4.1 线段（第2课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册

第4章 线段与角 4.1 线段 （第2课时）画线段的和、差与线段的中点 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 从比较线段到计算线段 已有知识 线段的长度可以用一个数表示；比较长度要先统一单位。 观察图形 在线段上添加一个点，可以把整条线段分成两部分。 本课任务 用图表示线段的和与差；用直尺、圆规作图；认识并使用中点。 新知讲授 三点共线时，整体与部分怎样联系 位置条件：点在一条直线上，且在之间。 求整体：。 求部分：，。 新知讲授 线段的和与差 意义 如果一条线段的长度等于另外两条线段长度的和（或差），那么称这条线段就是另外两条线段的和（或差）。 数与图联系 把线段的长度相加或相减，再用一条线段表示结果。 使用前提 表示差的线段长度应为正；先确认较长线段减去较短线段。 新知讲授 相等的线段加上同一条线段 如图，点在线段上。如果线段与线段一样长，那么线段有怎样的关系？为什么？ 答：。 因为，两边同时加上。 ，所以。 方法总结 先辨位置，再写和差 方法1　找整体与部分 ① 在线段图上标出已知点的先后顺序。 ② 确认哪一条线段包含另外两条线段。 ③ 整体等于两部分之和。 方法2　找两条线段的共同部分 ① 把较长线段拆成已知部分与共同部分。 ② 相等线段加上同一段，所得仍相等。 ③ 求剩余部分时，用整体减去已知部分。 新知讲授 两种作图工具怎样配合 刻度尺作图 先量出已知长度，计算和或差，再画出相应长度的线段。 直尺与圆规 直尺用来画射线；圆规保持开口，用来搬运已知长度。 基本约定 在同一射线上顺次截取表示相加；从远端向回截取表示相减。 例题讲解 例 3 如图，已知线段。 （1）用直尺和圆规画一条线段，使它等于； （2）用直尺和圆规画一条线段，使它等于。 已知线段 第（1）题作图 答：（1）线段就是所要画的线段，。 画射线。 在射线上截取。 再从向前截取，得到。 例题讲解 例 3 如图，已知线段。 （1）用直尺和圆规画一条线段，使它等于； （2）用直尺和圆规画一条线段，使它等于。 已知线段 第（2）题作图 答：（2）线段就是所要画的线段，。 画射线。 在射线上截取。 在线段上从向回截取。 例题讲解 例 3 已知，用另一种方法画出长度等于的线段：在同一射线上，从同一点分别截取长度与，应取哪一段？ 已知线段 另一种画法 答：取两次截取所得端点之间的线段。 画射线。 在射线上截取。 再截取，则。 例题讲解 作图方向：顺次截取与向回截取 （1）画时，两次都从同一点截取，连接两个终点即可。 × 连接两个终点得到的是差；求和应首尾顺次截取。 （2）画时，先取长为的线段，再从远端向回截取。 √ 留下的部分长度等于。 （3）用圆规搬运线段时，可以随意改变圆规开口。 × 应保持开口不变，才能保留给定长度。 新知讲授 线段的倍数与几分之一 倍数关系：如果一条线段是条线段的和，就说线段是线段的倍，或线段是线段的分之一，记作或。 读图：三段首尾相接、每段长度都为，整体长度就是。 例题讲解 例 4 如图，已知线段，用直尺和圆规画一条线段，使它等于。 已知线段 作图过程 答：线段就是所要画的线段。 画射线。 在射线上顺次截取。 在线段上从向回截取。 例题讲解 例 4 如图，已知线段，用直尺和圆规画一条线段，使它等于。 已知线段 结果与验证 答：。 由，得。 由，得。 先形成整体，再减去末端的。 例题讲解 变式 例 4 已知厘米，厘米。若按例4的方法作出线段，则的长度是多少？ 答：厘米。 解 厘米。 厘米。 新知讲授 线段的中点 相等 相等 定义：特别地，将一条线段分成两条相等线段的点叫作这条线段的中点。 位置：中点在线段上，位于两个端点之间。 数量：若是线段的中点，则。 新知讲授 从中点得到一半与二倍 相等 相等 已知中点：是线段的中点。 由整体求一半：。 由一半求整体：。 新知讲授 判断中点，要同时检查两个条件 等长 等长 位置条件：点必须在线段上。 长度条件：点把分成的两条线段满足。 反例：右图中即使，不在线段上，仍不是其中点。 例题讲解 例 5 如图，已知一条线段，用刻度尺画出它的中点。 答：点就是所要画的线段的中点。 用刻度尺量出的长度，计算它的一半。 在线段上取点，使。 检验，得到中点。 例题讲解 例 6 如图，是线段上的一点，是线段的中点。如果，，求线段的长。 答：，。 是的中点，所以。 。 。 例题讲解 变式 例 6 如图，在线段上，是线段的中点。已知厘米，厘米，求。 答：厘米，厘米。 中点给出厘米。 再由，得厘米。 方法总结 中点计算：先找到一半，再找到整体 方法1　翻译中点条件 ① 写出两条相等的半段。 ② 写出整体是半段的2倍。 ③ 确认所说中点属于哪一条线段。 方法2　接上线段和差 ① 把待求线段放回原图。 ② 求整体用相加，求剩余用相减。 ③ 计算后检查各部分之和是否等于整体。 课堂练习 练习1 根据所示图形填空。 已知线段，且，画一条线段，使它等于。 解：①画射线____；②在射线____上，截取____；③在线段____上，顺次截取________。 线段____就是所要画的线段。 已知线段 第1题图 答：依次填：。 射线以为端点，经过，名称为。 先截取，再向回取。 剩下的就是所求线段。 课堂练习 练习1 根据所示图形填空。 已知线段，且，画一条线段，使它等于。 解：①画射线____；②在射线____上，截取____；③在线段____上，顺次截取________。 线段____就是所要画的线段。 已知线段 第1题图 答：所求线段为，且。 ，所以。 。 条件保证所求线段长度为正。 课堂练习 练习2 如图，将线段四等分。 答：按顺序取点，使。 先量出，取其中点。 再取线段的中点。 最后取线段的中点，得到四等分点。 课堂练习 练习3 如图，是线段的中点，点把线段三等分。已知线段的长为厘米，求线段的长。 厘米 答：厘米。 ，。 。 厘米。 方法总结 等分问题：化成相同的小份 方法1　二等分与四等分 ① 先找整条线段的中点。 ② 再分别找两条半段的中点。 ③ 每一小段都是整体的四分之一。 方法2　二等分与三等分相遇 ① 把二分之一与三分之一化成六分之几。 ② 两个位置之间相差整体的六分之一。 ③ 已知一小份，乘份数求整体。 课堂总结 线段和差 与中点 位置 先看各点顺序；整体由相邻部分组成。 运算 ；求剩余部分用整体减去已知部分。 作图 先画射线；圆规搬运长度；顺次求和，向回求差。 中点 ；。 特别提醒：“中点”同时包含在线段上与两段相等；作差时确认结果为正。 针对训练 训练1　选择：由位置确定算式 如图，在线段上。若厘米，厘米，则的长度是（　）。 A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 答：B 是整体，是相邻两部分。 厘米。 方法：先确定整体，再减去已知部分。 注意：写算式前要核对各点先后位置。 针对训练 训练2　选择：由半段求整段 点是线段的中点，厘米，则等于（　）。 A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 答：C 解 中点条件给出。 厘米。 方法：中点给出整条线段是半段的两倍。 注意：已知半段求整段应乘二而非除二。 方法总结 选择题：用图形关系筛选 方法1　线段和差题 ① 先圈出整体线段。 ② 求缺少的部分时，从整体中减去已知部分。 方法2　中点题 ① 已知整体求半段，除以2。 ② 已知半段求整体，乘以2。 ③ 检查答案是否符合一半与整体的大小关系。 针对训练 训练3　填空：中点与另一分点 如图，在线段上，是线段的中点。已知厘米，厘米。 ____厘米，____厘米。 答：；。 厘米。 厘米。 厘米。 方法：先由中点求半段，再作相减。 注意：求两分点间距离要用同起点的段。 针对训练 训练4　填空：相等部分与共同部分 如图，依次在同一直线上，厘米，厘米。 ____厘米，____厘米，____厘米。 答：；；。 厘米。 厘米。 厘米。 方法：把目标拆成相邻且不重叠的段。 注意：求整条线段时不要遗漏中间部分。 方法总结 填空题：每个空都回到线段图 方法1　从已知逐步补图 ① 把给定长度标在线段相应位置。 ② 有中点先标出相等的两段。 ③ 先求与已知直接相关的长度。 方法2　用相加相减完成链条 ① 两段相邻且不重叠，才能直接相加。 ② 有共同起点的两段，可相减求差。 ③ 最终把所有长度代回图中检查。 针对训练 训练5　判断：中点条件完整吗 （1）若是线段的中点，则。 √ 中点把线段分成两条相等线段。 （2）只要，就是线段的中点。 × 还应要求在线段上。 （3）若在线段上且，则是中点。 √ 剩余也为整体的一半。 （4）一条非零线段有两个不同的中点。 × 在线段上平分长度的位置只有一个。 方法：同时核对在线段上与两段相等。 注意：只有等长条件不能直接判断中点。 针对训练 训练6　判断：作图与等分 （1）画时，首尾顺次截取，所得整体表示和。 √ 相邻两段之和等于整体。 （2）已知，仍能画出长度为的线段。 × 线段的长度不能是负数。 （3）四等分一条线段，需要在内部确定三个分点。 √ 三个内部点把整体分成四段。 （4）中点把线段分成两段，所以每一段是整体的2倍。 × 每一段是整体的一半。 方法：用线段图检验作图与等分关系。 注意：表示差的线段不能具有负长度。 方法总结 判断题：数量关系与位置同时检查 方法1　中点的双重条件 ① 点必须在线段上。 ② 分出的两条线段必须相等。 ③ 仅有等长，可能出现不在线段上的点。 方法2　画图检查数量关系 ① 用相邻两段表示和。 ② 用整段去掉一部分表示差。 ③ 用相等的小段检查倍数与等分。 针对训练 训练7　计算：先求一半，再求总长 如图，在线段上，是线段的中点。已知厘米，厘米，求。 答：厘米，厘米。 厘米。 厘米。 厘米。 方法：先求已知线段的一半，再相加。 注意：中点只平分它所在线段的长度。 针对训练 训练8　计算：连续取两次中点 如图，是线段的中点，是线段的中点。已知厘米，求。 答：厘米，厘米，厘米。 厘米。 厘米。 厘米。 方法：按大段到小段的顺序逐层折半。 注意：每次折半的整体线段并不相同。 方法总结 多步计算：沿中点关系逐层求解 方法1　从整体逐层折半 ① 先求大线段的一半。 ② 再求小线段的一半。 ③ 每一步写清所用的是哪条线段的中点。 方法2　把目标拆成已知部分 ① 同向相邻的部分相加。 ② 整体中去掉已知部分用减法。 ③ 最后检查每个中点两侧长度是否相等。 针对训练 训练9　作图：画出a+2b 如图，已知线段。用直尺和圆规画一条线段，使它等于。 已知线段 作图过程 答：线段就是所求线段，。 画射线。 在射线上截取。 从向前顺次截取。 方法：将倍数展开成首尾相接的等长段。 注意：每次截取都从前一段的终点出发。 针对训练 训练10　作图：结果点位于哪里 如图，已知线段。用直尺和圆规画一条线段，使它等于；比较结果线段与的长短。 已知线段 作图过程 答：所求线段为，且。 画射线。 顺次截取，得到。 从向回截取；在之间。 方法：先顺次取两段，再从远端向回取。 注意：取回长度较短时结果点仍超过中点。 方法总结 作图题：把式子变成截取顺序 方法1　先做倍数，再做和差 ① 表示连续搬运两次。 ② 表示先取，再连续取两次。 ③ 每次搬运都保持圆规开口。 方法2　作差后检验结果 ① 明确从哪一个远端向回截取。 ② 结果点的位置应符合给定大小关系。 ③ 用线段和差写式，验证所取线段。 针对训练 训练11　解答：重叠线段怎样处理 如图，依次在同一直线上。已知厘米，厘米，求。 答：厘米。 厘米。 厘米。 厘米。 方法：先减去共同部分，再求完整线段。 注意：两段相加时共同部分不能算两次。 针对训练 训练12　解答：不同等分之间的一小段 如图，是线段四等分点中靠近的点，是线段三等分点中靠近的点。若厘米，求。 答：厘米。 ，。 。 厘米。 方法：用通分求出小段占整体的几分之几。 注意：两次等分必须从同一个端点比较。 方法总结 综合题：识别重复部分与不同份数 方法1　重叠线段先减共同部分 ① 找出两条已知线段的共同部分。 ② 分别减去共同部分，得到两端长度。 ③ 求整体时，共同部分只能计算一次。 方法2　不同等分先通分 ① 写出每个分点到同一端点的长度。 ② 通分后相减，找到所求小段占几份。 ③ 用已知小段长度乘相应份数求整体。 针对训练 训练13　应用：两根木条搭接后的长度 两根笔直木条长分别为米与米，沿同一直线搭接，重叠部分长米。搭接后的总长度是多少米？ 米 米 搭接米 答：米。 两根木条长度相加，重叠部分被计算了两次。 总长米。 只保留一份重叠长度，因此减去一次米。 方法：总长度先相加，再减去重复部分。 注意：重叠部分只应在总长度中保留一次。 针对训练 训练14　应用：步道上的灯位 一条笔直步道长米，在步道中点处装一盏灯，再在线段的中点处加装一盏灯。点到终点的距离是多少米？ 全长米 答：米。 米。 米。 米。 方法：把正中间翻译成中点，逐层求长。 注意：求到终点的距离要用整体减去前段。 方法总结 应用题：把长度关系画成线段图 方法1　拼接与重叠问题 ① 先标出每段的起点、终点与重叠部分。 ② 直接拼接用相加，重叠部分避免重复计算。 ③ 用总长和各部分关系检查结果。 方法2　等距与中点问题 ① 把“正中间”翻译成中点。 ② 按一半关系逐层求出需要的长度。 ③ 从同一端点出发，用和差求目标距离。 $