2026-2027学年沪教版（五四制）九年级第一学期数学期中模拟卷4（上海专用）

2026-2027学年九年级第一学期数学期中模拟卷4 （上海专用）（解析版） 1．A 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解的定义，用表示、的值是解题的关键． 根据顶点坐标判断、的正负性，由此判断A；根据开口方向和对称轴判断B；用表示、，再解方程判断C；根据平移法则判断D． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ， ， ， ， ， ， ∴的符号无法判断，故A错误，符合题意； ， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； ， ， ∵的一个根为， ， ∴，故C正确，不符合题意； ∵抛物线的顶点为， ， ∴将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到，故D正确，不符合题意； 故选：A． 2．C 【难度】0.94 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，即可得到答案． 【详解】解：∵，它们的周长分别为20和10， ∴， ∵， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 3．C 【难度】0.65 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集、根据二次函数的定义求参数、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据二次函数的定义可确定．再根据抛物线与x轴有公共点，可知与其相关的一元二次方程有实数解，最后根据一元二次方程根的判别式列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】∵抛物线与x轴有公共点， ∴方程有实数根，且， ∴， 解得：． 综上可知a的取值范围是且． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的定义，二次函数与一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求参数等知识．理解二次函数图象与x轴有交点，则其相应一元二次方程有实数解是解题关键． 4．A 【难度】0.75 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的单调性与对称轴的性质．先判断函数开口方向，再根据对称轴左侧的单调性比较两点函数值大小． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴函数图象开口向上， ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 5．D 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据限变点的定义，分和两类讨论，结合二次函数的增减性求出的范围即可． 【详解】解：首先将二次函数配方得：， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小， ∴分两种情况讨论： 1.当时，由限变点定义得， ∵该区间在对称轴左侧，随增大而增大， 当时，；当时，， ∴， ∴； 2.当时，由限变点定义得， ∵对称轴在该区间内， ∴当时，取最大值；当时，取最小值， ∴， ∴； 综上，合并两个区间得的取值范围是． 6．0或 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可知且，从而解得a的值即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 即且， ∴或． 故答案为：0或． 7． 【难度】0.85 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握比例式变形是解决问题的关键． 设，求出a、b的表达式，代入代数式，计算即得． 【详解】设， 则，， ∴， 故答案为：． 8．9 【难度】0.85 【知识点】计算多项式乘多项式、列二次函数关系式 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 9．10 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 直接利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：∵直线，， ，即， 解得：， 故答案为：10． 10．或 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形综合 【分析】根据点，，的坐标求出的长及点到轴的距离，利用三角形面积公式求出，设点的坐标为，表示出的长，根据题意列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】，，， ，， ， 设点的坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点到轴的距离为， ， ， ， 解得：或， 或， 点的坐标为或． 11． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、坐标与图形综合 【分析】本题考查切线的性质，坐标与图形，勾股定理，过点作轴，连接，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：过点作轴，连接， ∵， ∴，， ∵与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为： 12． 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先对原二次函数配方得到顶点坐标，左右平移不改变顶点纵坐标，结合顶点在正比例函数上得到平移后顶点坐标，即可写出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：， 原二次函数的顶点坐标为， 只进行左右平移， 平移后顶点的纵坐标不变，仍为， 平移后顶点落在上，将代入得， 平移后的顶点坐标为， 平移不改变二次项系数， 平移后的二次函数表达式为． 13．k≠2 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】利用二次函数定义可得2﹣k≠0，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：2﹣k≠0， 解得：k≠2， 故答案为：k≠2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键． 14．27 【难度】0.65 【知识点】相似多边形的性质 【分析】先确定原矩形的边长，根据相似多边形对应边成比例求出留下矩形的未知边长，再计算面积，舍去不符合题意的解。 【详解】解：由题意得，原矩形长为，宽为，截去一个矩形后，留下矩形的一条边长为原矩形的宽，设另一条边长为，且， 因为留下的矩形与原矩形相似， 根据相似多边形的对应边成比例，分两种情况讨论： 情况1： 解得，符合题意； 情况2： 解得，此时留下矩形与原矩形全等，不符合截去一个矩形的要求，舍去； 若留下矩形的一条边长为，设另一边长为（其中）， 根据题意得：， 解得，与的条件矛盾，舍去； 因此留下矩形的面积为 15． 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】求出，根据旋转的定义得到，，证明，则，得到，设，则，，在中，用勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵把边长为5的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∵点M在的延长线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 即． 16． 【难度】0.2 【知识点】用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作于点，可得四边形是正方形，从而得到，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点，即当最小时，面积最小，然后结合题意可得点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动，当点、、三点共线时，最小，此时面积最小，延长、交于点，过点作于点，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， 当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点， 即当最小时，面积最小， ∵是线段的中点，， ， 由折叠的性质得：， ∴点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动， ∴当点、、三点共线时，最小， 此时面积最小， 延长、交于点， 过点作于点，则， ∴， ，， ， ∵， ， ， ∴是等腰直角三角形， ，， ，， ， ∵， ，即， ∴， ， ， ∴面积的最小值为． 17． 【难度】0.4 【知识点】图形类规律探索、二次根式的乘除混合运算、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由点和点的坐标即可求得与的长，然后由勾股定理即可求得的长，继而求得正方形的面积，再利用相似可求得正方形的面积，观察可得规律，最终得到第个正方形的面积． 【详解】解：设正方形的面积为，，…，． 点的坐标为，点的坐标为， ，． 在中，， 正方形的面积． 四边形是正方形， ，． ，， ． ， ， ，即，解得． ， 正方形的面积． 同理可得正方形的面积， 第个正方形的面积为． 18．(1) (2)当定价为每件52元时，才能使利润最大，最大利润为10800元 【难度】0.65 【知识点】列二次函数关系式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象及性质． （1）根据“总利润单件T恤的利润销售量”即可解答； （2）根据“销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于”可列出不等式，求出x的取值范围，在结合w与x之间的函数关系式的图象及性质，可求得利润w的最大值． 【详解】（1）根据题意可得： ∴w与x之间的函数关系式为：； （2）由题意可得： ， 解得：， ∵在函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w由最大值，为：（元）， 答：当定价为每件52元时，才能使利润最大，最大利润为10800元． 19．(1) 解：四边形是平行四边形； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵ ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2) 解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，即 (3) 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据条件证明即可得证； （3）根据条件证明，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即 ∵，菱形边长为10， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，掌握相似三角形的子母型模型(此处是射影定理模型)是解题的关键． 20．(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】多边形内角和问题、相似多边形的性质 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，关键是熟知相似多边形的对应角相等，对应边成比例． （1）先利用相似多边形的对应角相等得到，，再利用四边形的内角和为求解即可； （2）根据相似多边形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形四边形， ∴，即， 解得． 21．(1)，， (2) (3) 如图所示： 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、在坐标系中画位似图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标识别、三角形面积的割补法计算、位似图形的画法， （1）根据平面直角坐标系的网格，直接读取每个顶点的横、纵坐标即可； （2）利用割补法，用包含的最小长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求得的面积； （3）根据位似图形的性质，以点为位似中心，位似比为2，在轴右侧，得到对应点坐标，再描点连线得到位似图形． 【详解】（1）解：由网格图可知，点的横坐标为，纵坐标为，故； 点的横坐标为，纵坐标为，故； 点的横坐标为，纵坐标为，故； （2）解：用割补法计算的面积，将其置于一个长为、宽为的长方形中，减去周围三个直角三角形的面积： ； （3）略 22．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与不等式的关系，熟记性质并利用数形结合的思想求解是解题的关键； （1）把点，的坐标代入一次函数计算即可求出，，再把点、的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象写出一次函数图象在二次函数图象上方部分的的取值范围即可； （3）把二次函数解析式整理成顶点式形式，求出最小值，再计算出两个端点值即可求解． 【详解】（1）解：将点、代入， 得， 、，代入中， ，解得：； ； （2）解：由图可知：时，． （3）解：， 顶点坐标为， 在上最小值为：， 当时，， 当时，， 故当时，求的取值范围为：． 23．(1) 如图所示： (2)如图所示； (3)旋转中心的坐标为； (4)如图所示． 【难度】0.65 【知识点】平移(作图)、求关于原点对称的点的坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）先得出点A、B、C向右平移5个单位长度后的对应点，然后问题可求解； （2）由（1）及中心对称图形的性质可进行作图； （3）由旋转的性质直接进行求解即可； （4）根据位似图形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，相交于点P，如图所示， 由旋转的性质可知：点P即为旋转中心，即， ∵， ∴根据中点坐标公式可得，即； ∴旋转中心的坐标为； （4）略 24．(1)①； ②∵，则 ∵ ∴，则 ∵ ∴ ∴ 由①可得，则 ∴ ∴ 即； (2) 【难度】0.4 【知识点】根据正方形的性质求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长 【分析】（1）①过点分别作的垂线，垂足分别为，根据，则，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据平行线分线段成比例可得，，由①可得，则得出，进而即可求解； （2）把绕点逆时针旋转得到，连接，，进而可推导得出，，证明是等腰直角三角形，继而证明，可得，根据题意设，则，根据勾股定理可求得，再结合正方形的性质可求得的值，继而证明， 根据相似三角形的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：①如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴四边形是矩形，则 ∵， ∴， 又， ∴ ∵，则 ∴； ②略． （2）把绕点逆时针旋转得到，连接，   ，， ，，，. ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，，则， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，正切的定义，正方形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，正确把握相关的判定定理与性质定理是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级第一学期数学期中模拟卷4 （上海专用）（原卷版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章 1、 选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为，则下列结论错误的是（　　） A． B．当时，y随x的增大而减小 C．若的一个根为，则 D．抛物线可由抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到 2．已知，它们的周长分别为20和10，且，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若抛物线与x轴有公共点，则a的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 4．二次函数的对称轴为，点、在此函数的图象上，则有（   ） A． B． C． D．以上均有可能 5．新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；若满足时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是，若点在二次函数的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 6．若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 7．已知，则的值为___________． 8．二次函数的一次项系数是_____． 9．如图，已知，若，，则的值是_____． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点在轴上，若，则点的坐标为________． 11．如图，已知点M在y轴正半轴上，与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点，点P在点Q的下方，且点P的坐标是，则的半径为_____． 12．把二次函数的图像左右平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，则平移后的二次函数表达式是______． 13．已知函数y＝（2﹣k）x2+kx+1是二次函数，则k满足__． 14．在长，宽的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_____． 15．如图，把边长为5的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M，若，则_____． 16．如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为________ ． 17．在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为__________． 三、填空题（本大题共7题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分，满分86分） 18．随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为x元，获得的利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，如何定价才能使得利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率） 19．在边长为10的菱形中，对角线相交于点. 过点作直线分别交的延长线于点，连接. (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若于，求证： (3)若于，，求的长度. 20．如图，四边形四边形．    (1)______． (2)求的值． 21．如图，在网格图中，已知的顶点在格点上，点， (1)写出点的坐标； (2)请直接写出的面积； (3)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2． 22．如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C． (1)求的函数表达式． (2)根据图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． (3)当时，求的取值范围． 23．如图所示，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移5个单位长度得到，请画出； (2)画出关于原点O的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标； (4)以原点为位似中心，相似比为2，在第四象限内将放大，画出放大后的图形． 24．在矩形中，，点为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点N． (1)如图1，当时； ①求的值． ②若：，求证：； (2)如图2，当时，连接交于点，若，求的值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $