第1次月考复习与提高 【二次根式+解一元二次方程】优等生讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

第1次月考复习与提高 【二次根式+解一元二次方程】优等生讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次根式的概念、性质及有意义的条件 · 熟练进行二次根式的化简、分母有理化与混合运算 · 能运用整体代入思想求二次根式代数式的值 · 掌握一元二次方程的四种解法（直接开平方、配方法、公式法、因式分解法） · 能解决新定义方程问题与二次根式实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的概念与性质 形如（a≥0）的式子叫二次根式，被开方数必须非负 性质：()2=a（a≥0）；=|a|；=·（a≥0,b≥0）；=（a≥0,b>0） 最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式 概念辨析例题：若y=++3，求x+y的值 解析：由x-2≥0且2-x≥0得x=2，代入得y=3，故x+y=5。 ☆ 2.二次根式的化简与分母有理化 分母有理化：分子分母同乘分母的有理化因式，如=- 整体代入：由已知条件两边平方得x2+px=q，再降次代入高次多项式 根号套根号：若m2+n2=a且2mn=b，则=± 分子有理化：-=，用于比较大小和求最值 概念辨析例题：已知x=-2，求x2+4x+2024的值 解析：由x=-2得x+2=，两边平方x2+4x+4=7，故x2+4x=3，原式=3+2024=2027。 ☆ 3.一元二次方程的解法 直接开平方法：x2=p（p≥0）则x=± 配方法：化为(x+m)2=n，n≥0时开方求解 公式法：ax2+bx+c=0（a≠0），x=，判别式Δ=b2-4ac 因式分解法：右边为0，左边分解为两个一次因式乘积，令各因式为0 概念辨析例题：解方程：2x2-7x+3=0 解析：因式分解(2x-1)(x-3)=0，得x=或x=3。 ☆ 4.方程应用与新定义问题 新定义方程：读懂定义→按定义列方程→用已有方法解 整数系数根为根式：若一个根为+b，则(x-b)2=常数，展开后对照系数 换元法：如令t=x2+x，将高次方程降为二次方程 实际应用：周长面积问题用二次根式表示边长，注意无理数估算 概念辨析例题：若方程x2+bx+c=0有一个根为+2，求整数b、c 解析：由x=+2得x-2=，平方得x2-4x+4=5，即x2-4x-1=0，故b=-4,c=-1。 📋 知识总结表 核心知识点 公式/方法 注意事项 二次根式有意义 被开方数≥0，分母≠0 多个根式需求交集 最简二次根式 不含分母、不含开得尽方因数 结果必须化到最简 分母有理化 乘有理化因式∓ 注意符号选择 配方法 x2+px=(x+)2-()2 二次项系数先化1 求根公式 x= 先算Δ判断有无实根 因式分解法 右边=0，左边分解 不能两边随意约去含x因式 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式化简求值（第1-16题） · 先化简再代入：能因式分解的先约分，避免硬算 · 整体代入：由已知平方得x2+px=q，高次多项式提取公因式降次 · 小数部分：的整数部分取不超过它的最大整数，小数部分=-整数部分 · 非负性：≥0，几个非负数和为0则各自为0 1．（2024秋•杨浦区校级月考）已知，则_____ ． 2．（2024秋•杨浦区校级月考）若，则m3﹣3m2﹣2020m+2021的值是 _______ ． 3．（2024秋•静安区校级期中）当时，多项式4x3﹣2025x﹣2022的值为 _______ ． 4．（2024秋•上海校级月考）已知，则 ____________________ ． 5．（2025秋•闵行区校级期中）先化简，再求值：，其中a是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根． 6．（2025秋•普陀区校级月考）先化简，再求值：已知，求的值． 7．（2025秋•上海校级月考）已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 8．（2025秋•浦东新区校级期中）已知的小数部分为a，的小数部分为b． 先化简，再求值：． 9．（2025秋•徐汇区校级期中）先化简，后求值：，其中，b＝3． 10．（2025秋•静安区校级期中）已知，求代数式的值． 11．（2025秋•普陀区校级期中）已知，，求的值． 12．（2025秋•长宁区期中）先化简，再求值：，其中． 13．（2025秋•虹口区月考）已知，求的值． 14．（2025秋•长宁区校级月考）已知y，求的值． 15．（2025秋•闵行区校级月考）先化简，再求值：，其中． 16．（2025秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值：（b25b），其中a＝2，b＝3． 【考点2】二次根式应用（第17-25题） · 解含二次根式不等式：移项合并后系数化1，最后分母有理化 · 实际应用：周长面积列式后化简，无理数按要求取近似值 · 阅读材料题：模仿例题方法，套用整体代入或分子有理化 · 海伦-秦九韶公式：直接代入三边长计算，注意算术平方根 17．（2025秋•虹口区校级期中）解不等式：． 18．（2023秋•浦东新区校级期末）解不等式：（3x）＜1x． 19．（2025秋•普陀区期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从60m的高空落到地面的时间； （2）小明说物体从120m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由； （3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m），某质量为0.06kg的鸡蛋经过5s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量） 20．（2026春•东平县期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD，绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求长方形绿地ABCD的周长； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元/m2，求通道铺地砖需要花费多少元？ 21．（2025秋•虹口区期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式x3+14x2+x+2023的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得x2+14x+49＝48，则x2+14x＝﹣1． 观察原代数式x3+14x2+x+2023，注意到前两项可提取公因式：x3+14x2＝x（x2+14x）． 代入x2+14x＝﹣1，得x（x2+14x）+x+2023＝（﹣1）•x+x+2023＝2023． 因此，原式的值为2023．请运用上述思想方法解决下列问题： （1）已知，求代数式x3+22x2+x+2024的值； （2）已知，求代数式x3+7x2+3x+2025的值． 22．（2025秋•金山区校级月考）著名数学教育家G•波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如： ． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当1≤x≤2时，化简． 23．（2024秋•浦东新区校级期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和的大小可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为所以． 再例如：求的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）由材料可知，____________________ ； （2）比较和的大小； （3）式子的最小值是 _________________ ． 24．（2025秋•闵行区校级月考）小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算： ①；②；③；④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ； ； ． （1）观察上述解法，直接写出结果： __________ ； （2）试用小明的方法求解出的结果； （3）根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 25．（2026春•襄州区校级月考）我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦﹣秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；S秦九部公式）． （1）若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为5，6，7，即a＝5，b＝6，c＝7， ∴_____ ． 根据海伦公式可得________________ ； （2）请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，求这个三角形的面积． （3）如图，在△ABC中，∠BAC，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a＝8，b＝5，c＝7．过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长． 【考点3】一元二次方程解法（第26-34题） · 优先因式分解法：能提公因式或十字相乘的最快 · 配方法：二次项系数化1→移常数项→加一次项系数一半平方 · 公式法：先化一般式ax2+bx+c=0，算Δ再代入公式 · 分式方程：去分母化为整式方程后必须验根 26．（2025秋•浦东新区校级期末）（1）解方程：4x2﹣12x﹣7＝0； （2）解方程：． 27．（2026•闵行区三模）解方程：． 28．（2025秋•闵行区期末）解方程：2x（x2﹣1）． 29．（2025秋•浦东新区期末）解方程： （1）（2x﹣5）2+5（5﹣2x）+6＝0； （2）． 30．（2025秋•普陀区校级月考）解方程：． 31．（2025秋•徐汇区校级月考）解方程： （1）．（配方法） （2）． 32．（2025秋•浦东新区校级期中）解下列方程： （1）5（x﹣3）＝2x（x﹣3）； （2）（2x+1）2﹣7（2x+1）＝﹣12； （3）解关于x的方程：x2﹣x+n＝2（用配方法）； （4）． 33．（2025秋•嘉定区校级期中）解方程：． 34．（2025秋•浦东新区校级期中）（1）解不等式：． （2）解方程：3x（x﹣2）＝2﹣x． 【考点4】解一元二次方程应用（第35-39题） · 新定义方程：严格按定义列方程，再用已有方法解 · 根式根求系数：将根移项平方展开，对照ax2+bx+c=0得系数 · 换元法：设t=含x的整体，解出t后再求x，注意Δ≥0取舍 · 平均数法：(x-a)(x-b)=c化为(x-)2=c+()2 35．（2025秋•徐汇区校级期中）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 36．（2026春•潜山市期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为“有爱方程”的根； （3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值． 37．（2025秋•绥化校级期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是______________ ； （2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值； （3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为_________ ． 38．（2025秋•白塔区校级期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足：a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知ax2﹣3x+c＝0是关于x的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是 ______________ ； （3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 39．（2025秋•陇南期末）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4． 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4， （x+4）2﹣42＝4， （x+4）2＝20， 直接开平方，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40， （x+a）2﹣b2＝40， （x+a）2＝40+b2， 直接开平方，得x1＝2，x2＝﹣12． 上述解题过程中的a，b所表示的数分别是_____ ，_____ ； （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次根式结果必须化到最简，分母不能含根号 · 化简求值先看已知条件能否平方出x2+px=q，整体代入最简便 · 解一元二次方程优先因式分解，不行再公式法，配方法按步骤写 · 分式方程必须验根，使分母为0的根是增根 · 新定义题不要慌，严格按题目给的定义翻译成方程即可 【作业 1】（2026春•虹口区校级月考）已知，则的值为（　　） A． B．2 C．或2 D．或2 【作业 2】（2025秋•松江区期末）已知a+b＝﹣2，ab＝1，则化简求的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【作业 3】（2021春•浦东新区校级期中）设x、y都是负数，则等于（　　） A． B． C． D． 【作业 4】（2025秋•嘉定区校级月考）若m满足关系式，则m＝ _____ ． 【作业 5】（2022秋•嘉定区月考）当时，代数式x2﹣4x+4的值是 _________ ． 【作业 6】（2024秋•虹口区校级月考）已知，则代数式a4+4a3+5a+1的值为 _______________ ． 【作业 7】（2022秋•虹口区校级月考）已知3，则的值为 _____ ． 【作业 8】（2025•射洪市校级二模）先化简，再求值． （6x）﹣（4y），其中x，y． 【作业 9】（2025秋•金山区期中）先化简，再求值：，其中a＝3，． 【作业 10】（2024秋•浦东新区校级月考）化简：（）． 【作业 11】（2024春•普陀区校级月考）已知2，求的值． 【作业 12】（2025秋•杨浦区期末）解不等式：x﹣2x． 【作业 13】（2025秋•浦东新区校级月考）解不等式：． 【作业 14】（2025秋•闵行区校级月考）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为5：3． （1）围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ （2）围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【作业 15】（2025秋•青浦区校级期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为2m，宽为2m，广场中间有两块大小相同的小长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为（23）m，宽为（23）m． （1）求广场的周长； （2）除绿地部分，广场其他部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 【作业 16】（2025秋•浦东新区校级期末）解方程：2（2x﹣1）2﹣4＝﹣x（x+11）． 【作业 17】（2025秋•崇明区校级期中）解方程： （1）3（x﹣1）2＝x2﹣1； （2）． 【作业 18】（2025春•闵行区校级期中）解关于x的方程：7﹣bx2＝x2+6（b≠﹣1）． 【作业 19】（2025秋•杨浦区期中）（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____ （①消元，②降次） （2）解方程：； （3）若实数a是方程（x2+x）2+2（x2+x）﹣8＝0的根，求a2+a的值． 【作业 20】（2025秋•黄浦区校级月考）中国古代数学家很早就会利用数形结合思想来解决生活中的一些问题． 杨辉是我国南宋时期的数学家，一次他画了一张“弦图”，解决了如下问题：一块长方形田地的面积是864平方步，已知它的宽比长少12步，问长与宽是多少？（注：“步”是长度单位，“平方步”是面积单位．1步＝5尺） 解：设宽为x步，则长为（x+12）步，得方程①________________ ． 如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形，由题目条件可知小正方形面积是②________ 平方步，大正方形面积是③_________ 平方步，于是矩形的长与宽的和是④_______ 步，得到宽（即x的一个正数解）为⑤_______ 步．（在对应序号处填空，写在答题纸上） 请你仿造杨辉的“画图”方法，解方程x2+6x﹣616＝0（求出一个正数解即可）． （注意：画出示意图，所画图上要有必要数据标记） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1次月考复习与提高 【二次根式+解一元二次方程】优等生讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次根式的概念、性质及有意义的条件 · 熟练进行二次根式的化简、分母有理化与混合运算 · 能运用整体代入思想求二次根式代数式的值 · 掌握一元二次方程的四种解法（直接开平方、配方法、公式法、因式分解法） · 能解决新定义方程问题与二次根式实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的概念与性质 形如（a≥0）的式子叫二次根式，被开方数必须非负 性质：()2=a（a≥0）；=|a|；=·（a≥0,b≥0）；=（a≥0,b>0） 最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式 概念辨析例题：若y=++3，求x+y的值 解析：由x-2≥0且2-x≥0得x=2，代入得y=3，故x+y=5。 ☆ 2.二次根式的化简与分母有理化 分母有理化：分子分母同乘分母的有理化因式，如=- 整体代入：由已知条件两边平方得x2+px=q，再降次代入高次多项式 根号套根号：若m2+n2=a且2mn=b，则=± 分子有理化：-=，用于比较大小和求最值 概念辨析例题：已知x=-2，求x2+4x+2024的值 解析：由x=-2得x+2=，两边平方x2+4x+4=7，故x2+4x=3，原式=3+2024=2027。 ☆ 3.一元二次方程的解法 直接开平方法：x2=p（p≥0）则x=± 配方法：化为(x+m)2=n，n≥0时开方求解 公式法：ax2+bx+c=0（a≠0），x=，判别式Δ=b2-4ac 因式分解法：右边为0，左边分解为两个一次因式乘积，令各因式为0 概念辨析例题：解方程：2x2-7x+3=0 解析：因式分解(2x-1)(x-3)=0，得x=或x=3。 ☆ 4.方程应用与新定义问题 新定义方程：读懂定义→按定义列方程→用已有方法解 整数系数根为根式：若一个根为+b，则(x-b)2=常数，展开后对照系数 换元法：如令t=x2+x，将高次方程降为二次方程 实际应用：周长面积问题用二次根式表示边长，注意无理数估算 概念辨析例题：若方程x2+bx+c=0有一个根为+2，求整数b、c 解析：由x=+2得x-2=，平方得x2-4x+4=5，即x2-4x-1=0，故b=-4,c=-1。 📋 知识总结表 核心知识点 公式/方法 注意事项 二次根式有意义 被开方数≥0，分母≠0 多个根式需求交集 最简二次根式 不含分母、不含开得尽方因数 结果必须化到最简 分母有理化 乘有理化因式∓ 注意符号选择 配方法 x2+px=(x+)2-()2 二次项系数先化1 求根公式 x= 先算Δ判断有无实根 因式分解法 右边=0，左边分解 不能两边随意约去含x因式 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式化简求值（第1-16题） · 先化简再代入：能因式分解的先约分，避免硬算 · 整体代入：由已知平方得x2+px=q，高次多项式提取公因式降次 · 小数部分：的整数部分取不超过它的最大整数，小数部分=-整数部分 · 非负性：≥0，几个非负数和为0则各自为0 1．（2024秋•杨浦区校级月考）已知，则　3　 ． 【分析】设，原方程变为x（x﹣1）＝6，求出x1＝3，x2＝﹣2，根据，，得出，即可得出答案． 【解答】解：设，则方程可变为： x（x﹣1）＝6， x2﹣x﹣6＝0， （x﹣3）（x+2）＝0， ∴x﹣3＝0或x+2＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣2， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点评】此题考查了二次根式的非负性，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次根式的非负性． 2．（2024秋•杨浦区校级月考）若，则m3﹣3m2﹣2020m+2021的值是 　﹣1　 ． 【分析】先分母有理化得出，求出m2﹣2m＝2022，将原式变形为m（m2﹣2m）﹣m2﹣2020m+2021再将m2﹣2m＝2022代入求值即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴（m﹣1）2＝2023， ∴m2﹣2m+1＝2023， ∴m2﹣2m＝2022， ∴m3﹣3m2﹣2020m+2021 ＝m（m2﹣2m）﹣m2﹣2020m+2021 ＝2022m﹣m2﹣2020m+2021 ＝﹣m2+2m+2021 ＝﹣（m2﹣2m）+2021 ＝﹣2022+2021 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是进行分母有理化． 3．（2024秋•静安区校级期中）当时，多项式4x3﹣2025x﹣2022的值为 　﹣1　 ． 【分析】根据已知条件，得到（2x﹣1）2＝2022，进而得到4x2﹣4x﹣2021＝0，将多项式转化为x（4x2﹣4x﹣2021）+（4x2﹣4x+1）﹣2023，再代值计算即可． 【解答】解：∵， ∴（2x﹣1）2＝2022， ∴4x2﹣4x﹣2021＝0， ∴4x3﹣2025x﹣2022＝x（4x2﹣4x﹣2021）+（4x2﹣4x+1）﹣2023 ＝（2x﹣1）2﹣2023 ＝2022﹣2023 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 4．（2024秋•上海校级月考）已知，则 　　 ． 【分析】根据完全平方公式得到x2，进而求出、，再根据二次根式的性质计算即可． 【解答】解：∵2， ∴（）2＝4，即x2＝4， ∴x2， 则x+13，x+1012， ∴原式， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值、分母有理化，掌握完全平方公式、二次根式的性质的解题的关键． 5．（2025秋•闵行区校级期中）先化简，再求值：，其中a是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根． 【分析】先对的分子进行因式分解，再进行化简，然后解一元二次方程，再根据分母不为0进行舍解，最后再代入求值． 【解答】解：原式 ， ∵2x2﹣3x+1＝0， ∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0， 解得或x＝1， ∵， ∴a≠1， ∵a是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根， ∴， ∴原式． 【点评】本题考查了二次根式、分式的化简求值，一元二次方程的根，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 6．（2025秋•普陀区校级月考）先化简，再求值：已知，求的值． 【分析】先对原式进行化简，再代入求值即可． 【解答】解：原式 ； 当时， 原式． 【点评】本题主要考查的是分母有理化，能够利用完全平方公式对所求代数式进行变形是解题的关键． 7．（2025秋•上海校级月考）已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 【分析】利用非负性求出a、b的值，利用分式和根式的运算进行化简，再将a、b的值代入求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ， 当a，b＝2时， 原式． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，非负数的性质，熟知以上运算的法则是解题的关键． 8．（2025秋•浦东新区校级期中）已知的小数部分为a，的小数部分为b． 先化简，再求值：． 【分析】先根据题意求出的整数部分为8，的整数部分为1，，，再利用二次根式的运算法则进行计算得到化简结果，再把，代入求值即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴的整数部分为8，小数部分为； 的整数部分为1，小数部分为， ∵原式 ＝﹣ab， ∴原式． 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 9．（2025秋•徐汇区校级期中）先化简，后求值：，其中，b＝3． 【分析】先将分子进行因式分解，再约分化简，最后代入数据求值． 【解答】解：原式 ， 当时， 原式． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，正确进行计算是解题关键． 10．（2025秋•静安区校级期中）已知，求代数式的值． 【分析】利用二次根式的化简，完全平方公式，因式分解解答即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴x2﹣8x+15＝2， ∴． 【点评】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，因式分解，熟练掌握完全平方公式． 11．（2025秋•普陀区校级期中）已知，，求的值． 【分析】先对分式进行化简，然后代入x、y的值进行计算即可． 【解答】解： ， 当，时，原式． 【点评】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握运算法则是关键． 12．（2025秋•长宁区期中）先化简，再求值：，其中． 【分析】先去括号，然后化简每一个二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，得到化简结果，最后把x、y的值代入计算即可． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确计算是解答本题的关键． 13．（2025秋•虹口区月考）已知，求的值． 【分析】先根据二次根式有意义的条件求得x＝2，易得y＝8，再运用二次根式的混合运算法则化简原式，最后将x＝2、y＝8代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴， 解得：x＝2， ∴y＝8， 原式 ． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 14．（2025秋•长宁区校级月考）已知y，求的值． 【分析】先求出x、y的值，再把没有部分的分子和分母分解因式，同时求出括号内的值，进行约分，最后合并同类根式，代入求出即可． 【解答】解：∵y， ∴x0且x≥0， 解得：x， 代入得：y＝8， ∴ 2• 2 2 ． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力，题目比较好，难度适中． 15．（2025秋•闵行区校级月考）先化简，再求值：，其中． 【分析】先利用乘法公式和因式分解的方法得到原式＝[]2，再约分后利用完全平方公式得到原式＝4x﹣4y，接着利用分母有理化得到x＝3﹣2，y＝3+2，然后把x、y的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝[]2 ＝（2）2 ＝（2）2 ＝4x﹣4y， ∵x3﹣2，y3+2， ∴原式＝4（3﹣2）﹣43+2 ＝12﹣84+3+2 ＝11﹣6． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分式的化简求值． 16．（2025秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值：（b25b），其中a＝2，b＝3． 【分析】先根据二次根式的性质及运算法则化简，再将a＝2，b＝3代入求值即可． 【解答】解： ， 当a＝2，b＝3时， 原式 ． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，掌握其性质是解题的关键． 【考点2】二次根式应用（第17-25题） · 解含二次根式不等式：移项合并后系数化1，最后分母有理化 · 实际应用：周长面积列式后化简，无理数按要求取近似值 · 阅读材料题：模仿例题方法，套用整体代入或分子有理化 · 海伦-秦九韶公式：直接代入三边长计算，注意算术平方根 17．（2025秋•虹口区校级期中）解不等式：． 【分析】按照移项、合并同类项、系数化1的顺序依次计算即可，注意最后结果化为最简． 【解答】解：移项得：x﹣2x＞﹣2 合并同类项得：（2）x＜﹣2， 即：（2）x＞2 系数化1得：x 化简得：x＞7+4 【点评】本题考查了二次根式的应用及一元一次不等式的解法，属于基础运算，应该重点掌握． 18．（2023秋•浦东新区校级期末）解不等式：（3x）＜1x． 【分析】先化简，再利用解不等式的方法与步骤解出答案即可． 【解答】解：（3x）＜1x x＜1+3x x﹣3x＜1 ﹣4x x． 【点评】此题考查解不等式的步骤与方法以及二次根式的化简． 19．（2025秋•普陀区期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从60m的高空落到地面的时间； （2）小明说物体从120m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由； （3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m），某质量为0.06kg的鸡蛋经过5s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量） 【分析】（1）把h＝60m代入公式即可， （2）把h2＝120m代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论． （3）求出h，代入动能计算公式即可求出． 【解答】解：（1）把h＝60m代入公式可得： ； （2）不正确． 理由：当h2＝120m时，． ∴不正确； （3）当t＝5s时，， 解得h＝125m． ∴鸡蛋产生的动能＝10×0.06×125＝75（J）． ∴启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 【点评】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． 20．（2026春•东平县期末）某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD，绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求长方形绿地ABCD的周长； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元/m2，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【分析】（1）依据题意，长方形绿地的周长为：，进而可以得解； （2）依据题意可得，通道的面积，再结合通道上铺地砖的造价为80元/m2，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，长方形绿地的周长为： 答：长方形绿地的周长为． （2）由题意可得，通道的面积 ． ∴铺地砖需要费用为：28×80＝2240（元）． 答：铺地砖需要花费2240元． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 21．（2025秋•虹口区期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式x3+14x2+x+2023的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得x2+14x+49＝48，则x2+14x＝﹣1． 观察原代数式x3+14x2+x+2023，注意到前两项可提取公因式：x3+14x2＝x（x2+14x）． 代入x2+14x＝﹣1，得x（x2+14x）+x+2023＝（﹣1）•x+x+2023＝2023． 因此，原式的值为2023．请运用上述思想方法解决下列问题： （1）已知，求代数式x3+22x2+x+2024的值； （2）已知，求代数式x3+7x2+3x+2025的值． 【分析】（1）先把x的值分母有理化，再代入代数式进行计算即可； （2）先把x的值分母有理化，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵ ∴， ∴， ∴， x2+22x+121＝120， x2+22x＝﹣1， x3+22x2+x+2024 ＝x（x2+22x）+x+2024 ＝﹣x+x+2024 ＝2024； （2）∵， ∴， ∴， ， 4x2+28x+49＝45， 4x2+28x＝﹣4， x2+7x＝﹣1， x3+7x2+3x+2025＝x（x2+7x）+3x+2025 ＝﹣x+3x+2025 ＝2x+2025 ． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式，分母有理化，熟知以上知识是解题的关键． 22．（2025秋•金山区校级月考）著名数学教育家G•波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如： ． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当1≤x≤2时，化简． 【分析】（1）根据题意，，计算求解即可； （2）根据题意，将原式化简为，计算求解即可； （3）根据题意，将原式化简为，根据1≤x≤2，计算求解即可． 【解答】解：（1）原式 ． ； （2）原式 ． ＝9； （3）原式 ＝2． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，绝对值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 23．（2024秋•浦东新区校级期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和的大小可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为所以． 再例如：求的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）由材料可知，　　 ； （2）比较和的大小； （3）式子的最小值是 　1　 ． 【分析】（1）根据材料，从数字找规律即可解答； （2）利用材料中分子有理化例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）先根据题意得：1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0，从而可得：0≤x≤1，然后根据利用材料中求最大值例题的解题思路进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2） ， 2 ， ∵3，2， ∴34＞2， ∴， ∴34＜2； （3）由题意得：1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0， 解得：0≤x≤1， ， 当x＝1时，有最大值，则有最小值，且最小值1，此时有最小值为0， ∴y的最小值＝011， 故答案为：1． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，平方差公式，二次根式的乘除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 24．（2025秋•闵行区校级月考）小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算： ①；②；③；④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ； ； ． （1）观察上述解法，直接写出结果： 　10000　 ； （2）试用小明的方法求解出的结果； （3）根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 【分析】（1）观察上述解法，直接写出结果， 10000； （2）由所给的规律，可知，即可求解； （3）根据拼割前后两个图形的面积不变，可得正方形的边长，再由（1）的规律求解即可． 【解答】解：（1）观察上述解法，直接写出结果， 10000， 故答案为：10000； （2）50， 故答案为：50； （3）根据题意可知，拼割前后两个图形的面积不变， ∴正方形的边长757， ∴大正方形的边长为757． 【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的等式，探索出一般规律，并灵活应用规律解决问题是解题的关键． 25．（2026春•襄州区校级月考）我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦﹣秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；S秦九部公式）． （1）若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为5，6，7，即a＝5，b＝6，c＝7， ∴　9　 ． 根据海伦公式可得　　 ； （2）请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，求这个三角形的面积． （3）如图，在△ABC中，∠BAC，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a＝8，b＝5，c＝7．过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长． 【分析】（1）根据题中的实数的运算法则求解； （2）代入公式求解； （3）先根据题中的公式求出面积，再根据列方程求解． 【解答】解：（1）∵a＝5，b＝6，c＝7， ∴． 根据海伦公式可得； 故答案为：9；； （2）根据题意可得，，， ； （3）， ∴， ∵， ∴． 【点评】本题考查了二次根式的应用，正确代入计算是关键． 【考点3】一元二次方程解法（第26-34题） · 优先因式分解法：能提公因式或十字相乘的最快 · 配方法：二次项系数化1→移常数项→加一次项系数一半平方 · 公式法：先化一般式ax2+bx+c=0，算Δ再代入公式 · 分式方程：去分母化为整式方程后必须验根 26．（2025秋•浦东新区校级期末）（1）解方程：4x2﹣12x﹣7＝0； （2）解方程：． 【分析】（1）利用因式分解法求解； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可． 【解答】解：（1）4x2﹣12x﹣7＝0， （2x﹣7）（2x+1）＝0， 2x﹣7＝0或2x+1＝0， 解得，； （2）， ， x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4， 2x﹣4＝4， 解得x＝4， 经检验x＝4是原分式方程的解． 【点评】本题考查的是本题考查解一元二次方程，解分式方程，掌握解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 27．（2026•闵行区三模）解方程：． 【分析】观察可得方程最简公分母为（x2﹣9）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验． 【解答】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：（1分） 4x＝x2﹣9+2（x+3）﹣2（x﹣3），（2分） 整理得：x2﹣4x+3＝0，（2分） 解得：x1＝1，x2＝3，（3分） 经检验：x2＝3是原方程的增根，（1分） 所以，原方程的解为x＝1．（1分） 【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解； （2）解分式方程一定注意要验根． 28．（2025秋•闵行区期末）解方程：2x（x2﹣1）． 【分析】方程利用公式法求解即可． 【解答】解：原方程整理得： 0， ∵a，b＝﹣2，c， ∴b2﹣4ac20＞0， ∴x， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键． 29．（2025秋•浦东新区期末）解方程： （1）（2x﹣5）2+5（5﹣2x）+6＝0； （2）． 【分析】（1）利用完全平方公式展开、合并同类项将方程化为标准形式，再用因式分解法求解； （2）先去分母转化为整式方程，同时要检验分母不为零，排除增根． 【解答】解：（1）（2x﹣5）2+5（5﹣2x）+6＝0， 4x2﹣20x+25+25﹣10x+6＝0， 4x2﹣30x+56＝0， 2x2﹣15x+28＝0， （2x﹣7）（x﹣4）＝0， 2x﹣7＝0或x﹣4＝0， 解得，x2＝4； （2）， 4x﹣（x2﹣9）＝2（x﹣3）﹣2（x+3）， x2﹣4x﹣21＝0， （x﹣7）（x+3）＝0， 解得x＝7或x＝﹣3． 检验：当x＝﹣3时，（x+3）（x﹣3）＝0，所以x＝﹣3是增根，舍去； 故方程的解为x＝7． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，解分式方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 30．（2025秋•普陀区校级月考）解方程：． 【分析】利用公式法解方程即可． 【解答】解：， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了求解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 31．（2025秋•徐汇区校级月考）解方程： （1）．（配方法） （2）． 【分析】（1）利用配方法的步骤：先将二次项系数化为1，再通过移项、配方将方程转化为完全平方式，进而求解； （2）通过判断判别式的符号确定方程有实数根，再代入一元二次方程的求根公式计算求解． 【解答】解：（1）原方程整理得x2﹣6x﹣10＝0， （x﹣3）2﹣19＝0， （x﹣3）2＝19， ， ； （2）， ， ， ， ． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法（配方法、公式法），熟练掌握不同解法的步骤和公式是解题的关键． 32．（2025秋•浦东新区校级期中）解下列方程： （1）5（x﹣3）＝2x（x﹣3）； （2）（2x+1）2﹣7（2x+1）＝﹣12； （3）解关于x的方程：x2﹣x+n＝2（用配方法）； （4）． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）5（x﹣3）＝2x（x﹣3）， 5（x﹣3）﹣2x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（5﹣2x）＝0， x﹣3＝0或5﹣2x＝0， ∴x1＝3，； （2）（2x+1）2﹣7（2x+1）＝﹣12， （2x+1）2﹣7（2x+1）+12＝0， 令t＝2x+1，则t2﹣7t+12＝0， （t﹣3）（t﹣4）＝0， t﹣3＝0或t﹣4＝0， 解得t1＝3，t2＝4， ∴2x+1＝3或2x+1＝4， 解得x1＝1，； （3）x2﹣x+n＝2， x2﹣x＝2﹣n， ， ， ①当，即， 则， ∴，； ②当，即，方程无实数根； 综上所述，当时，，；当时，方程无实数根； （4） a＝1，，c＝1， ， ∴， ∴，． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的因式分解法，公式法和配方法是解题的关键． 33．（2025秋•嘉定区校级期中）解方程：． 【分析】根据因式分解法求解一元二次方程即可． 【解答】解：， ， ， x﹣1＝0或， 解得x1＝1，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 34．（2025秋•浦东新区校级期中）（1）解不等式：． （2）解方程：3x（x﹣2）＝2﹣x． 【分析】（1）通过移项、合并同类项将含x的项集中，再根据不等式性质化简即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x﹣2x， 移项得，xx＜2， 合并同类项得，（）x＜2， 系数化为1，x， 分母有理化，x， x x＞﹣22； （2）3x（x﹣2）＝2﹣x， 3x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝0， （x﹣2）（3x+1）＝0， ∴x﹣2＝0，3x+1＝0， ∴x1＝2，x2． 【点评】本题考查了解不等式的变形规则、分母有理化，以及解一元二次方程的因式分解法，熟练掌握不等式变形时的符号规则、方程的因式分解降次方法是解题的关键． 【考点4】解一元二次方程应用（第35-39题） · 新定义方程：严格按定义列方程，再用已有方法解 · 根式根求系数：将根移项平方展开，对照ax2+bx+c=0得系数 · 换元法：设t=含x的整体，解出t后再求x，注意Δ≥0取舍 · 平均数法：(x-a)(x-b)=c化为(x-)2=c+()2 35．（2025秋•徐汇区校级期中）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 【分析】（1）先表示出（x﹣2）2＝3，再展开，得到2x2﹣8x+2＝0，即可得到结果； （2）先表示出（x﹣1）2＝2，再展开x2﹣2x＝1，即可得到结果； （3）先表示出（2x+1）2＝5，再展开x2+x＝1，代入求值即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴（x﹣2）2＝3， ∴x2﹣4x+4＝3，即2x2﹣8x+2＝0． ∴b＝﹣8，c＝2； （2）∵， ∴， ∴（x﹣1）2＝2， ∴x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+7＝8． （3）∵， ∴， ∴（2x+1）2＝5， ∴x2+x＝1， ∴3x3+6x2+2025＝3x2+3x+2025＝2028． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． 36．（2026春•潜山市期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为“有爱方程”的根； （3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值． 【分析】（1）根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到a、b、c的数量关系，将b用含a和c的代数式表示出来并代入方程，再利用公式法证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含a的代数式表示出来并代入原方程，并把x＝a代入，得到关于a的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【解答】解：（1）一元二次方程3x2+4x+1＝0为“有爱方程”，理由如下： ∵a＝3，b＝4，c＝1， ∴b＝a+c． ∴一元二次方程3x2+4x+1＝0为是有爱方程． （2）方法一：证明：把x＝﹣1代入方程，得 左边＝a﹣b+c． ∵方程是有爱方程， ∴b＝a+c． 移项，得a﹣b+c＝0， ∴左边＝右边． ∴x＝﹣1是原方程的解． 方法二：∵方程是有爱方程， ∴b＝a+c． ∴原方程为ax2+（a+c）x+c＝0． b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac ＝（a﹣c）2≥0． ，x2＝﹣1． ∴x＝﹣1是原方程的解． （3）∵3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”， ∴﹣a＝b+3（1）， ∵a是该“有爱方程”的一个根． ∴3a2﹣a2+b＝0（2）． 由（1）得b＝﹣3﹣a（3）． 把（3）代入（2），得 3a2﹣a2﹣3﹣a＝0． 化简，得2a2﹣a﹣3＝0 解得，a2＝﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程的解，掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． 37．（2025秋•绥化校级期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是x2+3x﹣4＝0　 ； （2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值； （3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为　2025　 ． 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程x2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+1＝0，把x＝﹣1代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程为x2+x﹣6＝0，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【解答】解：（1）方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是：x2+3x﹣4＝0； 故答案为：x2+3x﹣4＝0； （2）由条件可倒方程为cx2﹣2x+1＝0， 把x＝﹣1代入方程， 得c+2+1＝0， ∴c＝﹣3； （3）由题意得：方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程为x2+x﹣6＝0， ∵m是方程x2+x﹣6＝0的一个实数根， ∴m2+m﹣6＝0， ∴m3+m2﹣6m+2025＝m（m2+m﹣6）+2025＝2025． 故答案为：2025． 【点评】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． 38．（2025秋•白塔区校级期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足：a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知ax2﹣3x+c＝0是关于x的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是 x2﹣3x+2＝0　 ； （3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 【分析】（1）由于x＝1时，4x2﹣11x+7＝0，所以判断x＝1为方程的解，然后根据新定义得到一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是“黄金方程”； （2）根据“黄金方程”的定义和一元二次方程解的定义得到a﹣3+c＝0，4a﹣6+c＝0，然后解方程组求出a、c，从而确定这个“黄金方程”； （3）根据“黄金方程”的定义和一元二次方程解的定义得到3﹣m+n＝0，3m2﹣m2+n＝0，然后解方程组即可． 【解答】解：（1）一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是“黄金方程”． 理由如下： 当x＝1时，4x2﹣11x+7＝0，则x＝1为方程的解， ∴一元二次方程4x2﹣11x+7＝0是“黄金方程”； （2）∵ax2﹣3x+c＝0是关于x的“黄金方程”， ∴a﹣3+c＝0， 把x＝2代入ax2﹣3x+c＝0得4a﹣6+c＝0， 解得a＝1，c＝2， ∴这个“黄金方程”为x2﹣3x+2＝0； 故答案为：x2﹣3x+2＝0； （3）∵3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”， ∴3﹣m+n＝0， 即n＝m﹣3， ∵m是此方程的一个根， ∴3m2﹣m2+n＝0， 即2m2+m﹣3＝0， 解得m1，m2＝1， 即m的值为或1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 39．（2025秋•陇南期末）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4． 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4， （x+4）2﹣42＝4， （x+4）2＝20， 直接开平方，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40， （x+a）2﹣b2＝40， （x+a）2＝40+b2， 直接开平方，得x1＝2，x2＝﹣12． 上述解题过程中的a，b所表示的数分别是　5　 ，　3　 ； （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 【分析】（1）根据“平均数法”的定义求解即可得出a、b的值； （2）根据“平均数法”的定义求解即可． 【解答】解：（1）（x+2）（x+8）＝40， 原方程可变形得[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40， （x+5）2﹣32＝40， （x+5）2＝40+32＝49， 直接开平方得x1＝2，x2＝﹣12， 故a＝5，b＝3， 故答案为：5，3． （2）（x﹣2）（x+6）＝4， 原方程可变形得[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4， （x+2）2﹣42＝4， （x+2）2＝4+42＝20， 直接开平方得，． 【点评】本题考查解一元二次方程、平方差公式，熟悉一元二次方程的解法，理解“平均数法”解一元二次方程的方法是解答的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次根式结果必须化到最简，分母不能含根号 · 化简求值先看已知条件能否平方出x2+px=q，整体代入最简便 · 解一元二次方程优先因式分解，不行再公式法，配方法按步骤写 · 分式方程必须验根，使分母为0的根是增根 · 新定义题不要慌，严格按题目给的定义翻译成方程即可 【作业 1】（2026春•虹口区校级月考）已知，则的值为（　　） A． B．2 C．或2 D．或2 【分析】依据题意，设m，n，且m≥0，n≥0，则m2＝3x+2，n2＝5x﹣4，从而3﹣x，故m﹣n，可得（m﹣n）[m+n﹣2]＝0，进而分类讨论计算可以得解． 【解答】解：由题意，设m，n，且m≥0，n≥0， ∴m2＝3x+2，n2＝5x﹣4． ∴3﹣x． ∴m﹣n． ∴（m﹣n）[m+n﹣2]＝0． 若m＝n，则， ∴3x+2＝5x﹣4， ∴x＝3． ∴m＝n， ∴2． 若m≠n，则m+n﹣2＝0，即m+n＝2， ∴m+n＝2． 综上，2或2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【作业 2】（2025秋•松江区期末）已知a+b＝﹣2，ab＝1，则化简求的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【分析】把原式根据二次根式的性质计算化简，代入计算即可． 【解答】解：∵a+b＝﹣2，ab＝1， ∴a＜0，b＜0， ， 当a+b＝﹣2，ab＝1，原式＝﹣1×（﹣2）＝2， 故选：B． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【作业 3】（2021春•浦东新区校级期中）设x、y都是负数，则等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据x、y都是负数，可以将所求式子变形，然后即可化简题目中的式子，本题得以解决． 【解答】解：∵x、y都是负数， ∴ ＝﹣（﹣x+2y） ＝﹣（）2， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的化简求值、二次根式有意义的条件，解答本题的关键是明确题意，利用二次根式的性质解答． 【作业 4】（2025秋•嘉定区校级月考）若m满足关系式，则m＝ 　3　 ． 【分析】利用二次根式有意义的条件得到1﹣x﹣y≥0且x﹣1+y≥0，则x+y＝1，所以0，则3x+5y﹣2﹣m＝0且2x+3y﹣m＝0，然后解方程组即可． 【解答】解：根据题意得1﹣x﹣y≥0且x﹣1+y≥0， ∴x+y＝1， 即x＝1﹣y， ∴0， ∴3x+5y﹣2﹣m＝0且2x+3y﹣m＝0， 即3（1﹣y）+5y﹣2﹣m＝0且2（1﹣y）+3y﹣m＝0， ∴2y﹣m+1＝0且y+2﹣m＝0， 解得m＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质和二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【作业 5】（2022秋•嘉定区月考）当时，代数式x2﹣4x+4的值是 　2017　 ． 【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：∵x＝2， ∴x﹣2， ∴（x﹣2）2＝2017， ∴x2﹣4x+4＝2017， 故答案为：2017． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 【作业 6】（2024秋•虹口区校级月考）已知，则代数式a4+4a3+5a+1的值为 　　 ． 【分析】利用完全平方公式把原式变形，把a的值代入计算即可． 【解答】解：a4+4a3+5a+1 ＝a4+4a3+4a2﹣4a2+5a+1 ＝a2（a2+4a+4）﹣4a2+5a+1 ＝a2（a+2）2﹣4a2+5a+1， 当a2时，原式＝a2（2+2）2﹣4a2+5a+1＝5a2﹣4a2+5a+1＝a2+5a+1＝（a+2）2+a﹣3＝52﹣3， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值、整式的加减，掌握完全平方公式是解题的关键． 【作业 7】（2022秋•虹口区校级月考）已知3，则的值为 　2　 ． 【分析】根据已知可得（5）（3）＝0，从而可得5，进而可得a＝25b，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：∵3， ∴（）2315（）2， ∴（）2﹣215（）2＝0， ∴（5）（3）＝0， ∵30， ∴50， ∴5， ∴a＝25b， ∴ ＝2． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【作业 8】（2025•射洪市校级二模）先化简，再求值． （6x）﹣（4y），其中x，y． 【分析】首先把二次根式进行化简，然后再去括号合并同类二次根式，再代入xy的值即可． 【解答】解：原式＝（63）﹣（46）， ＝6346， ， 当x，y时，xy1， 则原式＝﹣1． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是正确化简二次根式． 【作业 9】（2025秋•金山区期中）先化简，再求值：，其中a＝3，． 【分析】把分子变形后再约分即可得到答案． 【解答】解： （） ＝0； ∴当a＝3时，原式＝0． 【点评】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 【作业 10】（2024秋•浦东新区校级月考）化简：（）． 【分析】先在实数范围能因式分解，约分后，再进一步先把括号内的通分计算，再算除法，最后算减法． 【解答】解：原式（） （1） 1 ＝﹣1． 【点评】此题考查二次根式的混合运算，根据算式的特点，灵活运用因式分解，二次根式的性质化简． 【作业 11】（2024春•普陀区校级月考）已知2，求的值． 【分析】利用已知结合完全平方公式求出x234，进而代入求出即可． 【解答】解：∵2， ∴（）2＝4， ∴x6， ∴（x）2＝36， ∴x234， ∴4． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确利用完全平方公式是解题关键． 【作业 12】（2025秋•杨浦区期末）解不等式：x﹣2x． 【分析】直接利用一元一次不等式的解法计算得出答案． 【解答】解：x﹣2x （）x≥2， 故x， 解得：x≤﹣4． 【点评】此题主要考查了二次根式的应用以及一元一次不等式的解法，正确解不等式是解题关键． 【作业 13】（2025秋•浦东新区校级月考）解不等式：． 【分析】先移项，然后系数化为1，然后分母有理化，即可． 【解答】解：， 移项得：， ∵， ∴， ∴系数化为1得，， 分母有理化得，． 综上所述不等式的解集为． 【点评】本题考查解一元一次不等式，二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握解不等式，二次根式分母有理化． 【作业 14】（2025秋•闵行区校级月考）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为5：3． （1）围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ （2）围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【分析】（1）根据算术平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【解答】解：（1）∵“混天绫”围成一个面积为400 平方分米的正方形， ∴正方形的边长为20分米， ∴“混天绫”的总长度20×4＝80分米． 答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是80分米． （2）能，理由如下： 设长方形的长为5x分米，宽为3x分米， 依题意得 5x•3x＝285， 解得或， ∵x＞0， ∴， ∴长方形的长为分米，宽为分米， ∴长方形的周长为， ∵， ∴， ∴围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长． 【点评】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． 【作业 15】（2025秋•青浦区校级期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为2m，宽为2m，广场中间有两块大小相同的小长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为（23）m，宽为（23）m． （1）求广场的周长； （2）除绿地部分，广场其他部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 【分析】（1）根据矩形的周长公式列式，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据铺地砖的面积等于矩形广场的面积减两个绿地的面积列式，再利用二次根式的混合运算法则化简，再乘以50 元/平方米的价格，即可求出铺地砖的费用． 【解答】解：（1）∵矩形广场长为米，宽为米， ∴矩形广场的周长为2×（22）＝2×（1214）＝（2428）（米）． （2）由题意可知，铺地砖的面积为： （平方米）， ∵铺地砖的费用为50元/平方米， ∴这个广场铺地砖的费用为：元． 【点评】本题考查了二次根式的性质及混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【作业 16】（2025秋•浦东新区校级期末）解方程：2（2x﹣1）2﹣4＝﹣x（x+11）． 【分析】先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为3x+2＝0或3x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：2（2x﹣1）2﹣4＝﹣x（x+11）， 8x2﹣8x+2﹣4＝﹣x2﹣11x， 9x2+3x﹣2＝0， （3x+2）（3x﹣1）＝0， 3x+2＝0或3x﹣1＝0， 所以x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【作业 17】（2025秋•崇明区校级期中）解方程： （1）3（x﹣1）2＝x2﹣1； （2）． 【分析】（1）移项、因式分解求解即可； （2）去分母化为整式方程，再求解，最后要检验分母是否为0即可． 【解答】解：（1）3（x﹣1）2＝x2﹣1， 3（x﹣1）2﹣（x2﹣1）＝0， 3（x﹣1）（x﹣1）﹣（x﹣1）（x+1）＝0， （x﹣1）[3（x﹣1）﹣（x+1）]＝0， （x﹣1）[3x﹣3﹣x﹣1]＝0， （x﹣1）[2x﹣4]＝0， ∴x﹣1＝0或2x﹣4＝0， ∴x1＝1，x2＝2； （2） 去分母得，x（x+2）﹣（x﹣2）＝8， 展开并整理得，x2+2x﹣x+2＝8， x2+x﹣6＝0， 因式分解得，（x+3）（x﹣2）＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝2， 检验x＝2时，原分母x﹣2＝0，是增根，舍去， 最终解为x＝﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程和分式方程的解法，熟练掌握一元二次方程和分式方程的解法是解题的关键． 【作业 18】（2025春•闵行区校级期中）解关于x的方程：7﹣bx2＝x2+6（b≠﹣1）． 【分析】先变形，再利用直接开平方法求解可得． 【解答】解：7﹣bx2＝x2+6， x2+bx2＝7﹣6， （1+b）x2＝1， ∵b≠﹣1， ∴b+1≠0， ∴x2， 当b＞﹣1时，， 当b＜﹣1时，方程无实数根． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【作业 19】（2025秋•杨浦区期中）（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）　②　 （①消元，②降次） （2）解方程：； （3）若实数a是方程（x2+x）2+2（x2+x）﹣8＝0的根，求a2+a的值． 【分析】（1）解一元二次方程的基本思想是“降次”，选②； （2）提取公因式并因式分解，降次求解得三个根； （3）换元后解方程，结合判别式得a2+a＝2． 【解答】解：（1）②， 故答案为：②； （2）原方程分解因式可得． ∴x＝0或， 方程，因式分解可得． ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为：； （3）设t＝x2+x，则t2+2t﹣8＝0． ∴（t+4）（t﹣2）＝0， 解得t1＝﹣4，t2＝2． 当t＝﹣4时，x2+x+4＝0， ∵Δ＝1﹣16＝﹣15＜0，无实数根． 当t＝2时，x2+x﹣2＝0有实数根． 因为a是方程的根， ∴a2+a＝2． 【点评】考查一元二次方程解法（因式分解、换元法）及降次思想．关键是因式分解降次、换元简化方程，易错点是漏项和忽略判别式． 【作业 20】（2025秋•黄浦区校级月考）中国古代数学家很早就会利用数形结合思想来解决生活中的一些问题． 杨辉是我国南宋时期的数学家，一次他画了一张“弦图”，解决了如下问题：一块长方形田地的面积是864平方步，已知它的宽比长少12步，问长与宽是多少？（注：“步”是长度单位，“平方步”是面积单位．1步＝5尺） 解：设宽为x步，则长为（x+12）步，得方程①x（x+12）＝864　 ． 如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形，由题目条件可知小正方形面积是②　144　 平方步，大正方形面积是③　3600　 平方步，于是矩形的长与宽的和是④　60　 步，得到宽（即x的一个正数解）为⑤　24　 步．（在对应序号处填空，写在答题纸上） 请你仿造杨辉的“画图”方法，解方程x2+6x﹣616＝0（求出一个正数解即可）． （注意：画出示意图，所画图上要有必要数据标记） 【分析】结合杨辉的“画图”方法和矩形和正方形面积公式得出结论；仿造杨辉的“画图”方法解方程． 【解答】解：设宽为x步，则长为（x+12）步，得方程①x（x+12）＝864； 由题目条件可知小正方形面积是12×12＝144（平方步）； 大正方形面积是4×864+144＝3600（平方步）； 于是矩形的长与宽的和是x+x+1260， ∴矩形的宽为x＝（60﹣12）÷2＝24（步）． 故答案为：①x（x+12）＝864；②144；③3600；④60；⑤24； ∵x2+6x﹣616＝0， ∴x2+6x＝616， ∴x（x+6）＝616，如图所示： ∴S小＝6×6＝36；矩形的面积S＝616， ∴[x+（x+6）]2＝36+616×4＝2500， ∴x+（x+6）＝50， ∴x＝22． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，充分理解杨辉的“画图”方法是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $