平面向量与复数专项训练试卷-2027届高三数学一轮复习

平面向量与复数章节测试卷 （满分 150 分　考试时间 120 分钟） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平行四边形中，（     ） A． B． C． D． 3．已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（    ） A． B． C． D． 4．向量，的夹角为，，，则（   ） A． B． C．3 D．7 5．已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 6．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在中，，，，D是边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 8．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知向量满足，，则（    ） A．与的夹角为 B．与的夹角为 C． D． 10．已知是复数，且为纯虚数，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在实轴上 D．的最大值为 11．在 中，，．设点 满足（），则（　　） A．若 ，则点 在直线 上 B．点 在线段 上的充要条件是 且 ， C．若 ，则点 到直线 的距离为 D．若 ，则 的最大值为 ．（6分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知平面向量，若，则__________. 13．已知 是平面内的一组基底，且 ，．若 与 共线，则 ________．（5分） 14．已知，，，当的最小值为1时，在上的投影向量为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数 （）满足 ． （1）求 的取值范围； （2）求 的取值范围．（13分） 16．设的内角，，所对的边分别为，，，已知．（15分） (1)求角； (2)若，，且，求的面积． 17．在中，．（15分） (1)求； (2)若，求的周长． 18．在 中，，． 设 为 的中点，点 满足 （）． （1）用 表示 ，并求 ； （2）当 时，求 的取值范围．（17分） 19．如图，将直角坐标系一般化可得到斜坐标系，设，，记此坐标系为α—坐标系．设正向的单位向量分别为，，若，则．（17分） (1)在α—坐标系中，设，若，求； (2)在坐标系中，分别为轴正半轴和轴正半轴上的动点，，，，，与交于点F． （i）设和四边形的面积分别为，求； （ii）求的最大值． $平面向量与复数章节测试卷 （满分 150 分　考试时间 120 分钟） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 的实部为 、虚部为 ，对应的点为 ， 横坐标为正、纵坐标为负，位于第四象限，选 D． 2．在平行四边形中，（     ） A． B． C． D． 【答案】B 由向量加法的三角形法则，， 故 ，选 B． 3．已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 由题意 ，． 因为 ，， 所以 ，选 B． 4．向量，的夹角为，，，则（   ） A． B． C．3 D．7 【答案】A ． 由 ， 得 ，选 A． 5．已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 由向量加法的三角形法则，， 所以 ． 又 ，所以 ，即 ． 因为 与 有公共点 ，所以 三点共线，选 C． （A、B 项： 与 的系数不成比例， 不共线； 同理 与 也不成比例，故 不共线．） 6．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 因为 与 共线，所以存在唯一实数 ，使 ， 即 ． 由 是两个不共线的单位向量（可作为一组基底）， 由平面向量基本定理，对应系数相等： ，且 ． 所以 的值为 ，选 B． 7．如图，在中，，，，D是边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 由 得 ， 所以 ． 又 ，且 ， 所以 ，选 C． 8．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 由 ． 设 ，，则 ，． 由 ， 的夹角为 ，可知 与 的夹角为 ， 即 ． 由 ，得 四点共圆， 该圆过 ，，，圆心在 轴上， 设圆心 ，由 得 ，解得 ， 故轨迹圆为 ，圆心 ，半径 ． 又 ，令 ，则 ， 由 ， 所以 的最大值为 ，选 A． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知向量满足，，则（    ） A．与的夹角为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 设 与 的夹角为 ． 由 ， 代入 得 ，故 ， 所以 ，A 正确、B 错误； C：， 故 ，C 正确； D：， 所以 ，D 正确． 综上选 ACD． 10．已知是复数，且为纯虚数，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在实轴上 D．的最大值为 【答案】ABD 设 （），则 ． 由 为纯虚数，得 且 ． A：，故 A 正确； B：，故 B 正确； C： 对应点 满足 且 ，不在实轴上，故 C 错误； D： 表示点 到 的距离， 其最大值为 ，故 D 正确． 综上选 ABD． 11．在 中，，．设点 满足（），则（　　） A．若 ，则点 在直线 上 B．点 在线段 上的充要条件是 且 ， C．若 ，则点 到直线 的距离为 D．若 ，则 的最大值为 ．（6分） 【答案】ACD 由 ， 得 ． A： 与三点共线 若 ，则 ， 所以 ，即 ， 故 在直线 上，A 正确． B：点 在线段 上的充要条件 由 知， 在线段 上等价于 ． 此时 ，所以 在线段 上等价于 且 、，B 正确． C： 时点 到直线 的距离 由 、 知 是边长为 的等边三角形， 设 为 的中点，则 ，且 ． 把 沿 与 两个互相垂直的方向分解： ，． 于是 ． 因为 ，所以 到直线 的距离等于 在 方向上的分量， 即距离为 ，C 错误． D： 时 的最大值 令 ，，则 ． 而 ， 所以 ， 的最大值为 ， 而非 ，D 错误． 综上选 ACD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知平面向量，若，则__________. 【答案】 或 ． 由 得 ， 即 ，解得 或 ． 当 时 ，； 当 时 ，． 故 或 ． 13．已知 是平面内的一组基底，且 ，．若 与 共线，则 ________．（5分） 【答案】 先算两个和差向量： ， ． 因为 与 共线，所以存在实数 ，使 ． 又 是平面内的一组基底（不共线）， 由平面向量基本定理，对应系数相等： 由第一式得 ，代入第二式得 ， 即 ，解得 ． （也可用共线系数行列式为零：，同样得 ．） 14．已知，，，当的最小值为1时，在上的投影向量为________． 【答案】 ． 所以当 时， 取最小值 ， 由题意 ，得 ． 又 ，所以 ． 故 在 上的投影向量为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数 （）满足 ． （1）求 的取值范围； （2）求 的取值范围．（13分） 【答案】(1) ； (2) ． 条件转化 设 （）， 由 得 ． 即 对应的点 在以 为圆心、 为半径的圆上． （1）求 的取值范围 ，即原点 到圆上点 的距离． 因为 ，恰好等于半径，所以原点 在圆上． 所以 的最小值为 ，最大值为 ． 故 的取值范围为 ． 另解：由 可设 ，， 则 ，同样得 ． （2）求 的取值范围 由 ，，令 ． 因为 ，所以 ． 即 ． 因为 ，顶点 在区间内， 所以 的最小值为 ； 再由 在 上单调递增， 当 时取得最大值 ． 故 的取值范围为 ． 16．设的内角，，所对的边分别为，，，已知．（15分） (1)求角； (2)若，，且，求的面积． 【答案】(1) ； (2) ． （1）求 由已知 ，结合正弦定理 ，得 ． 因为 ，， 所以 ， 整理得 ． 因为 ，所以 ，即 ． 又 ，故 ． （2）求 的面积 因为 ，所以 是 的重心． 设 中点为 ，则 共线，且 ， 由 得 ，所以 ． 记 ，，．由中线长公式 ， 整理得 ． 又由 及余弦定理 ， 代入 、 得 ，所以 ． 故 ． 17．在中，．（15分） (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) ； (2) ． （1）求 在 中，由余弦定理 ， 所以 ． 又 ． 由正弦定理 ，得 ， 所以 ． （2）求 的周长 由（1），记 ，则 ． 因为 ，即 ， 又 ，所以 ，从而 ． 由 得 ， 由 及 得 ， 故 为等腰三角形，． 又 ，所以 ． 在 中，由正弦定理 ，得 ， 所以 ． 而 ，所以 ． 在 中，， ，所以 ． 故 的周长为 ． 18．在 中，，． 设 为 的中点，点 满足 （）． （1）用 表示 ，并求 ； （2）当 时，求 的取值范围．（17分） 【答案】(1) ，； (2) ． 给定条件 在 中 ，． 记 为 的中点，点 满足 （）． （1）求 及 因为 是 的中点，由向量加法的平行四边形法则， ． 两边平方得 ， 所以 ． （2）当 时，求 的取值范围 由 两边平方得 ． 由 ，令 ，，则 ． 因为 ，所以 ， 故 ． （取到端点： 即 时取最小值 ； 即 时取最大值 ．） 19．如图，将直角坐标系一般化可得到斜坐标系，设，，记此坐标系为α—坐标系．设正向的单位向量分别为，，若，则．（17分） (1)在α—坐标系中，设，若，求； (2)在坐标系中，分别为轴正半轴和轴正半轴上的动点，，，，，与交于点F． （i）设和四边形的面积分别为，求； （ii）求的最大值． 【答案】(1) ； (2)(i) ；(ii) ． 定义理解 在 —坐标系中 分别是 正向的单位向量，夹角为 ， 任意向量 记作 ． 由定义 ． （1）求 由 ，． 先算数量积 ． 再算模长： ， ． 由 ，两边平方得 ， 即 ， 化简得 ，即 ， 所以 ． 因为 且分子 决定符号，故 ， 所以 ． （2）（i）求 在 —坐标系中 ． 因为 ，所以 是 的中点，． 因为 ，所以 在 上且 ． 设 ． 又 三点共线，可设 ． 由 不共线，比较系数得 ，且 ． 解得 ，，所以 ． 设 的面积为 ． 由 知 ，故 ． 因为 是 中点，所以 ； 又 在 上且 ， 与 以直线 为公共底边、共用顶点 ， 所以 ． 四边形 的面积 ． 又 在 上、，而 是 中点， 所以 ． 所以 ． （2）（ii）求 的最大值 设 ，，． 由 得 在 上且 ，即 ， 而 ， 所以 ． 又 ， 其中 ， 展开整理得 ． 在 中 ，，由余弦定理 ，所以 ． 代入得 ． 由正弦定理 （其中 表示 ）， 得 ，． 所以 ， 用降幂公式化简得 ． 由辅助角公式 ，其中 ，取 ． 因为 ，所以当 时可取到最大值 ． 故 ． $