4.1 线段（第2课时 画线段的和差与线段的中点）（教学课件）数学新教材沪教版五四制六年级上册

该初中数学课件聚焦线段和差的概念、作图方法及中点定义，通过复习点线表示与线段比较方法，结合三点共线问题引导新知，构建从已知到未知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于运用类比数的运算培养抽象能力，通过图形文字符号语言结合发展几何直观，如用表格对比线段关系，尺规作图2a-b渗透推理意识。典例与动点问题提升应用意识，助力学生建立数学思维，也为教师提供系统备课资源，提高教学效率。

4.1线段 第2课时 画线段的和差 与线段的中点 第4章 线段与角 沪教版五四制2024·六年级上册 章节导读 4.1 线段 4.2角 角的比较与应用 画角的和差与角的平分线 角及其度量 余角 补角 画线段的和差与线段的中点 点与线 学 习 目 标 1 2 3 通过类比数的加减法，理解线段和、差的意义，能用等式表示两条线段的和、差； 经历操作过程，掌握使用刻度尺和直尺、圆规画线段的和、差的方法，学会用数学的语言 规范表达作图的过程，提升数学表达能力。 理解线段中点的意义，能用符号语言表示线段的中点，培养符号意识，能用刻度尺画线段 的中点。 课题引入 复习引入 如何表示点和线？ 1.点的表示 记为：点A. 2.直线、射线、线段的表示 记作：“直线AB” 或“直线BA”； 记作：“直线l”. 记作：“射线AB”. 记作：“线段AB” 或“线段BA”； 记作：“线段a”. 课题引入 复习引入 如何比较两条线段的长度？ 新知探究 问题思考 如图所示，A、B、C三点在一条直线上， （1）图中有几条线段？ 图中有三条线段：AB、BC、AC （2）这几条线段之间有怎样的数量关系？ AB+BC=AC， AC－BC=AB， AC－AB=BC. 线段和数一样可以进行加减。 新知探究 概念学习 线段的和与差 单位长度一旦给定，线段的长度就可以用一个数来表示.因此，线段长度可以像数一样做加法、减法运算.如果一条线段的长度等于另外两条线段长度的和（或差），那么称这条线段就是另外两条线段的和（或差）. 新知探究 问题思考 如图，点B、C在线段AD上，如果线段AB=CD，那么线段AC和BD有怎样的关系？为什么？ 所以AC=BD. 因为AB=CD， 所以AB+BC=CD+BC， 在等式的两边分别加上相等的量，等式仍然成立. 那么给定两条线段你能作出它们的和线段吗？ 新知探究 问题思考 如图，已知线段a、b，用刻度尺画一条线段，使它等于a+b. 解（1）用刻度尺量出线段a的长度为30mm， 因此线段a和线段b的长度的和为40mm； 线段b的长度为10mm， （2）画射线OP； （3）用刻度尺在射线OP上取点A，使得OA=40mm. 线段OA就是所要画的线段. 那么a-b呢？ 新知探究 问题思考 如图，已知线段a、b，用刻度尺画一条线段，使它等于a-b. 解（1）用刻度尺量出线段a的长度为30mm， 因此线段a和线段b的长度的和为20mm； 线段b的长度为10mm， （2）画射线OP； （3）用刻度尺在射线OP上取点B，使得OB=40mm. 线段OB就是所要画的线段. 借助刻度尺通过测量的方法可以作出线段的和与差。还有别的方法吗？ 新知探究 问题思考 如图，已知线段a、b. （1）用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b； （2）用直尺和圆规画一条线段，使它等于ab. 新知探究 问题思考 如图，已知线段a、b. （1）用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b； 线段OB就是所要画的线段. 解 （1）如图， 画射线OP； 在射线OP上从点O起， 顺次截取OA=a, 截取AB=b； 解 （1）如图， 画射线OP； 在射线OP上从点O起，顺次截取OA=a, 截取AB=b； 一条射线上 新知探究 问题思考 如图，已知线段a、b. （2）用直尺和圆规画一条线段，使它等于ab. 线段OD就是所要画的线段. 在射线OP上截取OC=a, 在线段OC截取CD=b； （2）如图， 画射线OP； 在射线OP上截取OC=a, 在线段OC截取CD=b； 因为OD+DC=OC, 所以OD=OCCD, 所以OD=ab. 还有别的画法吗？ 新知探究 问题思考 如图，已知线段a、b. （2）用直尺和圆规画一条线段，使它等于ab. 线段CD就是所要画的线段. （2）如图， 画射线OP； 在射线OP上截取OC=a, 在线段OC截取OD=b； a b 新知探究 问题思考 如图，已知线段a、b. （1）用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b； （2）用直尺和圆规画一条线段，使它等于ab. 如图1，线段OB的长度就是线段OA的长度加上线段AB的长度， 图1 图2 即有OB=OA+AB. 因为OA=a，AB=b， 所以OB=a+b. 如图2，线段OD的长度就是线段OC的长度减去线段CD的长度， 即有OD=OC CD. 因为OC=a，CD=b， 所以OD=ab. a b a b 新知探究 概念学习 什么叫2a？ 如果一条线段b是两条线段a的和，就说线段b是线段a的2倍，将线段a的2倍记为2a，则b=2a. 概念学习 线段的和与差 单位长度一旦给定，线段的长度就可以用一个数来表示.因此，线段长度可以像数一样做加法、减法运算.如果一条线段的长度等于另外两条线段长度的和（或差），那么称这条线段就是另外两条线段的和（或差）. 例1 如图，已知线段a、b，用直尺和圆规画一条线段 , 使它等于2ab. 典例分析 解 如图 （1）画射线OP； （2）在射线OP上顺次截取OA=a，AB=a； （3）在线段OB上截取BC=b. 线段OC就是所要画的线段. 类似地已知一条线段a，我们也能像上面画出它的3倍、4倍、5倍等长度. 新知探究 …… a a a a a a a a a a a a 线段a的n倍 b=3a b=4a b=5a b=na …… …… b b b 如果一条线段b是n条线段a的和，就说线段b是线段a的n倍，或线段a是线段b的n分之一，记作b=na或 . 新知探究 如图，M是线段AB的中点，那么 概念学习 线段的中点 将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点. 例2 如图，已知一条线段AB，画出它的中点C. 典例分析 解 （1）用刻度尺量出AB=40mm， 计算得AC= =20mm； （2）用刻度尺在线段AB上取点C， 使得AC=20mm. 点C就是所要画的线段AB的中点. 例3 如图，C是线段AB上的一点，D是线段AC的中点.如果AB=10，AD=4.5，求线段AC、CB的长. 典例分析 解 因为D是线段AC的中点， 所以AC=2AD. 因为AD=4.5， 所以AC=9. 所以CB=ABAC=1. 因为AB=10， D是线段AC的中点 AC=2AD=2CD 或AD=CD=AC AD=4.5 AC=2AD=9 AB=10 CB=ABAC=1 分析 例4 如图，P是线段AB的中点，点C、D把线段AB三等分，已知线段CP的长为1cm，求线段AB的长. 典例分析 P是线段AB的中点 AB=2AP=2BP 或AP=BP=AB 点C、D把线段AB三等分 AB=3AC=3CD=3BD 或AC=CD=BD=AB 1cm CP=APAC CP=AB 因为P是线段AB的中点， 所以AP=AB=. 因为点C、D把线段AB三等分， 所以AC=AB= 解 设线段AB的长为xcm. x x 分析 解得x=6. 所以=1， 所以线段AB的长为6cm. 又因为CP=APAC 线段作图问题 题型一 题型探究 练习1 如图，已知线段，作一条线段使它等于，不写作法． 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段及线段的长短比较．在射线上作，即可． 解：如图，在射线上作， ∴线段即为所求． 线段中点相关计算 题型二 题型探究 练习2 三点在一条直线上，， ， 的中点是 ，的中点是 ，求线段的长． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别画出图形，根据线段中点的定义解答即可，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：当点在线段上时，如图， ∵， ， ∴， ∵点是的中点， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵， ， ∴， ∵点是的中点， ∴； 综上，线段的长为或． 动点问题 题型三 题型探究 练习3 如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长；(2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值；(4)当时，直接写出t的值． 动点问题 题型三 题型探究 练习3 如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； 【分析】分别求出和的长，即可求出； （1）解：∵点C为线段的中点，． ∴ 点P从点B运动到点C时间为秒，从点C运动到点A时间为秒，从点A运动到点C时间为秒， ∴点P与点C第二次重合时时间为秒， 点Q从点C运动到点A时间为秒， 则点Q运动秒时， ∵， ∴； 动点问题 题型三 题型探究 练习3 如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (2)当时，求证：； 【分析】当时，点P在线段上，点Q在线段上，求出即可； （2）解：证明：当时，点P在线段上，点Q在线段上， 此时，， ∴ 动点问题 题型三 题型探究 练习3 如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； 【分析】分段讨论，当时，当时，当时，当时，分别列方程求解即可； （3）解：当点P、Q相遇时， ①当时，点P在上，点Q在上，此时点P、Q不能相遇； ②当时，点P、Q都在线段上，当点P、Q相遇时，，方程无解； ③当时，点P从点C向点A运动，点Q从点A向点C运动， 此时， 当点P、Q相遇时，解得； ④当时，点P、Q均从点A向点B运动，此时，， 当点P、Q相遇时，，解得； 综上，当点P、Q相遇时，t的值为或8； 动点问题 题型三 题型探究 练习3 如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (4)当时，直接写出t的值． 【分析】分情况，利用列方程，求出t的值即可． （4）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍）． 当时，， ∴，解得； 当时，，， ∴，解得； 当时，，， ∴，方程无解； 综上，当时，t的值为1或或． 课堂小结 想一想 1.本节课学了哪些新知识？ 2.之前学习的内容有怎样的关系？ 3.其中蕴含了什么样的数学思想？ 1.线段的和与差 单位长度一旦给定，线段的长度就可以用一个数来表示.因此，线段长度可以像数一样做加法、减法运算.如果一条线段的长度等于另外两条线段长度的和（或差），那么称这条线段就是另外两条线段的和（或差）. 3.线段的中点：将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点. 2.如果一条线段b是n条线段a的和，就说线段b是线段a的n倍，或线段a是线段b的n分之一，记作b=na或 . 感谢聆听! $$