江苏南京市中华中学2026-2027学年高一上学期9月学情摸底测试数学试卷

中华中学2026级高一年级学情摸底测试 数学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的， 1.已知集合A={x一1≤x≤2}，B={x|x<I},则An(CRB)=（) A.(x>1) B.(xlx≥1} C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2} 2.若p:3x>1,x2-3x+2>0,则p的否定为() A.3x>1,x2-3x+2≤0 B.3x≤1，x2-3x+2≤0 C.x≤1,2-3x+2≤0 D.x>1,x2-3x+2≤0 3.a:x是2的倍数，B:x是6的倍数，则a是B的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D. 既不充分也不必要 4.下列说法正确的是() bb+1 A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若a>b>0,则a<a+1 C.若a>b,则a2>b2 D.若a>b,则ac2>bc2 5.下列不等式恒成立的是（) A.名+号≥2 a+b B.ab≥(2} C.a+b≥2Wab D.a2+b2≥2ab 6.若命题“x∈R,都有mx2+4x一1≠0”为假命题，则实数m的取值范围为（) A.(-4,0) B.4,+∞) C.[-4,+∞) D.[-4,0] 7.若关于x的不等式2+2m-1十m-m<0的解集为，，且时+女-2，则实数m的值为() A.-4 B.-1 C.1 D.4 8.已知A≠0且AcZ,对于k∈A,若k一1A且k十IA,则称k为A的“孤立元”，给定集合A={1,2,3, 4,5},则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（) A.10 B.11 C.12 D.13 第1页/供4页 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分， 9.下列说法中不正痈的是( 1.0与{0}表示同一个集合： B.集合(1,2,3)与{3,2,1)是两个相同的集合： 心方程(x-1)2(x一2)=0的所有解组成的集合可表示为{1,1,2)： 日.集合A={x4<x<5}可以用列举法表示。 10.下列与基本不等式有关的命题中正确的是( A.若ab=1,则a+b≥2 11 B.若a>0,b>0,a+b=1,则a+b的最小值为4 11 C.若a>0,b>0,2a+b=1,则2a+b≥4 a2 b2 D.若实数a,b满足a>0,b>0,a十b=4,则a+2+b+2的最小值为2 11..已知实数a,b满足一3<a+2b<2,一1<2a一b<4,则() 4.0的取值范围是（一1,0） B.b的取值范围是(-2,1) 、a十b的取值范围是（一2,2） D.3a,b,使得a2+b2=4 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 12.已知集合M={1,m+1,m2+1},如果2∈M,那么实数m的取值为 「3x-m≥0 13.关于k的不等式组[2x一n<0的整数解有且只有1和2，那么适合这个不等式组的整数对(m,m)共有 对. 14.已知对任意的x∈{x|x2-5x+6≤0}，yeyy-3)y-8)≤0}，不等式mx2-4y十y≥0恒成立，则 实数m的最小值是 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤 15.（13分)已知集合A={xx2-x-2=0},集合B={xax+1=0} (1)求A的子集； (2)若AUB=A,求a的值 第2页/供4页 16.(15分)已知a∈R,集合A={x2a≤x≤a+3引，B=x|x2+5x-6≤01. (1)当a=一1时，求AnB; (2)若A∩B=A,求a的取值范围. 17.(15分)已知命题p:Vx∈{x0<x<2},x2-2x+a>0,命题g:关于x的不等式ax2+2ax+1>0的 解集为R, (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围： 也)若命题p,g有且仅有一个真命题，求实数a的取值范围. 、 第3页/共4页 18.(17分)已知二次函数y=ax2+bx+c. (1)若y<0的解集为{x一3<x<4),解关于x的不等式bx+2ax一(c+3b)<0: (2)已知b=4,a>c,若y≥0对于一切实数x恒成立，并且存在x0∈R,使得a6十bx十c=0成立， 4a2+c2 ①求ac的值；②求2a-c的最小值 19.(17分)定义：设非空数集MCR,若x,y∈M,y∈M,则称M是一个“乘法封闭集”；若x∈Me M,则称x为M的一个“完美元素”.已知集合A={x=a十V7b,a∈Z,b∈Z: ()证明：A是一个“乘法封闭集”： (2)若“乘法封闭集”M恰有4个子集，求第合M (3)若m十√7(m∈Z,n∈Z☑是集合A的一个“完美元素”，求m2-7n的值， 第4页/供4页 中华中学2026级高一年级学情摸底测试 数学 本卷考试时间：120分钟总分：150分 命题人：徐朵苏锦娟 审题人：李钟全 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1.已知集合A={x-1≤x≤2}，B={xx<1},则An(CRB)=() A.{xx>1} B.{xx≥1} C.{x1<x≤2} D.{x|1≤x≤2} 【答案】D 【解析】可知CRB={xx≥1}，则A∩(CRB)={x1≤x≤2)} 2.若p:3x>1,x2-3x十2>0，则p的否定为(） A.3x>1,x2-3x+2≤0 B.3x≤1，x2-3x+2≤0 C.x≤1，x2-3x+2≤0 D.x>1,x2-3.x+2≤0 【答案】D 【解析】命题p:3x>1,x2-3x+2>0是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题P的否定为x>1,x2-3x+2≤0.故选：D 3.u:x是2的倍数，B:x是6的倍数，则a是β的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【答案】B 【解析】若x满足B,即x是6的倍数，则x必为2的倍数，即x满足，因此B→，故a是B的必要条 件； 若x满足a,即x是2的倍数，如x=2,此时x不是6的倍数，不满足B,因此atB,故α不是B的充 分条件。 综上，α是B的必要不充分条件. 4.下列说法正确的是() A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若a>b>0,则b<b+1 aa+l C.若a>b,则a>b D.若a>b,则ac2>bc2 【答案】B 【解析】 A:取a=1>0=b,0=c>-1=d,则ac=bd,错： B:由a心>b>0,则b-b+1-b+b-b-a-b-a<0,故b<b+1,对： aa+1a(a+1)a(a+1) aa+l C:若a=1>b=-2,则a2<b,错： D:取c=0,则ac2=bc2,错. 5.下列不等式恒成立的是() A.b+a≥2 B.ab≥(a+b a b 2 C.a+b≥2Vab D.a2+b2≥2ab 【答案】D 【详解】解：对于A:若a=1、b=一1时b+a=一2，故A错误； a b 对于B:因为(a-b)2≥0，所以d+b2≥2b,所以c+b2+2ab≥b,即a+b≥ab,当且仅当a=b时取等 号，故B错误； 对于C:若a=-1、b=-1时，a十b=-2<2Vabl=2,故C错误； 对于D:因为(a-b≥0，所以a2+b2-2ab≥0，即a2+b≥2b,当且仅当a=b时取等号，故D正确： 6.若命题Vx∈R,都有x2+4x一1≠0'为假命题，则实数m的取值范围为() A.(-4,0) B.[L,+∞) C.[-4,+∞) D.[-4,0] 4 【答案】C 【解析】命题Vx∈R,都有x2+4x一1≠0”为假命题，故命题“xo∈R,都有x6+4x0一1=0”为真命题， 当m=0时，4x一1=0，解得x=1,满足要求： 4 当≠0时，需满足△=16十4≥0，解得m≥一4且m≠0，综上，实数m的取值范围为[-4，十∞)， 7.若关于x的不等式x2+2(一1)x十m2-m<0的解集为(x1,x2),且1十1=2，则实数m的值为() X1X2 A.-4 B.-1 C.1 D.4 【答案】B 【解析】因为关于x的不等式x2+2(m-1)x+m-<0的解集为(x,x), 所以x1+x2=-2(-1),x1x2=m2-m,且△=4(m-1)2-42-m)>0,解得m<1, 为上+1=车+=2，所以-2m--2,解得m=-1或m=1(舍去)所以实数m的值为-1. 因为二+ X3·2 m2-m 8.已知⑦≠AcZ,对于k∈A,若k-1EA且k+1EA,则称k为A的“孤立元.给定集合A=1,2,3,4, 5},则A的所有子集中，只有一个“孤立元的集合的个数为() A.10 B.11 C.12 D.13 【答案】D 【详解】“孤立元”为1的集合为{1}，{1,3,4}，1,4,5}，1,3,4,5}， “孤立元”为2的集合为2}，{2,4,5}， “孤立元”为3的集合为3}， “孤立元”为4的集合为{4}，{1,2,4， “孤立元”为5的集合为{5}，{1,25}，{2,3,5}，1,2,3,5}， 综上：满足题意的集合有13个. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.11.已 9.下列说法中不正确的是() A.0与{0}表示同一个集合： B.集合{1,2,3}与{3,2,1}是两个相同的集合： C.方程(x一1)2(x-2)=0的所有解组成的集合可表示为1,1,2}： D.集合A=x4<x<5}可以用列举法表示. 【答案】ACD 【解析】0是元素不是集合，{O}表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合{1,2,3}与3,2,1}的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确： 方程(x一1)2(x一2)=0的所有解组成的集合可表示为1,2}，集合中的元素是不同的，故C错误： 集合{x4<x<5}表示大于4小于5的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示， 故D错误.故选：ACD 10.下列与基本不等式有关的命题中正确的是() A.若ab=1,则a+b≥2 B.若a>0,b>0,1+=1,则a+b的最小值为4 a b c若a>0,b>0,2a+b=1,则1+≥4 2a b D.若实数，b满足a>0,6>0.a+6=4,则4+2的最小值为2 a+2b+2 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合特例法、换元法逐一判断即可 【详解】A:当a=b=-1时，显然满足ab=1,但是a+b≥2不成立，所以本选项的命题是假命题； B:因为a>0.b>0,+=1. a b a b b a ,即a+b≥4， 当且仅当 分。时取等号，所以当a=b=2时，a+b的最小值为4，因此本选项的命愿是真命思： c:因为a>0,b>0,2a+b=1, 2a b 当且仅 名=29时取等号，即当且仅当a= 2a6 6二时取等号，因此本选项的命愿是真命愿 2 D:设a+2=m,b+2=n, 因为a>0,b>0,a+b=4, 所以m>2,n>2,m+n=8, a+2'b+2m n m n 8 因为4n+4m≥2,4.4m=8,当且仅当 4n 4m 时取等号， m nm n m n 所以有Q21b ≥2，当且仅当m=n=4时取等号， a+2b+2 即当且仅当a=b=2时取等号，因此本选项命题是真命题， 故选：BCD 11.己知实数a,b满足-3<a+2b<2,-1<2a-b<4,则() A.a的取值范围是(-1,0) B.b的取值范围是(-2,1) C.a十b的取值范围是(-2,2) D.a,b,使得a2+b2=4 【答案】BCD 【解析】由题意a=1[(a+2b)十2(2a-b],因为-2<2(2a-b)<8,-3<a+2b<2, 所以-5<(a+2b)+2(2a-b)<10,所以-1<a<2,即a的取值范围是(-1,2)，A错误： b=1[2(a+2b)-(2a-b],因为-6<2(a+2b)<4,-4<-(2a-b)<1, 所以-10<2(a十2)-(2a-b)<5,所以-2<b<1,即b的取值范围是(-2,1)，故B正确： 设a+b=m(a+2b)十(2a-b)=(+2m)a+(2l-1)b, m=3 +2=1 5 则2m-n=1'解得n=L,则a+b=3a+2b)+l(2a-b), 5 5 因为-9<3a+2b<6,-1<1(2a-b)<4, 55 555 5 所以-9-1<a+b=3(a十2b)十1(2a-b)<6+4,即-2<a+b<2,故C正确： 55 5 5 55 因为-3<a十2b<2,-1<2a-b<4,所以0≤(a+2b)2<9,0≤(2a-b)2<16, 所以a2+b2=[(a+2b)2+(2a-b)]∈[0,5)， 故存在a,b,使得a+b2=4,故D正确.故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12.已知集合M={1,m+1,m2+1},如果2∈M,那么实数m的取值为 【答案】-1 【解析】因为集合M={1,m十1，m2+1},如果5∈M, 所以m+1=2或m2+1=2,解得m=±1， 当m=1时，M={1,2,2:不满足集合元素的互异性，舍 当m=一1时，M={1,0,2}:所以实数m的取值为1 3x-≥0 13.关于x的不等式组2x一n<0的整数解有且只有1和2，那么适合这个不等式组的整数对m,四共有 对 【答案】6 3x-20 3x一20 【解析】由2x-n<o有解可得m≤x<”,又关于x的不等式组2x一n<0的整数解有且只有1和2，所以 3 2 [0<1 3 2<”3,解得0<m≤3且4<1≤6，又m,n∈乙，所以m=1,2,3,n=5,6,所以适合这个不等式组的 2 整数对m,)可以是(1,5)、(1,6)、(2,5)、(2,6)、(3,5)、(3，，共有6对. 14.己知对任意的x∈{x|x2-5x+6≤0}，y∈{y(y-3)(y-8)≤0}，不等式x2-4xy十y2≥0恒成立，则 实数m的最小值是 【答案】4 【解折1由x∈{r-5x+6≤0∈0-3)0-8)s0},可得：x∈[2,3y3,8,则上∈[ x3’2 安小4小又mg+y20,指m智兰1之到测联思运等价于对切 t=[1,4],m≥4t-t2恒成立，·y=4t-t2的开口向下，对称轴t=2,则当t=2时，y=4t-t2取到最 大值yag=8-4=4,所以≥4，故实数m的最小值是4.故答案为：4 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤. 15.(13分)已知集合A={xx2-x-2=0},集合B={xm+1=0} (1)求A的子集： (2)若AUB=A,求a的值， 【详解】(1)解方程x2-x一2=0得，x=-1或x=2 因此集合A={一1,2}，. .2分 其子集为0，{-1}，{2}，{-1,2} .6分 (子集对一个给1分) (2)因为AUB=A,所以BCA,8分 ①当a=0时，B=O,此时BcA符合题意. 10分 ②当a≠0时，因为B={xax+1=0},此时易知B={-1》 要使得BcA,即-1=-1或-1=2，解得，a=1或a=-1 .12分（对一个给1分) 综上所述，要使得AUB=A,则a=0或a=1或a=一1. .13分 2 16.（15分)已知a∈R,集合A={x2a≤x≤a+3},B={xx2+5x-6≤0}. (1)当a=-1时，求A∩B (2)若AnB=A,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=-1时，A={x|-2≤x≤2} B={xx2+5x-6≤0}={x(x-1)x+6)≤0}={x-6≤x≤1}， 3分 故A∩B=x|-2≤x≤1}： .6分 (2)由A∩B=A知ACB .8分 当A=②时，2a>a+3,解得a>3: .11分 2a≤a+3 当A卡0时，1 a十3≤1，解得-3≤a≤-2. ..14分 2a≥-6 综上所述，实数a的取值范围为[-3，一2]U(3,十∞)… ..15分 17.(15分)已知命题p:Vx∈{x0<x<2},x2-2x+a>0,命题q:关于x的不等式m2+2ax十1>0的 解集为R, (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p,q有且仅有一个真命题，求实数a的取值范围。 【解析】(1)当命题卫为真命题时，a>-x2+2x,x∈(0,2) 2分 因为-x2+2x=-(x-1)2+1≤1（当x=1时取等号），所以a>1. 所以命题p为真命题，则实数a的取值范围为(1，十∞). 6分 (2)命题q为真命题，则a=0 .7分 a≠0 或1△=(2a2-4a<0: 所以q为真，得0≤a<1 9分 若p真q假，则a>1: 若q真p假，则0≤a<1 …14分 (以上两段写对一段给3分，两段都对给5分) 所以命题p,q有且仅有一个真命题时，a∈[0,1)U(1,十∞）.15分 18.(17分)已知二次函数y=2十bx十c (1)若y<0的解集为{x|-3<x<4},解关于x的不等式bx2+2ax-(c+3b)<0: (2)已知b=4,a>c,若y≥0对于一切实数x恒成立，并且存在xo∈R,使得i+bx十c=0成立，①求 ac的值；②求4+c的最小值. 2a-c 【解析】(1)因为fx)<0的解集为{x-3<x<4}, a>0. 2分 -3+4=-b b=-a 所以 a k=-12m.5分 -3X4=c a 所以-m2+2r-(-12a-3a）<0→-r2+2m+15a<0-x2-2x-15>0 =x<-3或x>5, 所以关于x的不等式bx2+2r-(c+3b)<0的解集为(-∞，-3)U(5,+∞)：.7分 (2)①当b=4时，fx)=m2+4x+c, 因为fx)≥0对于一切实数x恒成立， a>0 a>0 所以1△=4-4ac≤0Plac≥4 9分 因为存在x0∈R,使得mi十bx0十c=0成立， 所以42-4aC≥0，即ac≤4，.......11分 而ac≥4所以有a0=4,.....12分 ②因为a>0,a>c,… 13分 所以4+c2-(2a-c)2+4c-=(2a-c)+16≥2 (2a-c）·16=8, 15分 2a-c 2a-c 2a-c 2a-c 当且仅当2a-c=16时取等号，即当a=1+V3,c=23-2取等号，16分 2a-c 所以42+c2的最小值为8. 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。 17分 2a-c 19.(17分)定义：设非空数集MR,若x,y∈M,xy∈M,则称M是一个“乘法封闭集”；若x∈M,1∈ M,则称x为M的一个“完美元素”.己知集合A={xx=a十V7b,a∈Z,b∈Z}: (1)证明：A是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集M恰有4个子集，求集合M; (3)若m十V7m∈Z,n∈Z是集合A的一个“完美元素”，求m2-7m的值 【解析】(1)设x1,3∈A,则x1=a十V7b1,x2=a2十V7b2,M,a2,b1,b∈Z, 所以x1x=a1+7b1b十V7(ab十ab1）,3分 因为a1,am,b1,b2∈Z,所以ma2十7b1b2∈Z,a1b2+ab1∈Z,所以x1x2∈A, 所以A是一个“乘法封闭集” ...5分 (2)根据题意，M中恰有2个元素，不妨设M={x,y},..7分 由“乘法封闭集的定义可知，Xy∈M,x2∈M,y∈M,9分 由xy∈M,得xy=x或y=y,即xy-1)=0或y(x-1)=0,所以0∈M,或1∈M, 若令x=0,则M={0,y},所以y2=y,解得y=1(y=0舍去)，此时M={0,1 若令x=1,则M={1,y},所以y2=y或y2=1,解得y=0或v=一1(y=1舍去)，此时M={0,1}, 或M={-1,1},综上，M={0,1},或M={-1,1. ....12分 (写对一个给2分，两个都对给3分) (3)因为m十V7(m∈Z,n∈Z)是集合A的一个“完美元素”， 所以1=m-V7n=+7.-∈A, u+V7n(0+V7m)0-V7)m2-7rm2-7m2 所以 一n∈Z,且m,n不同时为0， 2-7m22-72 (my-7(-nP=m2-7m2=1eZ, 14分 m2-7n22-7m20m2-7n2m2-7n2 因为2-72∈Z,所以m2-7m=1,或m2-7n2=-1 假设m2一7=一1，则m2+1=7m2,即m2+1为7的倍数， 设k∈Z,若m=7k,则m2+1=49k2+1,不是7的倍数： 若m=7k+1,则m2+1=49k2+14k+2=7(7k2+2为+2，不是7的倍数： 若m=7k+2,则m2+1=49k2+28k+5=7(7k2+4+5,不是7的倍数： 若m=7k+3,则2+1=49k2+42k+10=7(7k2+6k+1)+3,不是7的倍数： 若m=7k+4,则m2+1=49k2+56k+17=7(7k2+8k+2)+3,不是7的倍数： 若m=7k+5,则m2+1=49k2+70k+26=7(7k2+10k+3)+5,不是7的倍数： 若m=7k+6,则m2+1=49k2+84k+37=7(72+12k+5)+2,不是7的倍数， 假设不成立，所以2-7≠-1，所以m2-72=1.m=7k+1或m=7k+6均成立..17分