山西省大同市第一中学校2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

高二数学参考答案及评分意见 1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.D 7.A 8.C 9.ACD 10.BC 11.ABD 13.7或19 5 14.2 5.:wai,a=-z46=2-业专手号 解得x=2,y=-4. …2分 61c.b=(-2,y,-1).c=(3,-2,z) .b.c=(-2,y,-1(3,-2,z)=-6-2y-z=2-z=0 解得2=2 …4分 .a=(24,1).6=(（-2,-4,-1).c=(3,-2,2) 5分 2)由1)得i=(2,4,1),万=(-2,4，-)，c=(3,-2,2) .a+c=(5,2,3).万+c=(1,-6,1) …6分 .(a+c)(6+c)=(5,2,3)(1,-6,1)=4 a+=V5+22+3=v385+d=vP+(-6'+1P=38 …9分 ∴.cos(a+c,b+c) (a+c)(6+c）2 la+aB+d19 2 即向量ā+c与b+c夹角的余弦值为19 …11分 (3)由1)得a=(24,),6=(-2,4,-),ā=-6. ∴向量ā在向量b上的投影向量为ā，“向量ā在向量b上的投影向量的坐标为(2,4，) …13分 16.解：(1)如图，连接AD 因为D为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近点P), 0-(丽+4网)所=P历 …3分 正=P+PE=AP+;PD=AP+(D-AP） 所以 =+(+C兮p-名+6C+号 6分 D (2)因为PA⊥平面ABC,AB,BCC平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC, 如图，过点A作AM⊥PB,垂足为M. 因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,AMC平面PAB, 所以AM⊥平面PBC.… …8分 又因为BCC平面PBC,所以AM⊥BC. 因为AM∩PA=A,AM,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB, 因为PB,ABc平面PAB,所以BC⊥PB,BC⊥AB. …10分 如图，过点E作ENI/BC,交PB于点N,连接AN, 则EN⊥平面PAB,EN⊥PB,∠EAN即为直线AE与平面PAB所成的角.…I1分 在Rt△ABC中，BC=VAC2-AB=V2-1=1,在Rt△PAB中，PB=VPA2+AB2=V+I=√2 EN-IBD-18C-1 PN-1PB- 1 所 3 6 6 3…12分 在△PAN中，由余弦定理， 4-P'+PW-2PA-PNco45 329. AN=. 5 AE=EN2+AN? 所以 3,所以 sin∠EAW= EN 6 V21 AE√2121 所以 6 21 即直线AE与平面PAB所成角的正弦值为21. …15分 17.(1)证明：在△4AC中，∠A4C=60°，AC=1,AA=2」 4C=√AC2+A4-2ACA4c0s44C=1+4-2x1x2×=5 ·由余弦定理，得 2 AC2+AC2=A4,AC⊥AC …3分 AC L AB,AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC,ACL平面ABC.4分 :ACC平面ABC,平面ABC1平面ABC.… …5分 (2)解：由1)得4CLAC,AC⊥BC.又~AC⊥BC,·4C,AC,BC两两相互垂直. 以点C为坐标原点，CA,CB,C4所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 6分 设Bc=kk>0,由1D知4C=5,则C(00,0),4(00,5),B0,k0),C(-,05) 4B=(0,k-⑤).C8=(0k,0).c℃=(1,05) …8分 设平面BCCB的法向量为m=(x,y2), m.CB=0, y=0, 则m:CC=0,即-x+v3z=0. 令x=5,则y=0,z=L,m=(5,0 …l0分 设直线4B与平面BCCB所成的角为0， 4B·m sin=cos(4B,m)= 5= 4B·m2V2+3 6 则 解得k=V6 4B=(0,6,-5) …11分 在三棱柱MBC-ABC中，~BB,∥CC且BB=CC.BB=CC=（1,0,VB) 设平面M4B,B的法向量为i=(a,6c), 元：4B=0,「N6b-√3c=0, 则i:BB=0,即-a+V3c=0, 令b=1,则a=6,c=V2.i=(N6l,2) …3分 设平面M4B,B与平面BCCB的夹角为a, cosa cos(, |m._4v2_22 m园2×33 2W2 即平面A4B,B与平面BCCB夹角的余弦值为3. …15分 18.(1)证明：方法一：PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,∴PA⊥BC. 又：四边形ABCD为正方形，·.BC⊥AB 又：PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,.BC⊥平面PAB. …3分 AFC平面PAB,∴.BC⊥AF PA=AB,F为线段PB的中点，.AF⊥PB. …5分 又PB∩BC=B,PB,BCC平面PBC,AF⊥平面PBC 6分 EFC平面PBC,AF⊥EF. …7分 方法二：PA⊥底面ABCD,AB,BCC平面ABCD,:PA⊥AB,PA⊥BC, 又：四边形ABCD为正方形，BC⊥AB 又：PA∩AB=A,PA,PBC平面PAB,.BC⊥平面PAB …3分 PBC平面PAB,BC⊥PB. …4分 当点E与点B重合时，在△PAB中，：PA=AB,F为线段PB的中点， AF L BF,即AF⊥EF.…5分 当点E与点B不重合时，设AB=2,BE=x. 在等腰直角三角形PAB中，AF=BF=V2； 在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=4+x2； 在Rt△BEF中，EF2=BF2+BE2=2+x2. AF2+EF2=AE2AFLEF 6分 综上，AF⊥EF. …7分 (2)解：方法一：PA⊥底面ABCD,AB,ADC平面ABCD, .PA⊥AB,PA⊥AD :四边形ABCD是正方形，AB⊥AD,∴AB,AD,AP两两垂直. 以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为X,V,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.…9分 42 设AB=2.:PA=AB,F为线段PB的中点，E为线段BC的中点， ∴.A(0,0,0).B(2,0,0).C(2,2,0).P(0,0,2）.E(2,1,0).F(1,0,1) .AE=(21,0)AF=(1,0,1).AP=(0,0,2） .…12分 :PA⊥底面ABCD,·AP=(0,0,2)是平面ABE的一个法向量 13分 设平面AEF的法向量为i=(x,少，2)】 [元.AE=0,「2x+y=0, 则i:AF=0,即{x+z=0. 令x=1,则y=-2,2=-1,i=(1,-2,-1) …15分 由题意知，二面角F-AE-B的平面角为锐角. 设二面角F-AE-B的大小为B, cos0=cos(AP,n) AP.26 AP2×V66 则 6 即二面角F-AE-B的余弦值为6. …17分 方法二：如图，取AB的中点H,连接FH,过点H作HG上AE于点G,连接FG.…8分 P F为线段PB的中点，FH为△PAB的中位线，∴FHPA, PA⊥底面ABCD,∴FH⊥底面ABCD AE,GHC平面ABCD,.FH⊥AE,FH⊥GH.… 10分 HG⊥AE,FH∩HG=H,FH,HGc平面FGH,.AE⊥平面FGH. 'FGc平面FGH,.AE⊥FG .∠FGH即为二面角F-AE-B的平面角. 。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 …12分 设PA=AB=2,则FH=AH=1,AE=VAB2+BE2=V22+1P=V5 AH GH 1 GH 由△AGH∽△ABE,得AEBE,即V51,解 GH=5 5 …15分 在Rt△FGH中， G=m4GM-+- 5 √5 √6 ∴.cos∠FGH= GH 5 5 √6 即二面角F-AE-B的余弦值为6. …17分 19.(1)证明：在△PBC中，因为E,F分别是BC,PC的中点，所以EF/PB.…1分 因为EFC平面DEF,PB平面DEF,所以PB∥平面DEF. …3分 (2)解：因为PA⊥平面ABC,AB,ACC平面ABC,所以PA⊥AB,PA1AC. 因为AB上AC,所以AB,AC,AP两两垂直. 以点A为坐标原点，AB,AC,AP所在的直线分别为x，y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 …6分 因为AB=AC=1,PA=2,D,E,F分别是棱AB,BC,PC的中点， ))c()0)) P-o2).派-(20.r-( 9分 设平面DEF的法向量为元=(x,少，z), DE.==0 2 DF万=-x+tz=0. 则 22 令z=1,则y=0,x=2,所以i=(20,) …l1分 n:AP sin= 25 设直线PA与平面DEF所成的角为B,则 n AP 2×55 5 故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为5.…13分 (3)解：由(2)，得 平面DEF的一个法向量为i=(2,0,1), CE 15 d=. 所以点C到平面DEF的距离 √55 。。。。。。。。 …17分 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在长方体中，是的中点，则下列各式能表示向量的是 A． B． C． D． 2．已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是 A．相交但不垂直 B． C． D．与重合 3．已知空间向量，，若，则 A．， B．， C．， D．， 4．已知圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的2倍．记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则 A． B．1 C． D． 5．如图，和所在的平面互相垂直，且，．设为的中点，则下列结论错误的是 A．平面 B．平面 C． D． 6．已知，是两条不同的直线，，，是三个互不重合的平面，则下列条件中，一定能使成立的是 A．， B．， C．，， D．， 7．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 8．在正四棱锥中，侧棱长是底面边长的倍，点在侧棱上．若平面，直线上存在一点，使得平面，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有 A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B．在三棱锥中， C．若，则异面直线与所成角的余弦值为 D．若空间向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10．已知空间非零向量，，，则下列说法正确的有 A．，可以相互垂直 B．，为平面内的共面向量 C．是平面的一个法向量 D．不能作为其确定平面内的一个基底 11．如图，在矩形中，，，为的中点．现分别沿，将，翻折，使点，重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则下列结论正确的有 A．三棱锥的体积为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，点，，则直线与平面的交点的坐标为_________． 13．已知空间四边形的对角线，，，分别是，的中点．若异面直线，所成的角为，则_________． 14．已知正方体的棱长为2，点满足，则点到平面的距离为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知空间向量，，满足，． （1）求向量，，； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）求向量在向量上的投影向量的坐标． 16．（15分）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． （1）用，，表示； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）如图，在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的动点，为线段的中点． （1）求证:; （2）当为线段的中点时，求二面角的余弦值． 19．（17分）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $