精品解析：山西省太原市某校2025-2026学年高二上学期1月半月考数学试题

高二年级半月考试题 数学 考试时间：2026年1月17日 答题时间90分钟 满分100分 一、单选题（8小题，共32分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）. 1. 设函数在处存在导数为1，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义直接求得. 【详解】由题意可知， . 故选：D. 2. 已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别作出函数在处的切线，进而得到的大小关系． 【详解】分别作出函数在处的切线， 则 则有， 故选：B． 3. 已知直线经过圆的圆心，则实数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆C的圆心坐标，代入直线，即可得答案. 【详解】将圆C方程化为标准方程可得， 则圆心坐标为，代入直线，可得，解得. 故选：A 4. 已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把三棱柱补成四棱柱，利用余弦定理结合条件可得异面直线与所成角. 【详解】如图，把三棱柱补成四棱柱，则，异面直线与所成角为， 在中，由余弦定理得， 又， 故选：C． 5. 在等比数列中，，且，则（ ） A. 36 B. 27 C. 18 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和的性质化简，可得，再结合解出，即可得解. 【详解】由等比数列的性质得，故， 得． 由，得，则，所以． 故选：C. 6. 已知为等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意先求出基本量，再把目标式转化等比数列求和，进而利用公式法求解即可. 【详解】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因为，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D 7. 已知椭圆的左､右两个焦点分别为，且焦距为是上一点，若，且，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用椭圆定义及已知条件得出，再应用余弦定理计算求解即可得出椭圆方程. 【详解】由 在中，由余弦定理可得， 解得，又，所以. 故选:D. 8. 数列满足，数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件构造是等比数列，即可求出通项公式，再由错位相减法进行求和即可. 【详解】，可得，又， 是首项为，公比为的等比数列，，， ，① 则，② ①②可得， . 故选：D. 二、多选题（多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 全部选对的得6分，部分选对的得2，3，4分，有选错的得0分，每题有两个或两个以上是符合题目要求）. 9. 下列求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式，以及导数的运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D错误. 故选：AD. 10. 已知函数，的导函数是，则（ ） A B. 在点处的切线斜率为 C. 在上的平均变化率为 D. 在处的瞬时变化率为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复合函数的导数、导数的几何意义及平均变化率、瞬时变化率等知识逐项判断即可. 【详解】对于A：由，故A错误； 对于B：因为，故，故B正确； 对于C：由在上的平均变化率为，故C正确； 对于D：因为，当时，，故D错误. 故选：BC. 11. 设抛物线的焦点为，为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 过点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，则的最小值是6 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，故A错， 如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当，，共线时，取到最小值，此时为点到准线距离4，故B对； 由题意知，抛物线焦点坐标为， 当斜率存在时，设直线的方程为， 由. 设交点，，则，. 依据抛物线的定义得：， . 当斜率不存在时，.则的最小值是4.故C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段为直径的圆与轴相切，故D对. 故选：BD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 的单调递减区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求导，再求的区间即可. 【详解】函数定义域为， ， 令， 即，解得： 的单调递减区间为. 故答案为： 13. 已知数列满足，，设数列的前项和为，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式，求出数列的项，可知数列周期为4，利用周期求解即可. 【详解】因为， 所以，，， 所以数列的周期为， 所以， 故答案为：. 14. 若函数为上严格增函数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质列出不等式组并求解即可. 【详解】由于函数为上严格增函数， 令，则在时单调递增，令， 即在时恒成立，只需， 从而要使函数为上严格增函数，需满足，解得. 故答案为：. 四、解答题（共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2），若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，建立方程，即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以所求切线方程为； 【小问2详解】 因为，所以， 设过原点的切线切于点， 则切线方程为：，又其过原点， 所以，所以， 所以切线l的方程为，即为． 16. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. 【小问1详解】 由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知：，故； 【小问3详解】 ， ， 两式相减，得 ， ， 故. 17. 已知函数，其中． （1）若时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，，则， 而，则， 所以函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 由，， 则， 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，，此时， 则函数单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级半月考试题 数学 考试时间：2026年1月17日 答题时间90分钟 满分100分 一、单选题（8小题，共32分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）. 1. 设函数在处存在导数为1，则（　　） A. B. C. 2 D. 2. 已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线经过圆的圆心，则实数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，且，则（ ） A. 36 B. 27 C. 18 D. 9 6. 已知为等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左､右两个焦点分别为，且焦距为是上一点，若，且，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 数列满足，数列的前n项和为（ ） A B. C. D. 二、多选题（多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 全部选对的得6分，部分选对的得2，3，4分，有选错的得0分，每题有两个或两个以上是符合题目要求）. 9. 下列求导不正确是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，的导函数是，则（ ） A B. 在点处切线斜率为 C. 在上的平均变化率为 D. 在处的瞬时变化率为 11. 设抛物线的焦点为，为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 过点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，则的最小值是6 D. 以线段为直径圆与轴相切 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 的单调递减区间为______. 13. 已知数列满足，，设数列的前项和为，则___________. 14. 若函数为上严格增函数，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2），若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 16. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 17. 已知函数，其中． （1）若时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $