第四章 整式的加减（单元自测·冲刺卷）数学新教材人教版七年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第四章整式的加减冲刺卷（参考答案) 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D 小 B 不 A A A C A 二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.-15 14.215.4 16.-1*14n-1x2n17.3n+2 18.113 8322 三、解答题（共8小题，共66分） 19.【详解】解：3a2b-2ab2-1-22a2b-3ab+1 =3ab-6ab2-3-4a2b+6ab2+1 =-a2b-2,(3分) 当a=2,b=-1时， 原式=-22×-1-2 =-4×-1-2 =4-2 =2.(6分) 20.【详解】(1)解：a=-a,ac=ac,a+b>0, .a<0,c<0,b>0,1分) .∵a<c, ∴.a>c, 则c<a<0<b;(3分) a、b、c填入括号内略： (2)解：由题可知，c<a<0<b,a<c<b, ∴.x=-(a-b--c-bl+|a-c=-a+b+c-b+a-c+3=3:(5分) 1/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .原式=2×32-3×3+5=14.(6分) 21.【详解】解：，长方形的长和宽的比为3：2，长方形的长为04m ∴长方形的宽为15m,1分) 所需材料的长度=4×2×0.4+9×4+0.4π+0.4 15 =3.2+2.4+0.4π+0.4 =0.4π+6m:(2分) .长方形的长和宽的比为3：2，长方形的长为0.5m, 长方形的宽为亏m, 所需材料的长度=4×2×0.5+9×号+0.5π+0.5， 3 =4+3+0.5π+0.5， =0.5π+7.5m;(4分) .长方形的长和宽的比为3：2，长方形的长为0.6m, ∴.长方形的宽为0.4m, 所需材料的长度=4×2×0.6+9×0.4+0.6π+0.6 =4.8+3.6+0.6π+0.6 =0.6π+9m;(6分) .长方形的长和宽的比为3：2，长方形的长为am, 2 长方形的宽为与am, 所需材料的长度=4×2a+9× 3a+0+a =8a+6a+a+a =n+15am(8分) 22.【详解】解：根据题意得，2A-B=2x2-14xy-5y2 .2A=B+2x2-14Xy-5y2 =2x2+2xy+y2+2x2-14xy-5y2 2/6 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =4x-12y-4y24分 ·A=2x2-6xy-2y2, A-2B=2X-6xy-2y-22X+2y+y] =2x2-6Xy-2y2-4x2-4y-2y2 =-2x2-10Xy-4y2.(8分) 23.【详解】(1)解：3(a-b6-5(a-b°+7(a-b° =3-5+7(a-b)6 =5(a-b6(2分) (2)解：x2-2y=3, 3x2-7y+21+y =3x2-6y+21 =3x2-2y+21 =3×3+21 =306分) (3)a-2b=2,2b-c=-5,c-d=9, ∴.a-c+2b-d-2b-c =a-c+2b-d-2b+c =a-2b+(2b-c)+(c-d) =2-5+9 =68分) 24.【详解】(1)解：4a+3b-3a+4b =4a+3b-3a-4b =a-b,(1分) a-b>0 3/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .4a+3b-3a+4b>0, ∴.4a+3b>3a+4b:(2分) (2)解：2x2-x+1-x2-x-3 =2x2-x+1-x2+x+3 =x2+4,3分) :x2≥0， .x+4≥4>0， 2x2-x+1-(x2-x-3)>0' .2x2-x+1>x2-x-3:(5分) (3)解：A-B 2m+2m3n-3号m+n 1 12 3 2 "gn =2m+2m-3n2- =m-n,(7分) m-n2<-2<0, .A-B<0, .A<B.(8分) 25.【详解】(1)解：由题意得基地宽度为b,每间隔d米划分一个灌溉区域， “总区域数为 b 边界AD不需要安装支管道， b 需要的支管道总条数n日：（亿分） (2)解：.a=18,b=30,d=3, n=30=10,6分) 3 ∴.所有支管道的总长度为10a=10×18=180(米)(4分) (3)①由题意得主管道共有AB+CD=2b米，所需成本为2b×20=40b(元)， 4/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 支管道共有an米，所需成本为an×10=10an(元)，所需固定装置成本为5×2n=10n(元)， 、b :n=d' .C=40b+10an+10n, =40b+10a b+10 b d =40b+10ba+1j d 三：(7分) ②当a=18,b=30,d=2时， C=40×30+ 10×3018+1 2 =1200+2850, =4050, .4050>3160,超出了给定总预算， ∴.支管道间距d不可以是2；(10分) 26【详解】（1)解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层：多层依次外伸时，第1块相对 第2块最多伸1，第2块相对第3块最多伸1，第3块相对第4块最多伸二1，…，第n块相对下一块最多 6 只推积木0至最远：①相对②最多延伸1， 再固定①②推②：①②总质量为2m,②相对③最多延伸2×2 再叠加①相对②的，总延伸=1+1=3， 2 244 再固定①2②推③：①②2总质量为3m,相对④最多延伸×31= 6 总延伸=1+ 1+1= 1, 11 4612 :(3分) 故答案为： 5/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：同定①，推②至最远：②相对③最多佛，①限有②一起外弹，总延伸 固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远， 设③相对④向右伸出X3,支撑边界为④的右端， 各块重心坐标（以④右端为0，向右为正）： ①x3+x22 1-=x3 x3+22 ②同①，为X3, ⑧x32 三块总重心等于0（临界平衡）： m3+m·X3+mX32二0 3m 30 解得x5分) 总延伸长度（最右端超出④的总长） =1+1=31+l_21 X2+x3F2 663 (8分) （3)解：1.积木①先延伸子（相对®超出子，再园定①②推@： 4 设②相对③最远可伸x, 由题意得 xmx-0 m 解得x=3r 8 1.31_51 所以①2组合总延伸：4+8=8：10分) 2,再固0②推3：①②2点质量为3m,⑧相对下层最远可伸文3上 总延伸： 51+21=15+41=191.12分 862424 6/6 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第四章 整式的加减·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列选项中是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．已知数a满足，那么（     ） A． B． C．或 D．或 3．某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（     ） A．359 B．360 C．361 D．362 4．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 5．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 6．下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，是本月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（    ）. A．24 B．43 C．57 D．69 8．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 9．多项式的值与x，y的取值无关、则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2026 D．－2026 10．已知，，，则（    ）．（用含，的代数式表示） A． B． C． D． 11．已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y．若，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（   ） A．16 B．25 C．36 D．64 12．对两个整式，，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作，…下列说法：①；②若，则；③若，则不存在正整数，使得是的倍数．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．已知，则代数式的值为________． 14．若，则___． 15．若多项式是关于的二次二项式，则________． 16．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 17．如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个． 18．规定一个四位数（，，，均为整数，且），若，，则称这个数是“义渡数”，将一个“义渡数”千位和百位上的数字组合成一个两位数，十位和个位上的数字组合成一个两位数，设，则_____________；若能被7整除，则满足要求的的最大值与最小值的差为_____________． 3、 解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）先化简，再求值：，其中，． 20．（6分）已知，且满足，，，. (1)请将、、填入下列括号内； (2)若，试求的值. 21．（8分）如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与宽的比为．如果长方形的长分别为、、等，那么窗框所需材料的长度分别是多少？如果长方形的长为呢？ 22．（8分）某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 23．（8分）【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 24．（8分）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 25．（10分）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 26．（12分）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第四章 整式的加减·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列选项中是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】同类项需满足所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、与所含字母相同，但是字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意； B、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母均为，且的指数均为1，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意． 2．已知数a满足，那么（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义，分情况讨论a的取值范围． 【详解】解：当时，，不满足； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 综上，或． 3．某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（     ） A．359 B．360 C．361 D．362 【答案】B 【分析】设甲、乙机器人数量为正整数x、y，用x、y表示A、B零件总数a、b，推导是9的倍数，从选项中选9的倍数． 【详解】解：设生产甲机器人和乙机器人的数量分别为x，y， 则，， ，一定是9的倍数， 359、361、362不能被9整除，只有360能被9整除， 则的值可能为360． 4．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴判断 a，b，c 的正负性及绝对值内代数式的符号，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴，得 ∴， ∴ ． 5．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变． 【详解】解：对第一个因式变形：， 第一个括号内应填； 对第二个因式变形：， 第二个括号内应填； 综上所述，括号内依次填入和． 6．下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解． 【详解】解：∵ 对选项A，，∴A错误． ∵ 对选项B，，∴B正确． ∵ 对选项C，，∴C错误． ∵ 对选项D，，∴D错误． 7．如图所示，是本月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（    ）. A．24 B．43 C．57 D．69 【答案】B 【详解】分别求出圈出的是一横行、圈出的是一竖行三个数的和，进而判断即可． 【解答】解：若圈出的是一横行，则相邻的数相差1，设中间的数为x，那么其他两个数为，，则三个数的和为； 若圈出的是一竖行，则相邻的数相差7，设中间的数为x，那么其他两个数为，，则三个数的和为； 由此可知三个数的和为3的倍数， 答案中只有43不是3的倍数． 8．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∴ ． 9．多项式的值与x，y的取值无关、则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2026 D．－2026 【答案】A 【分析】先合并同类项，再根据多项式的值与x、y取值无关得出对应项系数为0，求出m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ∵多项式的值与x、y的取值无关， ∴，， 解得：，， ∴． 10．已知，，，则（    ）．（用含，的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质，用含k，b的式子表示出，用含t，b的式子表示出，再根据用含k，t的式子表示出b，进而即可求解． 【详解】解： ，， ，， ， ， ， ， 故选A． 11．已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y．若，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（   ） A．16 B．25 C．36 D．64 【答案】C 【分析】设两位数，则，则都为正整数，，，那么得到，因为c是某整数，而且是9的倍数，进一步得到或即可作答． 【详解】解：依题意，设两位数，则， 则都为正整数，，， ∵d是某个整数的平方， ∴可设， ∴， ∴是9的倍数， 又∵c是某整数，，， ∴是正整数， ∴或， 当时，， 当时，， 综上，d的值为9或36． 12．对两个整式，，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作，…下列说法：①；②若，则；③若，则不存在正整数，使得是的倍数．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照操作顺序逐步计算，再分别判断每个说法即可得到结论． 【详解】解：，， ， ， ，故①错误； 由操作规律可知，时，若为奇数，则， 是奇数， ，若，则， ， 不一定为， ，故②错误； 若，则，， 计算可得：， 是的倍数，即存在满足条件，故③错误； 综上，三个说法都错误，正确的个数是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】将所求代数式变形，得到含的式子，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 14．若，则___． 【答案】2 【分析】根据绝对值的性质，在给定范围内去掉绝对值符号进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 15．若多项式是关于的二次二项式，则________． 【答案】 【分析】根据二次二项式的定义，最高次数为，且多项式只含两项，据此确定和的值，再计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 16．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 【答案】 【分析】分别从符号、系数绝对值、的指数三个部分分析变化规律，整合得到第个单项式． 【详解】解：将单项式拆分为符号、系数、的指数三部分分别找规律： （1）符号规律：第奇数个单项式符号为正，第偶数个单项式符号为负，因此符号可表示为； （2）系数绝对值规律：给出的系数绝对值依次为，相邻两数差为，可得第个系数的绝对值为； （3）的指数规律：给出的指数依次为，可得第个单项式中的指数为； 整合三部分可得，第个单项式为． 17．如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个． 【答案】 【详解】解：第个图案中，黑色六边形的数量为个； 白色六边形：第1个有个， 第2个有个， 第3个有个， 可得第个图案中白色六边形数量为个； ∴白色六边形比黑色六边形多：个． 18．规定一个四位数（，，，均为整数，且），若，，则称这个数是“义渡数”，将一个“义渡数”千位和百位上的数字组合成一个两位数，十位和个位上的数字组合成一个两位数，设，则_____________；若能被7整除，则满足要求的的最大值与最小值的差为_____________． 【答案】 8322 【分析】根据义渡数的定义，得到，推导出，由能被整除，得到是的倍数，由四位数最大，得到，可求出，，，得到最大数，由四位数最小，得到，可求出，，，得到最小数，进而得到最大与最小值的差为8322，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵四位数是义渡数 ∴ ∴ ∵ ∴， ∵能被整除 ∴是的倍数， ∴是的倍数，即是的倍数， ∵要四位数最大 ∴， ∵是的倍数， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴最大， ∵要四位数最小， ∴， ∵是的倍数， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴最小， ∵， ∴最大与最小值的差为8322． 3、 解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 20．（6分）已知，且满足，，，. (1)请将、、填入下列括号内； (2)若，试求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质，即可求解； （2）根据绝对值的性质，先求出x的值，再代入计算即可. 【详解】（1）解： ，，， ，，， ， ， 则； 、、填入括号内略； （2）解：由题可知，，， ， 原式. 21．（8分）如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与宽的比为．如果长方形的长分别为、、等，那么窗框所需材料的长度分别是多少？如果长方形的长为呢？ 【答案】；；；. 【分析】先表示出长方形的宽，再根据所需材料的长度等于所有长方形的周长和半圆的周长以及三个半径的长度之和列式整理即可. 【详解】解：长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度 ； 长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度， ， ； 长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度 ； 长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度 . 22．（8分）某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 【答案】 【分析】首先根据错误的运算关系求出，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴ ∴， ∴ ． 23．（8分）【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用合并同类项法则计算即可； （2）把代数式变形后整体代入即可； （3）把代数式去括号并利用加法交换律和结合律变形，再把已知条件整体代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）∵，，， ∴ 24．（8分）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （2）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合平方数的非负性判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （3）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴． 25．（10分）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 26．（12分）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)； (3)积木①②组合的最远延伸长度是；积木①②③组合的最远延伸长度是 【分析】（1）根据题干性质求解即可； （2）根据题干性质求解即可； （3）根据题干性质求解即可． 【详解】（1）解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层；多层依次外伸时，第1块相对第2块最多伸，第2块相对第3块最多伸，第3块相对第4块最多伸，…，第n块相对下一块最多伸； 只推积木①至最远：①相对②最多延伸； 再固定①②推②：①②总质量为，②相对③最多延伸， 再叠加①相对②的，总延伸； 再固定①②②推③：①②②总质量为，相对④最多延伸， 总延伸； 故答案为：；； （2）解：固定①，推②至最远：②相对③最多伸，①跟着②一起外伸，总延伸； 固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远， 设③相对④向右伸出，支撑边界为④的右端， 各块重心坐标（以④右端为，向右为正）： ① ②同①，为， ③， 三块总重心等于（临界平衡）： ， 解得 总延伸长度（最右端超出④的总长） ． （3）解：1．积木①先延伸 (相对②超出)，再固定①②推②： 设②相对③最远可伸， 由题意得，解得， 所以①②组合总延伸：； 2．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸， 总延伸：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第四章 整式的加减·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列选项中是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．已知数a满足，那么（     ） A． B． C．或 D．或 3．某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（     ） A．359 B．360 C．361 D．362 4．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 5．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 6．下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，是本月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（    ）. A．24 B．43 C．57 D．69 8．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 9．多项式的值与x，y的取值无关、则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2026 D．－2026 10．已知，，，则（    ）．（用含，的代数式表示） A． B． C． D． 11．已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y．若，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（   ） A．16 B．25 C．36 D．64 12．对两个整式，，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作，…下列说法：①；②若，则；③若，则不存在正整数，使得是的倍数．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．已知，则代数式的值为________． 14．若，则___． 15．若多项式是关于的二次二项式，则________． 16．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 17．如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个． 18．规定一个四位数（，，，均为整数，且），若，，则称这个数是“义渡数”，将一个“义渡数”千位和百位上的数字组合成一个两位数，十位和个位上的数字组合成一个两位数，设，则_____________；若能被7整除，则满足要求的的最大值与最小值的差为_____________． 3、 解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）先化简，再求值：，其中，． 20．（6分）已知，且满足，，，. (1)请将、、填入下列括号内； (2)若，试求的值. 21．（8分）如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与宽的比为．如果长方形的长分别为、、等，那么窗框所需材料的长度分别是多少？如果长方形的长为呢？ 22．（8分）某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 23．（8分）【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 24．（8分）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 25．（10分）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 26．（12分）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $