单元集训卷35 抛物线(基础)-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦抛物线基础概念与几何性质，通过高考真题及模拟题系统覆盖定义应用、焦点弦、最值等核心考法，注重知识逻辑与解题规范。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5|定义辨析、方程求解|从定义到标准方程，构建焦点与准线关系| |几何性质|4|距离最值、性质判断|结合抛物线定义推导几何性质| |直线综合|8|焦点弦、中点弦、斜率问题|直线与抛物线联立，应用韦达定理| |实际应用|1|隧道截面模型|用抛物线方程解决实际问题|

单元集训卷35　抛物线(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·四川泸州·期末）已知抛物线方程为，则它的焦点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线标准方程为，焦点在x轴正半轴上， 所以，所以它的焦点是. 2．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】设点，由题意可得. 所以. 3．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，表达出，，从而得到方程，求出，进而得到点到的距离. 【详解】由题意得，抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 圆：的圆心为，半径， 设，则，， 由抛物线定义可得， 其中 ， 由得，解得， 故点到的距离为. 4．（25-26高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 5．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离等于点到点的距离，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义可得，结合，可知，根据等腰三角形的性质可得. 【详解】设，作垂直于抛物线的准线，垂足为， 由抛物线的定义可知，又因为. 所以，即为等腰三角形，所以在的垂直平分线上.，所以. 6．（25-26高三·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【答案】B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线方程，然后计算两车相邻行驶时，最左侧车身对应的抛物线上点的纵坐标，由此可得结论. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    7．（2026高三·全国·专题练习）过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】联立焦点直线与抛物线方程求出两交点的横坐标，再结合抛物线定义的焦半径公式，将线段长转化为横坐标的代数式直接计算比值. 【详解】由题意得焦点为，直线的斜率， 所以直线的方程为， 代入到抛物线方程得， 整理得，解得，， 由题意得，，， 所以. 8．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后代入距离公式计算即可. 【详解】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 10．（25-26高三·广西梧州·期末）过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 【答案】ABD 【分析】本题考查抛物线的基本性质、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理计算相关量即可判断各选项. 【详解】选项A：抛物线C：为开口向右的标准抛物线，满足，， 准线方程为，故A正确. 选项B：根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，则，即A点的横坐标为4，故B正确. 选项C：因为直线过焦点，焦点，由题意已知直线与抛物线要有两个交点， 所以直线斜率不为0，设直线为，， 由韦达定理得；； ，则， ，故的最小值为16，故C错误. 选项D： ，故D正确. 11．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知抛物线：，其焦点到准线的距离为2，且为上的动点，则（   ） A．的方程为： B．已知点，则的最小值为4 C．直线被抛物线截得的弦长最小值为4 D．若抛物线准线与轴交于点，设斜率为，则的最小值是1 【答案】BCD 【分析】利用抛物线的性质得，从而得抛物线方程，判断A，把抛物线上的点到焦点距离转化为该点到准线的距离，转化求解最小值判断B，直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求得弦长判断C，由判别式不小于0判断D. 【详解】对A，由题意，所以抛物线方程为，A错； 对B，由抛物线方程得其焦点为，准线为直线，如图，过作于点，则，所以，所以当三点共线时，取得最小值为点到准线的距离4，B正确； 对C，由得，， 所以，， 直线被抛物线截得的弦长为： ，当且仅当时，，C正确； 对D，由以上推导知，直线的方程为， 由得，，所以，的最小值是1,D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 【答案】4 【分析】首先求出直线方程，再与抛物线联立，利用韦达定理求出的面积. 【详解】抛物线方程为：，焦点为，AB的倾斜角为， 所以所在的直线方程为：，联立消去整理得：， 由韦达定理得：，， 点到直线：的距离为：， 所以的面积为：. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 【答案】 【分析】将点代入抛物线方程得，则抛物线方程为，根据直线与的倾斜角互补得，化简得，利用两点间斜率求得，即可得解. 【详解】因为是抛物线上一点，所以，得， 所以抛物线方程为，设，的坐标分别为，， 易知直线、直线、直线的斜率存在， 则，， 由题意，可得， 所以， 所以直线的斜率为定值. 14．（25-26高三·江西赣州·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 【答案】/6.4 【分析】设，，利用代入数据可得的值，进而利用抛物线的定义可求解． 【详解】依题意，，准线l的方程为， 因为点Q是l上一点，所以设点，， 则，， 因为，所以， 所以，解得， 又P是C上一点，所以由抛物线的定义可得． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·宁夏中卫·阶段检测）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或或或． 【分析】（1）分过点的抛物线开口向左或开口向上两种情况设抛物线的标准方程求解即可； （2）由直线与坐标轴的交点为焦点，再由抛物线的性质求解即可； （3）由抛物线的性质求解即可； 【详解】（1）由于点在第二象限，所以过点的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为； 若抛物线开口向上，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以，所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （2）因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （3）焦点到准线的距离，焦点可在轴或轴上，故有四种情况，所求抛物线的标准方程为或或或． 16．（25-26高三·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据抛物线的定义列式计算即可求解； （2）设，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理结合中点坐标公式及弦长公式计算即可求解. 【详解】（1）由抛物线的定义可知，所以， 即抛物线的方程为； （2）设， 直线与抛物线联立方程组可得， 则，， 所以，， 所以，中点坐标为，. 17．（2026·海南海口·一模）已知抛物线C：上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，为抛物线上一点，连接，线段的中点也在抛物线上，为坐标原点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义可得，，代入计算即可求解； （2）设，则，由平面向量数量积坐标运算可得，因为M，Q均在抛物线上，建立方程组计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 代入抛物线方程得 因为，即，解得， 所以方程为． （2）设，， 因为点为线段的中点，所以，， 即，，则， 所以， 又M，Q均在抛物线上， 所以，解得，即．    18．（25-26高三·陕西西安·期末）已知抛物线经过点是上的动点，且直线的倾斜角为锐角. (1)求的焦点坐标； (2)为坐标原点，当的面积为12时，求点的坐标； (3)过点作的垂线，与的另一个交点为，求点的横坐标的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点的坐标代入的方程可得； （2）设，求出直线与轴的交点，利用可得； （3）设，将直线的方程与抛物线联立，根据韦达定理得出，结合基本不等式求最值. 【详解】（1）将点的坐标代入的方程，得，解得 . 所以，焦点坐标为 . （2）设，，则， 由题意知，所以. 所以 ， 令得，即直线与轴的交点为. 所以，解得(舍去)， 此时点. （3）因为 ，所以，，则直线的方程为. 联立，消去，可得 ， 设，则， 所以. 要求的最大值， 先求的最小值， 因为 当且仅当，即时，等号成立， 所以点的横坐标的最大值为. 19．（25-26高三下·上海宝山·期中）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2) 由题意直线的方程可设为， 联立，代入化简得， 由题意，从而，即， 从而，即; 同理可得，， ， 又，所以， 所以. (3). 【分析】（1）待定系数法设出抛物线的表达式，代入点的坐标求解即可； （2）联立、与抛物线方程，求出、的坐标，利用斜率公式求解即可； （3）用含的式子表示弦长及点到直线的距离，进而表示面积，利用函数求最值即可. 【详解】（1）由题意，设所求抛物线的方程为：， 点代入抛物线的方程得：， 所以抛物线的标准方程为：. （2）略 （3）由（2）可知， 设直线的表达式为，即 联立，代入化简整理得: , 由故, 从而，， 点到直线的距离， ， 令，则，， 设，则，令，解得（负值舍去） 则当时，,单调递增； 当时，,单调递减； 从而， 即面积的最大值为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷35　抛物线(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·四川泸州·期末）已知抛物线方程为，则它的焦点是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离等于点到点的距离，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26高三·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 7．（2026高三·全国·专题练习）过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 10．（25-26高三·广西梧州·期末）过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 11．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知抛物线：，其焦点到准线的距离为2，且为上的动点，则（   ） A．的方程为： B．已知点，则的最小值为4 C．直线被抛物线截得的弦长最小值为4 D．若抛物线准线与轴交于点，设斜率为，则的最小值是1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 14．（25-26高三·江西赣州·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·宁夏中卫·阶段检测）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 16．（25-26高三·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 17．（2026·海南海口·一模）已知抛物线C：上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，为抛物线上一点，连接，线段的中点也在抛物线上，为坐标原点，，求点的坐标． 18．（25-26高三·陕西西安·期末）已知抛物线经过点是上的动点，且直线的倾斜角为锐角. (1)求的焦点坐标； (2)为坐标原点，当的面积为12时，求点的坐标； (3)过点作的垂线，与的另一个交点为，求点的横坐标的最大值. 19．（25-26高三下·上海宝山·期中）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $