专题8.12 抛物线（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题8.12 抛物线（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 抛物线的定义及其应用】 1 【题型2 抛物线的标准方程】 3 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 5 【题型4 抛物线的轨迹方程】 6 【题型5 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 8 【题型6 抛物线的焦半径公式】 11 【题型7 抛物线中三角形（四边形）面积问题】 13 【题型8 抛物线的实际应用】 15 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 抛物线的定义及其应用】 1．（2026·广东茂名·一模）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，到轴的距离为2，则到原点的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据抛物线的定义，得到焦半径公式，结合点到轴的距离即可解决问题. 【解答过程】抛物线的焦点为，为抛物线上一点，设， 根据抛物线的定义可得， 又到轴的距离为2，，又，，即， 故抛物线方程为， 将代入抛物线得，， 根据两点之间的距离公式得. 故选：D. 2．（2026·湖南永州·二模）已知抛物线的焦点为，点在轴上且位于右侧，点在上，若为等边三角形，则（   ） A．2 B．2 C．2 D．4 【答案】D 【解题思路】如图，设 ，则，结合抛物线的定义得，进而建立关于的方程，解之即可求解. 【解答过程】如图，，设 ，的中点为， 则，又为等边三角形，所以， 由抛物线的定义知，所以， 解得，所以.    故选：D. 3．（2026·湖北孝感·一模）已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】C 【解题思路】先把代入到抛物线方程得，故准线为，进而由抛物线的定义可得. 【解答过程】因为代入，得，故准线为， 点到抛物线的焦点的距离等于点到准线的距离，所以， 故选：C. 4．（2026·河北保定·一模）已知抛物线：的焦点为F，点D 为C 的准线上一点，线段DF与C 交于点E，若，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解题思路】设，由题意可知，可得，再根据结合抛物线定义运算求解即可. 【解答过程】设，， 因为抛物线的焦点为，准线为， 由题意可知：，则，可得， 且，所以. 故选：D. 【题型2 抛物线的标准方程】 5．（2026·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可. 【解答过程】设抛物线的标准方程为， 将点点代入，得，解得， 所以抛物线的标准方程是. 故选：B. 6．（2026·山西·二模）若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由抛物线的标准方程，代入可得结果. 【解答过程】由题意可知，抛物线C的方程为， 将代入，可得，故抛物线C的方程为. 故选：A. 7．（2026·河南·模拟预测）已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由抛物线定义得到，利用解得，进而求得抛物线方程. 【解答过程】由抛物线的定义，可知，又，， 所以，得. 由点在上，得，结合，解得. 所以的方程为. 故选：A. 8．（2026·浙江金华·一模）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【解答过程】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 9．（2026·云南·模拟预测）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先把抛物线方程化为标准式，即可得其准线方程. 【解答过程】由抛物线，得，所以，解得， 所以其准线方程为. 故选：C. 10．（2026·安徽·模拟预测）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】变形得即可判断焦点坐标. 【解答过程】，即，则，则其焦点坐标为. 故选：A. 11．（2026·北京朝阳·二模）若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由抛物线方程及焦点坐标直接求出准线方程. 【解答过程】因为抛物线的焦点坐标为， 所以抛物线方程为， 准线方程为. 故选：D. 12．（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出圆心坐标，将圆心坐标代入抛物线方程，将抛物线方程化为标准方程，即可得出抛物线的准线方程. 【解答过程】圆的圆心为， 将圆心的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的方程为，标准方程为， 则，所以，，故抛物线的准线方程为. 故选：C. 【题型4 抛物线的轨迹方程】 13．（2026·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】设出点M的坐标，利用已知条件列出方程化简即得. 【解答过程】设，依题意得， 动点到的距离比点到轴的距离的大2， 则，即， 所以的轨迹方程是或， 故选：C. 14．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【解答过程】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 15．（25-26高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设所求点，根据点在直线上可得，根据点在直线上可得，最后根据轴得，化简即可. 【解答过程】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【解答过程】    方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 【题型5 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 17．（2026·福建漳州·模拟预测）已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解题思路】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【解答过程】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值. 故选：B. 18．（2026·湖南郴州·一模）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【解答过程】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B. 19．（2026·海南儋州·模拟预测）已知，，P为抛物线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解题思路】根据图象的平移和抛物线的几何性质，得到曲线的焦点坐标为，准线方程为，过点作，根据抛物线的定义，得到，结合，即可求解. 【解答过程】由抛物线，即， 又由抛物线表示开口向上，且焦点为，准线方程为， 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到， 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为点是抛物线上任意点，则点到焦点的距离等于点到的距离， 如图所示，过点作，可得， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 20．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当三点共线时，可求得最小值. 【解答过程】 因为抛物线，过F点作垂直直线l于点，过M作准线的垂线交准线于点，如图所示，则，， 则， 当点与点重合，点为线段与抛物线的交点时，等号成立. 故选：A． 【题型6 抛物线的焦半径公式】 21．（2026·陕西西安·三模）已知抛物线的焦点为为上一点，且的横坐标为2，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解题思路】由焦半径公式计算即可． 【解答过程】由抛物线方程知， 由题意， 故选：A． 22．（2026·北京海淀·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据抛物线焦半径公式列出方程，求出p的值，可得出方程，点在曲线上，代入可得解. 【解答过程】由抛物线定义知：，解出，故抛物线， 又点在上，则，， 故选：C. 23．（2026·河北石家庄·一模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（    ） A． B．4 C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】先根据抛物线方程求出基本参数和点A的纵坐标，再利用抛物线的定义计算焦半径的长度. 【解答过程】由抛物线得，解得，所以焦点，准线方程， 点在抛物线上，代入抛物线方程得：，解得，即， 根据抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 可得； 故选：B. 24．（2026·广东佛山·三模）已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（    ） A．18 B．9 C．4 D．2 【答案】D 【解题思路】由抛物线的焦半径公式，可直接得到答案. 【解答过程】由抛物线定义得， 又，解得． 故选：D. 【题型7 抛物线中三角形（四边形）面积问题】 25．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】由题可得，利用抛物线的定义可得，利用三角形的面积公式结合条件即得， 【解答过程】由题可得，因为， 所以，， 所以为坐标原点)的面积是. 故选：A. 26．（2026·河南郑州·二模）已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意写出交点坐标和准线方程，由圆的方程求出圆心和半径，作图.结合切线的性质和求出直线的倾斜角，从而得到直线方程，联立方程组求出点坐标，从而知道的面积. 【解答过程】由题意可知，， ∵，∴，， 如图：设点为与圆的切点， 则，， ∴，则，， ∴直线， 联立方程组，即，解得（舍去）或， ∴，∴， ∴. 故选：C. 27．（25-26高二下·河南·阶段检测）设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若，点为的焦点，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，易得直线过定点，则，由此即可得解. 【解答过程】如图，分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，， 抛物线的焦点， 直线过定点， 因为，， 所以， 所以. 故选：B. 28．（2026·四川乐山·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解题思路】根据给定的条件，求出直线的方程，与抛物线方程联立求出PF，QF的长即可求解作答. 【解答过程】依题意，由于H，得，即是正三角形，， 而，则直线的方程为， 由，消去y并整理，得， 令，解得，又准线， 因此， 所以与的面积之比. 故选：C. 【题型8 抛物线的实际应用】 29．（2026·陕西汉中·二模）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求出参数值. 【解答过程】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， 设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm）， 则，，于是，解得， 故该抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：B. 30．（2026·河南濮阳·二模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得. 【解答过程】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 31．（25-26高三上·甘肃·期末）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件列方程求，结合抛物线性质可求结论. 【解答过程】由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为. 由题意可得，将点的坐标代入抛物线的方程可得， 解得，所以抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即， 所以抛物线焦点到顶点的距离为. 故选：B. 32．（2026·山西晋城·一模）吉林雾凇大桥，位于吉林市松花江上，连接雾凇高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾凇大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解题思路】建立坐标系，求出点B横坐标，代入抛物线即可求解. 【解答过程】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米）， 依题意可得抛物线的方程为． 因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为， 则，所以点到桥面的距离为米． 故选：A. 一、单选题 1．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知抛物线，上的点与焦点的距离为4，则（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】D 【解题思路】根据题设，结合抛物线的定义可求得，再将点代入抛物线方程即可求解. 【解答过程】抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义，到焦点的距离为，得， 则抛物线方程为， 将点代入抛物线方程得，则. 故选：D. 2．（2026·北京海淀·一模）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解题思路】根据方程可得焦点和准线，结合抛物线定义可得，即可得结果. 【解答过程】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，则，解得， 所以线段中点的横坐标为. 故选：C. 3．（2026·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若，则此抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】过点作准线的垂线，设，得到，结合抛物线的定义，求得，再由，列出方程求得的值，即可求解. 【解答过程】如图所示，分别过点作准线的垂线，垂足为， 设，则， 由抛物线的定义得 ， 在直角中，可得，所以， 在直角中，因为，可得， 由，所以，解得， 因为，所以，解得，所以抛物线方程为. 故选：D. . 4．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【解答过程】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 5．（2026·河南焦作·二模）如图，曲线是抛物线的一部分，且曲线关于轴对称，，则点到的焦点的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】根据抛物线的标准方程和图象的对称性可得焦点坐标和点的坐标，即可求距离. 【解答过程】由抛物线的标准方程可知：焦点为，又，则点， 所以点到的焦点的距离为. 故选：C. 6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知抛物线绕其顶点旋转后得到抛物线，且抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【解题思路】由抛物线顶点到准线距离等于，即可求解. 【解答过程】由题意，抛物线的顶点到其准线的距离与抛物线的顶点到其准线的距离相等，即． 抛物线的顶点为坐标原点， 准线方程为， ，解得． 故选：C. 7．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【解答过程】以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 连接，，则， 设抛物线的方程为， 则，解得， 因此抛物线的焦点为， 准线方程为 ， 利用抛物线的定义得：. 故选：C.    8．（2026·北京大兴·三模）已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可． 【解答过程】由题意抛物线的焦点为， 由抛物线的定义可得：， 则， 当且仅当、、三点共线时取等号． 即的最小值是3． 故选：C. 二、填空题 9．（2026·云南昆明·一模）设点在抛物线C：上，F为C的焦点，则__________． 【答案】4 【解题思路】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义即可求解出. 【解答过程】由题意知抛物线C：，则，准线， 又点在C上，则点A到焦点F的距离等于该点到准线的距离， 所以. 故答案为：. 10．（2026·广西·模拟预测）若抛物线经过点，则该抛物线的焦点坐标为___________. 【答案】 【解题思路】根据题意，将点的坐标代入抛物线的方程，求得，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【解答过程】因为抛物线经过点，可得，解得，即 又因为抛物线的焦点在轴上，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 11．（2026·山西朔州·模拟预测）抛物线上一点，焦点为，已知，则____________． 【答案】 【解题思路】根据抛物线的定义进行求解. 【解答过程】由抛物线的定义可得准线方程为：， 由在抛物线上，且, 则，解得. 故答案为：. 12．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线C：恰好经过圆M：的圆心，则C的准线方程为____________. 【答案】 【解题思路】由题可得圆M圆心为，将其代入抛物线方程可得，据此可得准线方程. 【解答过程】. 则圆心为，将代入，可得. 则抛物线方程为：，则准线方程为：. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】先根据题目条件求出，，再根据点到点的距离与到直线的距离相等，得到，化简得到，解得. 【解答过程】因为点在抛物线上，所以，即，所以， 抛物线的焦点为， 由点到点的距离与到直线的距离相等，得到， 即，化简得，即， 因为，所以，解得. 故选：A. 2．（2026·甘肃甘南·模拟预测）已知分别为圆和抛物线上的点，抛物线的焦点为．若点为以点为圆心，以1为半径的圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据三角形的三边关系，即可根据共线求解求解. 【解答过程】由题意得，，圆的半径，圆的半径． 因为，当且仅当点在线段上，点在线段上时，等号成立， 所以，当且仅当点共线，且从左到右依次为点时两等号同时成立． 故选:C． 3．（2026·甘肃甘南·模拟预测）已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物线的几何性质转化线段可求和的最小值. 【解答过程】方法一：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小2， ，化简得， 即点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线． 方法二：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小 动点到点的距离等于到直线的距离， 点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 即抛物线方程为． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，得， 则，当三点共线时， 取得最小值，最小值为． 故选：C． 4．（2026·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据抛物线方程的条件求出抛物线的基本参数，进而确定焦点和准线方程；再利用三角形重心和相似三角形的性质求出点的坐标；最后根据三角形面积公式计算三角形的面积. 【解答过程】对于抛物线，已知，可得.那么抛物线的方程为，其焦点，准线的方程为.   则，（为抛物线准线与轴交点）.   因为为的重心，所以为的三等分点且. 又因为，所以与相似，且，即. 不妨设，且在第一象限，由抛物线的性质可知点到准线的距离. 已知，则，解得. 因为点在抛物线上，将代入抛物线方程得，又因为在第一象限，所以.   因为为的三等分点且，所以. 已知. 根据三角形面积公式，对于，则. 故选：B. 二、解答题 5．（2026·陕西安康·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，且的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据向量的数量积为0可知两个向量垂直，由的横坐标可求出，进而可求出方程； （2）设直线的方程为，，联立抛物线的方程，由的面积结合韦达定理可求出， 设，结合共线性质得，列方程组可求得. 【解答过程】（1）抛物线：的焦点为， 由知，又点在抛物线上，所以，解得， 因此抛物线的方程为. （2）由（1）得， 假设直线的斜率不存在，即轴，将代入可得， 此时的面积为，矛盾，假设不成立，所以直线的斜率存在； 如图，设直线的方程为， 由消去得. 设， 由韦达定理得， 所以. 所以的面积为， 整理得，解得，所以. 设，结合共线性质得， 所以，所以， 又，所以，解得或. 6．（2026·辽宁锦州·二模）已知动点到点的距离比它到轴的距离大2，设点的轨迹为，斜率为的直线过定点且与轨迹在轴右侧的部分交于A，B两点.满足. (1)求轨迹的方程； (2)求值. 【答案】(1)当时，；当时，， (2) 【解题思路】（1）由点到定点与到定直线的距离关系式，平方化简后按、分类，求得动点轨迹为抛物线及轴负半轴； （2）设直线方程与抛物线联立，由韦达定理得纵坐标和与积，再依据向量建立两点纵坐标关系，代入式子求出，最终换算得出直线斜率. 【解答过程】（1）设点坐标是，则根据题意可知， 化简可得. 当时，；当时，； （2）当时，不符合题意， 当时，设直线，，， 联立，得， 由韦达定理可得， 又因为，所以， ，解得， 所以. 7．（2026·宁夏银川·三模）已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【解题思路】（1）由焦点，得抛物线的方程为；再根据焦点到直线的距离，求出，即可得到抛物线的方程； （2）①，设切点的坐标，根据抛物线方程求导得到切线斜率，得出过的切线方程；因为两条切线都过点，所以将坐标代入两个切线方程，得到坐标满足的共同关系式，即可推导出直线的方程； ②，先联立直线与抛物线的方程，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再用弦长公式计算的长度；然后求点到直线的距离，将面积表示为关于的函数，再求该函数的最小值. 【解答过程】（1）由抛物线的顶点为原点，焦点为，得抛物线的方程为； 到直线的距离为，，解得； 抛物线的方程为. （2）①证明：设切点，且，. 由得，则； 过点的切线方程为，即； 切线过点， ，整理得. 同理，可求得. ，两点都满足方程； 由两点确定一条直线可得，直线的方程为. ②联立直线与抛物线的方程，整理得； Δ，由韦达定理得 ； . 点到直线的距离; 的面积. ，当即时，取得最小值，即； 面积的最小值为. 8．（2026·湖南常德·二模）抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴． （i）证明：直线过定点； （ii）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析 （ii）或 【解题思路】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组，即可求解； （2）（i）设直线，，联直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数间的关系，得，即可求解；（ii）根据条件，将问题转化成到直线的距离相等，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【解答过程】（1）因为抛物线上的一点到焦点的距离为， 则，消得到，解得，所以抛物线的标准方程. （2）（i）证明：由题可设，， 由，消得到，则，， 又，所以，令，得到， 所以，又轴，则，得到， 所以，解得，则，所以直线过定点. （ii）因为在抛物线上，则，解得，所以，由（i）知， 又点为抛物线的准线与轴的交点，则，又的面积与的面积相等， 则到直线的距离相等，所以，即，解得， 所以直线的方程为或. 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【解题思路】将已知点代入抛物线方程求解参数，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后代入距离公式计算即可. 【解答过程】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 故选：D. 2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【解答过程】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C. 二、多选题 3．（2026·全国二卷·高考真题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【解题思路】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理. 【解答过程】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 故选：ABD. 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【解答过程】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以 ， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【解题思路】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【解答过程】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.12 抛物线（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 抛物线的定义及其应用】 1 【题型2 抛物线的标准方程】 2 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 2 【题型4 抛物线的轨迹方程】 3 【题型5 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 3 【题型6 抛物线的焦半径公式】 4 【题型7 抛物线中三角形（四边形）面积问题】 4 【题型8 抛物线的实际应用】 5 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 抛物线的定义及其应用】 1．（2026·广东茂名·一模）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，到轴的距离为2，则到原点的距离为（    ） A．2 B． C． D． 2．（2026·湖南永州·二模）已知抛物线的焦点为，点在轴上且位于右侧，点在上，若为等边三角形，则（   ） A．2 B．2 C．2 D．4 3．（2026·湖北孝感·一模）已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为（    ） A．2 B． C．4 D．6 4．（2026·河北保定·一模）已知抛物线：的焦点为F，点D 为C 的准线上一点，线段DF与C 交于点E，若，，则（    ） A． B． C． D．1 【题型2 抛物线的标准方程】 5．（2026·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山西·二模）若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南·模拟预测）已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江金华·一模）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 9．（2026·云南·模拟预测）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·安徽·模拟预测）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·北京朝阳·二模）若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型4 抛物线的轨迹方程】 13．（2026·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 14．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 17．（2026·福建漳州·模拟预测）已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 18．（2026·湖南郴州·一模）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．（2026·海南儋州·模拟预测）已知，，P为抛物线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 20．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6 抛物线的焦半径公式】 21．（2026·陕西西安·三模）已知抛物线的焦点为为上一点，且的横坐标为2，则（    ） A． B．3 C． D． 22．（2026·北京海淀·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，，则（   ） A．1 B． C． D．2 23．（2026·河北石家庄·一模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（    ） A． B．4 C．3 D．5 24．（2026·广东佛山·三模）已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（    ） A．18 B．9 C．4 D．2 【题型7 抛物线中三角形（四边形）面积问题】 25．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（    ） A． B．1 C．2 D．4 26．（2026·河南郑州·二模）已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（   ） A． B．4 C． D． 27．（25-26高二下·河南·阶段检测）设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若，点为的焦点，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 28．（2026·四川乐山·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【题型8 抛物线的实际应用】 29．（2026·陕西汉中·二模）如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 30．（2026·河南濮阳·二模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 31．（25-26高三上·甘肃·期末）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 32．（2026·山西晋城·一模）吉林雾凇大桥，位于吉林市松花江上，连接雾凇高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾凇大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 一、单选题 1．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知抛物线，上的点与焦点的距离为4，则（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 2．（2026·北京海淀·一模）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（   ） A．2 B． C．3 D． 3．（2026·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若，则此抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南焦作·二模）如图，曲线是抛物线的一部分，且曲线关于轴对称，，则点到的焦点的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知抛物线绕其顶点旋转后得到抛物线，且抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．9 7．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 8．（2026·北京大兴·三模）已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．（2026·云南昆明·一模）设点在抛物线C：上，F为C的焦点，则__________． 10．（2026·广西·模拟预测）若抛物线经过点，则该抛物线的焦点坐标为___________. 11．（2026·山西朔州·模拟预测）抛物线上一点，焦点为，已知，则____________． 12．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线C：恰好经过圆M：的圆心，则C的准线方程为____________. 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·甘肃甘南·模拟预测）已知分别为圆和抛物线上的点，抛物线的焦点为．若点为以点为圆心，以1为半径的圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃甘南·模拟预测）已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 4．（2026·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·陕西安康·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，且的面积为，求的值． 6．（2026·辽宁锦州·二模）已知动点到点的距离比它到轴的距离大2，设点的轨迹为，斜率为的直线过定点且与轨迹在轴右侧的部分交于A，B两点.满足. (1)求轨迹的方程； (2)求值. 7．（2026·宁夏银川·三模）已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 8．（2026·湖南常德·二模）抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴． （i）证明：直线过定点； （ii）点为抛物线的准线与轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 3．（2026·全国二卷·高考真题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $