精品解析：江苏南京师范大学附属中学2026-2027学年第一学期高一数学限时作业（一）

高一数学限时作业 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 2. 已知高一（1）班人数比高一（2）班人数多，两个班的女生总人数比男生总人数多，则下列判断一定正确的是（ ） A. 高一（1）班女生人数比男生人数多 B. 高一（2）班女生人数比男生人数多 C. 高一（1）班男生人数比高一（2）班女生人数多 D. 高一（1）班女生人数比高一（2）班男生人数多 3. 集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 恰有一个零点在区间内，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 记 已知 ，则 的最小值为（   ） A. 2 B. C. 4 D. 3 6. 若正实数x，y，z满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 10. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，若，且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则且 B. 若，则的最小值为-1 C. 若，则有两个不同的取值 D. 不存在，使得均为正数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若x，y是正实数，，则的最小值为________. 13. 设，若对任意，恒有成立，则的最小值是___________． 14. 已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知关于x的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 16. 已知都是正数. （1）若，求的最大值； （2）若，且，求的最小值； （3）若，且存在使不等式有解，求的取值范围. 17. 数学优等生嘉俞阅读课外书籍时，了解到笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” （1）若，，求和； （2）试证明：“”是“”的充要条件； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系及应满足的条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学限时作业 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果. 【详解】命题为假命题，即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，. 故选项A中，是的充分必要条件； 选项B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要条件； 选项C中可推出，且推不出，即是的一个充分不必要条件； 选项D中推不出，且可推出，即是的一个必要不充分条件. 故选：C. 2. 已知高一（1）班人数比高一（2）班人数多，两个班的女生总人数比男生总人数多，则下列判断一定正确的是（ ） A. 高一（1）班女生人数比男生人数多 B. 高一（2）班女生人数比男生人数多 C. 高一（1）班男生人数比高一（2）班女生人数多 D. 高一（1）班女生人数比高一（2）班男生人数多 【答案】D 【解析】 【分析】设高一（1）班男生、女生人数分别为、，高一（2）班男生、女生人数分别为、，可得出，结合不等式的基本性质可得出结论. 【详解】设高一（1）班男生、女生人数分别为、，高一（2）班男生、女生人数分别为、， 由题意可得，由不等式的基本性质可得， 化简可得，即高一（1）女生人数比高一（2）班男生人数多. 故选：D. 3. 集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的性质可得，解不等式得，从而得，根据，可得，求解即可. 【详解】因为， ， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：A. 4. 恰有一个零点在区间内，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数恰有一个零点在区间内， 则需要满足： ①，，解得：； ②函数刚好经过点或者，另一个零点属于， 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，故符合题意； ③函数与x轴只有一个交点，，解得， 经检验，当时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内; 综上：实数m的取值范围为 故选：D 5. 记 已知 ，则 的最小值为（   ） A. 2 B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】通过设，得到的不等式约束，结合基本不等式求出的下界，再验证等号成立的条件，从而得到的最小值. 【详解】设，由的定义，得且（）. 将两式相加，得. 由基本不等式，（当且仅当时取等）， （当且仅当时取等）. 因此，故，即. 当时，，此时，等号成立. 故选：D 6. 若正实数x，y，z满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由条件可得， 所以，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当，且，即，，等号成立. 故选：B. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将原式化为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为4， 此时. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解答的本题的关键是将原式化为. 8. 对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案. 【详解】解：由题意得： 集合的非空子集中，除去集合，还有个非空集合，将这个子集分成两类： 第一类: 包含的子集；第二类：不包含的子集； 在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系：，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射 设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于 ，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式“1”的妙用求出最小值； B选项，，求出； C选项，平方，结合B选项，得到，求出C正确； D选项，举出反例即可. 【详解】A选项，正实数，满足， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，A正确； B选项，由基本不等式得，解得， 当且仅当，时等号成立， 故有最大值，B正确； C选项，， 由B选项知，，故， 当且仅当，时等号成立， 所以，C正确； D选项，若，满足，但，D错误. 故选：ABC 10. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由一元二次不等式的性质可得，且，即可得A、D，结合二次函数的性质可得，即可得B、C. 【详解】由题意可得， ， 即， 即有，即，， 故A正确、D错误； 令，其根为，， 结合二次函数性质可得， ，即，故B正确、C错误. 故选：AB. 11. 已知，若，且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则且 B. 若，则的最小值为-1 C. 若，则有两个不同的取值 D. 不存在，使得均为正数 【答案】ABC 【解析】 【分析】先通过展开已知等式得到关键关系式 ，再用完全平方公式整体换元，设 ，将问题转化为关于 的一元二次方程 ，最后通过代入求值及判别式分析根的情况，即可判断各选项的正确性. 【详解】因为， 所以：， ， 即，① 又由完全平方公式： 代入 ①，得 整理得② 令 ，代入②得③ 选项A：若 ，则 且 把代入③得，所以，即，所以 ， 代入①： A正确； 选项B：若 ，则 的最小值为 由 ，得： 则，代入 则 是方程 的实根， 故判别式 ，所以 所以，所以 所以，，即 因此 的最小值为 . B正确； 选项C：若 ，则 有两个不同的取值 ③的判别式： 当 时，，方程有两个不同的实根，即 有两个不同取值.C正确； 选项D：不存在 ，使得 均为正数， 假设 ，我们验证是否存在这样的： 由①得，即， 由③得，所以， 取 ，则 ， ， 要证明存在 使得 且 ， 只需说明存在 使得关于 的方程， （其中 ）有三个正实根， 令，则， 令 ，解得，, 所以极大值（在 处）： 极小值（在 处）：， 所以当 时，方程 在 上有三个不同的正实根， 这三个根即为 ，满足 ，说明存在 使得 均为正数.D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若x，y是正实数，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【详解】因为且是正实数，所以两边同时除以得， 又因为， 当且仅当，即、或、时等号成立，所以≥， 故的最小值为. 13. 设，若对任意，恒有成立，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式成立的条件确定的关系，再将其代入所求式子，最后利用基本不等式求最小值. 【详解】，若对任意，恒有成立， 当时，，此时也应满足，， 又，把代入，得， ，又，，即， ，，则， 令，，则，上式化为， 利用基本不等式可得，， 当且仅当，即等号成立， 则， 故答案为：. 14. 已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用已知条件化简不等式，再用换元法构造函数，利用柯西不等式求函数最小值，从而得出的最大值． 【详解】，， ， 原不等式化简为， ，，， ， ，，， ， 令， 令，则，则， 则， 当时， ， 当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，即，，当且仅当， 即时等号成立，此时， ， ，故最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知关于x的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【答案】（1）或 （2）（i） （ii）当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可求解； （2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解. 【小问1详解】 因为，所以不等式为即， 解得或， 所以不等式的解集为：或. 【小问2详解】 （ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上：； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：当时，解得，解集为， 情形二：当时，解得，解集为， 情形三：当时，解得，解集为. 16. 已知都是正数. （1）若，求的最大值； （2）若，且，求的最小值； （3）若，且存在使不等式有解，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）2； （3）或. 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得最值. （2）利用，展开后直接利用基本不等式求出结果. （3）利用基本不等式“1”妙用求出最小值，再由不等式有解建立不等式并求解即得. 【小问1详解】 由都是正数，得，解得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 【小问2详解】 由都是正数，且，，得 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 由都是正数，，得， 当且仅当，即时取等号，由不等式有解， 得，当时，，解得，则； 当时，，解得，无解； 当时，，解得，则， 所以的取值范围是或. 17. 数学优等生嘉俞阅读课外书籍时，了解到笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” （1）若，，求和； （2）试证明：“”是“”的充要条件； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系及应满足的条件. 【答案】（1），. （2） 证明：若，设， 由定义知：且， 因此“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性知，则， 因此“”是“”的充分条件， 所以“”是“”的充要条件. （3），，. 【解析】 【分析】（1）根据的定义直接运算求解. （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明. （3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解. 【小问1详解】 依题意，， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 则，， 可得， 当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围； 若取到最值，则，即，于是，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $