4.2 角（第3课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册

第4章 线段与角 4.2 角 （第3课时）画角的和、差与角的平分线 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 从整体与部分认识角的和差 观察：射线在内部，把一个角分成两部分。 回顾：量角器能量出每一部分角的度数。 思考：图中两个角合在一起有多大？ 新知讲授 角的和与差 意义 类似于线段的和、差，如果一个角的度数等于另外两个角的度数之和（或差），那么称这个角就是另外两个角的和（或差）． 整体与部分 。 条件 先确定射线在角的内部，再写相邻两角的和。 新知讲授 问题1　一个角分成两部分 如图，射线在的内部，图中有几个角？它们之间有什么数量关系？ 答：共3个角：。 。 。 。 新知讲授 思考　相等的角加上同一个角 如图，如果，那么和有怎样的关系？为什么？ 答：。 。 。 等式两边加上同一个角，仍然相等。 新知讲授 用三角尺组合出新的角 角的和 角的差 已知角：一副三角尺可直接画角。 相加：。 相减：；先辨清保留哪一部分。 例题讲解 例 3 如图，已知（）。 （1）用量角器画一个角，使它等于； （2）用量角器画一个角，使它等于。 已知角 （1）作图 答：（1）。 用量角器画。 以为一边，在外画。 就是所求的角。 方法：相加时沿共同边向外接角。 注意：两个角内部不能重叠。 例题讲解 例 3 如图，已知（）。 （1）用量角器画一个角，使它等于； （2）用量角器画一个角，使它等于。 已知角 （2）作图 答：（2）。 用量角器画。 以为一边，在内画。 保留下来的就是所求的角。 方法：相减时从大角内部去掉小角。 注意：从哪条边开始量，须与步骤一致。 新知讲授 画角的和差：两种途径 向外接角：和 内部去角：差 接角或减角：以已有角的一条边为共同边；和在外部接，差在内部去。 先算后画：先量出两角的度数，计算和或差，再用量角器画角。 检查：和应大于每个加角；正的差应小于原来的大角。 例题讲解 变式 变式　由角的位置决定和差 如图，，射线在内部。求。若，点应在哪条射线上？ 答：；点在射线上。 。 说明重合。 新知讲授 角的倍数关系 意义 如果是个的和，那么我们就说是的倍或是的分之一，记作或． 运算示例 若，则。 方向检查 求整体用乘法；求平均每份用除法。 例题讲解 例 4 如图，已知，画一个角，使它等于。 已知角 作图结果 答：。 画。 在外部画。 在内部画。 方法：把运算顺序转化为作图顺序。 注意：所求角是，不是减掉的。 例题讲解 变式 变式　作图前先检查结果 已知。小明要画，却先算成。两个结果各是多少？为什么不同？ 答：正确结果；小明所得为。 解 。 。 括号改变运算顺序，多减了一次。 新知讲授 折叠一个角，寻找相等的两部分 操作：用纸片任意剪一个角，折叠纸片，使角的两边叠在一起。 观察：展开后，折痕经过角的顶点。 发现：折痕把原来的角分成两个相等的角。 新知讲授 角的平分线 定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线． 记法：是的平分线，也可说平分。 对象：角的平分线是一条射线。 新知讲授 把“平分”转化为等式 半角关系：。 倍角关系：。 反向判断：射线在角内部，且所分两角相等，才能判定它平分这个角。 例题讲解 例 5 如图，已知，画出它的平分线。 答：射线是的平分线。 用量角器量得，一半为。 以为一边，在角内画。 检查。 方法：量整个角，再取一半画射线。 注意：量角器中心对准顶点。 例题讲解 辨析 辨析　哪些条件能说明平分 （1）射线在内部，且，则平分。 √ 内部射线把角分成两个相等的角。 （2）只要，就一定能说平分。 × 还须确认位于内部。 （3）角的平分线就是角内部的一条线段。 × 角的平分线是从顶点引出的射线。 例题讲解 例 6 如图，，平分。求和的度数。 答：。 。 平分。 。 方法：先找被平分的是哪个角。 注意：这里平分，并非。 例题讲解 变式 变式　继续求图中的角 沿用如图条件：，平分。求与。 答：。 ，所以。 。 。 新知讲授 角平分线与线段中点的联系 线段中点是点 角的平分线是射线 共同想法：都把一个整体分成两个相等的部分。 线段中点：中点是一个点；。 角的平分线：平分线是一条射线；。 课堂练习 练习1 根据图形填空： （1）；；。 （2）如果，那么。 答：（1）依次填。 以分开，整体为。 以分开，整体为。 整体也等于三个相邻小角之和。 课堂练习 练习1 根据图形填空： （1）；；。 （2）如果，那么。 答：（2）填（填或也可）。 。 三个小角相等，整体等于其中一个的3倍。 课堂练习 练习2 如图，已知，用量角器画两个角，使它们分别等于和。 已知角 第一个角 答：第一个角：。 画。 在角外接出。 再在角外接出。 课堂练习 练习2 如图，已知，用量角器画两个角，使它们分别等于和。 已知角 第二个角 答：第二个角：。 连续接出两个，得到。 再接出一个，得到。 从向角内减去。 课堂练习 练习3 如图，是的平分线，是内的一条射线，。求的度数。 答：。 。 。 。 课堂总结 角的和差 与平分线 整体与部分 画和与差 相加向外接角；相减在内部去角。 倍数关系 ；先辨运算顺序。 角平分线 顶点引出射线；两个半角相等。 特别提醒：先读位置，再列等式；“平分”必须对应正确的整个角。 针对训练 训练1　选择：由图确定等式 如图，射线在内部。下列等式一定正确的是（　）。 A. B. C. D. 答：B 整体等于两个相邻部分的和。 因此。 方法：先按射线顺序辨认整体与部分。 注意：图中没有平分标志，不可认定等角。 针对训练 训练2　选择：由半角求整体 平分，且，则等于（　）。 A. B. C. D. 答：C 解 平分后两个半角各为。 。 方法：已知一个半角，乘2求出整个角。 注意：先确认32°对应半角而非整个角。 方法总结 选择题：先认关系，再作判断 方法1　从图形识别关系 ① 标出整体角与部分角。 ② 只有相邻且不重叠的角才能直接相加。 方法2　用条件排除选项 ① 看到平分，写出两个相等半角。 ② 用度数或特殊图形检验不确定选项。 针对训练 训练3　填空：角的和差与平分 根据条件填空： （1） ，在角内，____。 （2） 平分，，____。 （3） ，____。 （4） ，____。 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：把和差、倍数与平分逐一转成算式。 注意：先乘后减，平分的对象不能混淆。 针对训练 训练3　填空：角的倍数与混合运算 根据条件填空： （1） ，在角内，____。 （2） 平分，，____。 （3） ，____。 （4） ，____。 解第（3）题 。 解第（4）题 。 方法：先完成倍数运算，再计算剩余角度。 注意：两倍角减一角，不能误写成差的两倍。 针对训练 训练4　判断并改正 （1）角的平分线把这个角分成两个相等的角。 √ 符合角的平分线定义。 （2）一个角去掉一个角，剩下的角一定是。 × 应为。 （3）射线在内部，且，则。 √ 整体等于两个相等半角的和。 方法：用平分线定义和角度和差逐项检验。 注意：判断错误后还要写出正确结论。 方法总结 填空与判断：把文字转化为等式 方法1　填空先列关系 ① “平分”转化为一半或两倍。 ② “和、差、倍”分别对应加、减、乘。 方法2　判断同时检查对象 ① 确认顶点、射线与整个角一致。 ② 错误结论要写出正确关系或反例。 针对训练 训练5　计算：连续三个小角 如图，。求与。 答：。 。 。 。 方法：沿射线顺序把所求范围的小角相加。 注意：每个小角只计算一次，避免重复。 针对训练 训练6　计算：连续两次平分 如图，，平分，平分。求与。 答：。 。 。 。 方法：按题目顺序逐层平分，再求角的差。 注意：两次平分对应两个不同的整个角。 方法总结 计算题：先找整体，再逐层求角 方法1　和差计算 ① 沿射线顺序列出相邻的小角。 ② 求整体相加，求缺少部分相减。 方法2　连续平分 ① 每次只平分题目指定的角。 ② 按条件逐层除以2，再求目标角。 针对训练 训练7　作图：画指定的角的和 已知。用量角器画一个角，使它等于，并写出所画角的度数。 答：。 画。 以为边，在外部画。 。 方法：先画已知角，再在共同边外接角。 注意：第二个角须与第一个角内部不重叠。 针对训练 训练8　作图：平分给定的角 如图，。用量角器画出它的平分线，并说明作图依据。 答：射线满足。 计算一半：。 在角内，以为边画。 另一半，所以平分原角。 方法：先算角度的一半，再在原角内部作图。 注意：新增射线必须从原角的顶点出发。 方法总结 作图题：步骤和图形一一对应 方法1　画角的和差 ① 先画一个角，再确定共同边。 ② 加角放外部，减角放内部。 ③ 标清最终所求角的两条边。 方法2　画角的平分线 ① 量出整个角并计算一半。 ② 顶点与零刻度线分别对准。 ③ 检查两部分的度数是否相等。 针对训练 训练9　辨析：同一算式的不同图形 已知。如图，当分别位于内部、外部时，求。 在角内部 在角外部 答：左图；右图。 左图：。 右图：。 缺少位置条件时，不能只给一个结果。 方法：分别画出内外位置，每幅图单独列式。 注意：射线位置改变后，加减关系也会改变。 针对训练 训练10　说理：减去同一个角 如图，。说明与的大小关系，并写出理由。 答：。 。 。 两个相等的角减去同一个角，结果相等。 方法：把两个目标角都写成整体减共同角。 注意：被减去的共同角必须在两个整体内。 方法总结 综合题：用位置与等量关系说理 方法1　讨论射线的位置 ① 题目没有确定位置时，画出可能图形。 ② 每幅图分别列出和差关系。 方法2　证明角相等 ① 把目标角写成两个角的和或差。 ② 寻找相同部分和题目给定的等量。 ③ 每个等式都要对应图中实际区域。 针对训练 训练11　应用：摄像机的转动 摄像机最初朝向射线，先逆时针转朝向，再同向转朝向。为拍摄正中间的方向，应从逆时针转多少度？ 答：应逆时针转。 的一半为。 中间方向在之间。 。 方法：将转动方向画成射线，再确定中间方向。 注意：两次同向转动相加，中间方向取半角。 针对训练 训练12　应用：舞台灯光的中心方向 舞台灯光覆盖的区域，中心光线平分这个角。演员所在方向在内部，且。中心光线应朝演员方向转动多少度？ 答：中心光线应朝一侧转动。 。 位于之间。 。 方法：先求灯光中心与边界所成的半角。 注意：演员方向在半角内部，求偏转应相减。 方法总结 应用题：把实际方向转化为角 方法1　建立方向图 ① 把设备位置作为角的顶点。 ② 按实际转向依次画出各条射线。 ③ 把“正中间”转化为角的平分线。 方法2　求出并解释结果 ① 先求整体或半角，再作和差。 ② 结合图形说明转动的方向。 ③ 核查结果是否落在指定区域内。 $