 B．-2 C．20 D．4 【答案】A 【分析】将两个方程直接相减得到所求的值． 【详解】解： ， 用式减去式：对左边计算得 对右边计算得 ． 8．土家女儿会上，绣球与香囊是特色互动道具．在重量相同的两个篮子里，分别放置6个绣球和7个香囊后重量仍相等，交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻．设每个绣球重，每个香囊重，则所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“6个绣球的总重量等于7个香囊的总重量”、“交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻”，分别列出方程，对比选项得到正确答案． 【详解】解：由6个绣球的总重量等于7个香囊的总重量，可得方程． 由交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻得， 因此所列方程组为． 9．用现代高等数学的符号可以将方程组的各项系数排成一个表这种由数列排成的表叫做矩阵。矩阵表示x，y，z为未知数的三元一次方程组，若为定值，则m与t的关系式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是根据矩阵定义写出方程组，再凑出目标式，根据定值要求得到z的系数关系，即可推得与的关系式. 【详解】解：根据题意，可得三元一次方程组为：，其中为常数. 将第一个方程两边乘2，再加上第二个方程，得： 整理得： 为定值，即的系数为， . 10．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，再由长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， 阴影部分的总面积为：． 故选：C． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．若方程组的解为，则被“”遮挡的数是____________． 【答案】7 【详解】解：先把代入方程得， 解得：， ∴， 即被“”遮挡的数是． 12．某种商品按照的利润定价，然后又按九折出售，结果赚了32元，该商品的定价是______． 【答案】 480元 【分析】以32元利润对应的成本百分率为突破口，先求成本，再计算定价； 【详解】解：设该商品的成本为元， ∵商品按的利润定价， ∴定价为元， ∵按九折出售， ∴实际售价为元， ∵实际获利32元， ∴，解得， ∴定价为（元）， 答：这一商品的定价是480元． 13．如图，小红把相同的纸杯竖直整齐地叠放在一起，根据图中的信息，个纸杯叠放后的总高度为，个纸杯叠放后的总高度为．若按此方式把个纸杯叠放在一起，则总高度为______． 【答案】 【分析】设个纸杯的高度是，每增加个纸杯，增加的高度是，列方程组求出每个纸杯的高度是，每增加个纸杯，增加的高度是，即可求出把个纸杯叠放在一起的总高度． 【详解】解：设个纸杯的高度是，每增加个纸杯，增加的高度是， 根据题意可得：， 解得：， 每个纸杯的高度是，每增加个纸杯，增加的高度是， 个纸杯的高度为． 14．设有个数，，，，它们每个数的值只能取，，三个数中的一个，且满足，，则______． 【答案】 【分析】设个数中含有个，个，由题意列方程组求出的值，进而代入代数式计算即可求解． 【详解】解：设个数中含有个，个， ∵不影响计算结果， ∴由题意得，， 解得， ∴． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 16．（8分）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：将①代入②，得， 解得 将代入①，得 ∴原方程组的解为； （2）解：整理方程组，得 ，得，解得 将代入②，得 ∴原方程组的解为． 17．（8分）已知关于，的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）因为两个方程组有相同的解，所以这个解同时满足两个不含参数的方程和，将这两个方程联立组成新的方程组，求解即可得到相同的解． （2）把求得的相同解代入另外两个含参数的方程和，得到关于的二元一次方程组，求解该方程组即可得到的值． 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与有相同的解， ∴联立方程组，得 ①②，得， 解得，              把代入①，得， 解得， ∴这两个方程组的相同解为； （2）解：把，代入方程组， 得， ④，得， 解得，       把代入④，得， 解得． 18．（8分）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 19．（10分）已知：， (1)求的值（结果用化简后含a、b的式子表示）； (2)在（1）的条件下，若是方程的解，求a的值； (3)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据多项式的加减法则，计算即可； （2）根据方程解的定义，把解代入得，求解即可； （3）先计算，根据题意，可得含a的项的系数为0，即，求解即可． 【详解】（1）解： ，， ； （2） ， ， 是方程的解， ， ； （3）， 的值与a的取值无关， ， ． 20．（10分）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字1对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的________； (2)求数轴上点B所对应的数b； (3)在图1的数轴上，点Q是直线上一点，满足，求点Q所表示的数． 【答案】(1)8；0.7 (2) (3)或 【分析】（1）用右边点表示的数减去左边点表示的数即可得到线段的长度，从尺子上读出线段实际长度除以对应的长度单位，即可求出一个长度单位对应实际的长度． （2）从尺子读出的实际长度，再结合（1）中的结论列方程计算即可． （3）右边点表示的数减去左边点表示的数即可得到线段的长度，结合，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，由图2可得， 数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的实际长度； （2）解：依题意有， 解得， 即数轴上点B所对应的数b为； （3）解：设点Q所表示的数是x， ①当Q在延长线上时， ， 解得， ②当Q在之间时， ， 解得， 综上所述点Q表示的数为或． 21．（12分）如图，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．如图，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 现有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)若，求，，的值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据标准卡纸总数求出小正方形数量，再结合竖式、横式纸盒用料列出二元一次方程组，解方程组得到、的值； （2）根据剪裁总量建立小长方形、小正方形数量与纸盒个数的等式，整理得到关于的二元一次方程，求出所有非负整数解，通过计算各组解中的数值，确定最大值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 解得：； （2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要个小长方形， ， 整数解为：或或或， ， 的最大值为． 22．（12分）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮胎纹的磨损程度比后轮严重．资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到万公里时报废．假设在轮胎的使用寿命内，同一位置（前轮或后轮）轮胎胎纹每公里的磨损率是一样的． 如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前、后轮的轮胎换位的建议（即定期将前、后轮胎互换）．若小汽车交换前、后轮胎后，能行驶到前、后轮胎同时报废，此时小汽车行驶总里程最大，轮胎的使用效率也最高． (1)设轮胎出厂胎纹厚度为，则前轮万公里胎纹磨耗厚度为，后轮万公里胎纹磨耗厚度为 ； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程； (3)假设该小汽车在开始使用时，车上安装的个轮胎以及后备箱中的个备用轮胎均为同规格的全新轮胎．为了提高轮胎利用率，允许将这个轮胎通过不定期换位轮流使用（任何时候车上仍有个轮胎在运行）．应如何安排换位方案，才能使小汽车利用这个轮胎行驶的总里程最大？最大里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2)应在汽车行驶万公里时交换，轮胎报废时总行驶里程为万公里 (3)定期换位使每个轮胎作为前轮和后轮行驶的里程相等，最终所有轮胎同时报废，最大总里程为万公里 【分析】（1）根据后轮总使用寿命和总胎厚计算每万公里磨损量； （2）设换胎前后行驶里程，根据两个轮胎总磨损均为1列二元一次方程组求解； （3）计算每万公里总磨损量，结合5个轮胎总最大磨损计算最大总里程，得到最优换位方案． 【详解】（1）解：已知总胎纹厚度为1，后轮8万公里报废，可得后轮1万公里磨耗厚度为； （2）解：设行驶万公里时交换轮胎，交换后再行驶万公里两对轮胎同时报废， 由题意，原前轮交换后做后轮，总磨损量为1，得：， 原后轮交换后做前轮，总磨损量为1，得：， 整理得方程组：， 解得， 答：应在行驶万公里时交换，总行驶里程为万公里； （3）解：设总行驶里程为S万公里． 每行驶1万公里，两个前轮总磨损为，两个后轮总磨损为， 则每万公里总磨损为． 当所有轮胎同时报废时总里程最大，5个轮胎总最大磨损为， 可得：， 解得， 答：安排换位使每个轮胎作为前轮和后轮行驶的里程相等，最终同时报废，最大总里程为万公里． 23．（14分）解答题 (1)【课本回顾】已知关于，的二元一次方程组解为，求，的值． 【变式练习】邹老师在课堂上对该题进行了变式： 已知关于，的二元一次方程组解为， 那么关于，的二元一次方程组的解是什么？ 小毛和小叶同学的做法如下： Ⅰ小毛：先把代入第一个方程组中求出，；再把，的值代入第二个方程组中求出它的解． Ⅱ小叶：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数换成，未知数换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． 邹老师对两位同学进行表扬，并指出小叶的思路体现了数学中“整体思想”、“转化思想”等的运用． 【解决问题】请你参考小毛或小叶的做法，解决下面的问题： (2)已知方程组的解是，求方程组的解． (3)已知关于，的方程组的解是，求关于，的方程组的解．（其中、、、都为常数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入方程组解直接计算即可． （2）利用换元法解方程组即可． （3）利用换元法解方程组即可． 【详解】（1）解：将代入，得 得 ∴ 将代入得 ∴ ∴． （2）根据题意可知，方程组的解是 根据题意，令， ∴新的方程组为，新方程组的解为 ∴     解得． （3）根据题意可知，方程组的解是 将所求方程组变形得 令，得方程组，该方程组和原方程组解相同 ∴即     ∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一次方程与方程组（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将方程去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 4．若方程组的解为，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 5．清代宫廷档案中有这样一个问题：“士人携钱入市购贡瓜．若购四瓜，则余钱四百八十文；若购六瓜，则不足三百二十文．瓜价恒定，问一瓜值几何？”意思是：有一位读书人带钱去集市购买贡瓜．如果买4个瓜，身上还剩余480文钱；如果买6个瓜，身上还差320文钱，每个瓜的单价不变，请问一个瓜价值多少文？设每个瓜售价为x文，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 7．已知二元一次方程组，则的值为（     ）． A．2 B．-2 C．20 D．4 8．土家女儿会上，绣球与香囊是特色互动道具．在重量相同的两个篮子里，分别放置6个绣球和7个香囊后重量仍相等，交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻．设每个绣球重，每个香囊重，则所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 9．用现代高等数学的符号可以将方程组的各项系数排成一个表这种由数列排成的表叫做矩阵。矩阵表示x，y，z为未知数的三元一次方程组，若为定值，则m与t的关系式（     ） A． B． C． D． 10．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．若方程组的解为，则被“”遮挡的数是____________． 12．某种商品按照的利润定价，然后又按九折出售，结果赚了32元，该商品的定价是______． 13．如图，小红把相同的纸杯竖直整齐地叠放在一起，根据图中的信息，个纸杯叠放后的总高度为，个纸杯叠放后的总高度为．若按此方式把个纸杯叠放在一起，则总高度为______． 14．设有个数，，，，它们每个数的值只能取，，三个数中的一个，且满足，，则______． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）解方程 (1) (2) 16．（8分）解方程组： (1)； (2)． 17．（8分）已知关于，的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求，的值． 18．（8分）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 19．（10分）已知：， (1)求的值（结果用化简后含a、b的式子表示）； (2)在（1）的条件下，若是方程的解，求a的值； (3)若的值与a的取值无关，求b的值． 20．（10分）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字1对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的________； (2)求数轴上点B所对应的数b； (3)在图1的数轴上，点Q是直线上一点，满足，求点Q所表示的数． 21．（12分）如图，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．如图，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 现有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)若，求，，的值； (2)求的最大值． 22．（12分）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮胎纹的磨损程度比后轮严重．资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到万公里时报废．假设在轮胎的使用寿命内，同一位置（前轮或后轮）轮胎胎纹每公里的磨损率是一样的． 如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前、后轮的轮胎换位的建议（即定期将前、后轮胎互换）．若小汽车交换前、后轮胎后，能行驶到前、后轮胎同时报废，此时小汽车行驶总里程最大，轮胎的使用效率也最高． (1)设轮胎出厂胎纹厚度为，则前轮万公里胎纹磨耗厚度为，后轮万公里胎纹磨耗厚度为 ； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程； (3)假设该小汽车在开始使用时，车上安装的个轮胎以及后备箱中的个备用轮胎均为同规格的全新轮胎．为了提高轮胎利用率，允许将这个轮胎通过不定期换位轮流使用（任何时候车上仍有个轮胎在运行）．应如何安排换位方案，才能使小汽车利用这个轮胎行驶的总里程最大？最大里程是多少万公里？ 23．（14分）解答题 (1)【课本回顾】已知关于，的二元一次方程组解为，求，的值． 【变式练习】邹老师在课堂上对该题进行了变式： 已知关于，的二元一次方程组解为， 那么关于，的二元一次方程组的解是什么？ 小毛和小叶同学的做法如下： Ⅰ小毛：先把代入第一个方程组中求出，；再把，的值代入第二个方程组中求出它的解． Ⅱ小叶：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数换成，未知数换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． 邹老师对两位同学进行表扬，并指出小叶的思路体现了数学中“整体思想”、“转化思想”等的运用． 【解决问题】请你参考小毛或小叶的做法，解决下面的问题： (2)已知方程组的解是，求方程组的解． (3)已知关于，的方程组的解是，求关于，的方程组的解．（其中、、、都为常数） 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $