4.2 角（第4课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册

第4章 线段与角 4.2 角 （第4课时）余角、补角 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 从直角与平角寻找新的关系 分割直角 分割平角 复习：一个直角是，一个平角是。 整体与部分：直角或平角被一条内部射线分成两个角。 思考：知道其中一个角，怎样求另一个角？ 新知讲授 问题2　三角尺中两个锐角的关系 如图，我们所用的一副三角尺中，每把都有一个角是。同一把三角尺的两个锐角存在着怎样的数量关系？ 一把三角尺 另一把三角尺 答：同一把三角尺的两个锐角的和等于。 一把三角尺：。 另一把三角尺：。 新知讲授 操作　测量两个锐角的和 画一个直角三角形，用量角器量出这个直角三角形的两个锐角的度数。这两个锐角有什么数量关系？ 答：两锐角的度数之和为。 画一个直角三角形并量出两个锐角。 例如测得和，和为。 更换一个直角三角形再测量验证。 新知讲授 互为余角 定义：如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角称为另一个角的余角． 数量关系：。 求余角：已知一个角为，它的余角为。 新知讲授 互为补角 定义：如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角称为另一个角的补角． 数量关系：。 求补角：已知一个角为，它的补角为。 新知讲授 余角与补角：抓住两个不同的总量 互余：和为90° 互补：和为180° 互余：两个角相加为；如与。 互补：两个角相加为；如与。 表述：说“角的余角是”，不能只说“是余角”。 新知讲授 辨析　余角一定要挨在一起吗 如图，两个角分别为和，它们不共顶点、不共边。这两个角互为余角吗？说明理由。 答：互为余角。 。 判断依据是度数之和，不是摆放位置。 新知讲授 辨析　两个补角不必拼成平角 如图，。判断两角的关系，并求的余角。 答：两角互补；的余角为。 ，所以互补。 。 例题讲解 例 7 已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数。 答：这个角为。 解 设这个角为，列。 解得，所以。 余角、补角，满足3倍关系。 方法：用同一个未知数表示原角、余角和补角。 注意：3倍作用于整个余角，必须加括号。 例题讲解 变式 变式　倍数条件改变后怎样列式 已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数。 答：这个角为。 解 设这个角为，则。 整理得，所以。 余角、补角，满足条件。 新知讲授 探究　同一个角的补角与余角相差多少 一个锐角为，分别写出它的补角与余角，并比较两者的度数。 答：补角总比余角大。 解 补角为，余角为。 两者之差为。 差值不随这个锐角的大小改变。 新知讲授 思考　同一个角的余角 如果和互为余角，和互为余角，那么和有什么关系？为什么？ 答：。 解 。 。 两个角都等于同一个量，所以相等。 新知讲授 余角的性质 ∠1与∠2互余 ∠3与∠2互余 性质：同角（或等角）的余角相等； 同角：，则。 等角：若，则。 新知讲授 思考　同一个角的补角 如果和互为补角，和互为补角，那么和有什么关系？为什么？ 答：。 解 。 。 两个角都等于同一个量，所以相等。 新知讲授 补角的性质 ∠α与∠β互补 ∠γ与∠β互补 性质：同角（或等角）的补角相等． 同角：，则。 等角：若，则。 例题讲解 运用性质　等角的余角 如图，，。说明与的关系。 答：。 是的余角。 是的余角。 等角的余角相等，所以两角相等。 新知讲授 辨析　不能把性质的条件漏掉 （1）两个锐角一定互为余角。 × 如，不等于。 （2）同一个角的余角与补角相等。 × 同一个锐角的补角比余角大。 （3）两个相等的角的补角也相等。 √ 符合等角的补角相等。 例题讲解 例 8 如图，点在同一直线上，射线和射线分别平分和。在图中找出的余角。 答：是的余角。 。 平分得，。 两式相加：。 方法：先把两个平分后的角加起来。 注意：没有给度数时，可以直接用整体关系。 例题讲解 例 8 如图，点在同一直线上，射线和射线分别平分和。在图中找出的余角。 答：的余角有。 已知。 平分，所以。 因此。 方法：找到一个余角，再寻找与它相等的角。 注意：图中度数看似相同，仍须有条件依据。 例题讲解 变式 变式　已知一个半角求其余角 如图，点在同一直线上，分别平分。若，求与。 答：。 。 。 。 课堂练习 练习1 （1）在图（1）中画射线，使与互余； （2）在图（2）中画射线，使与互补。 （1） （2） 答：（1）所画射线如图，是一种画法。 作使，且在其内部。 。 所以与互余。 课堂练习 练习1 （1）在图（1）中画射线，使与互余； （2）在图（2）中画射线，使与互补。 （1） （2） 答：（2）延长，从向延长方向作射线。 从沿方向画出射线。 在同一直线上，。 ，所以互补。 课堂练习 练习2 已知一个角的补角比它的余角的2倍大，求这个角的度数。 答：这个角为。 解 设这个角为，得。 整理得。 补角，余角，。 课堂练习 练习3 已知的度数是的度数的，且的补角比的余角的3倍大。求的度数。 答：。 解 设，则。 ，解得。 。 方法：先用一个未知数表示两个原角。 注意：谁的余角、谁的补角，不能张冠李戴。 课堂总结 余角 与补角 互余 两角之和为；余角为。 互补 两角之和为；补角为。 性质 同角或等角的余角相等；补角相等。 求解 由图列和差；由数量关系列方程。 特别提醒：互余、互补说的是两个角的数量关系；不由角的位置决定。 针对训练 训练1　选择：求一个角的余角 一个角为，它的余角是（　）。 A. B. C. D. 答：B 解 余角与原角的和为。 。 方法：余角与原角的和为90°，据此相减。 注意：求余角使用90°，不要误用180°。 针对训练 训练2　选择：由原角判断补角 一个锐角的补角一定是（　）。 A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角 答：C 解 锐角大于且小于。 用减去锐角，结果大于且小于。 方法：先用180°减锐角，再判断结果范围。 注意：锐角的补角大于90°且小于180°。 方法总结 选择题：先辨总量，再判断范围 方法1　辨认余角与补角 ① 出现余角，先写和为90°。 ② 出现补角，先写和为180°。 方法2　估计角的范围 ① 锐角的余角仍是锐角。 ② 锐角的补角是钝角。 ③ 计算后检查是否符合范围。 针对训练 训练3　填空：直接求余角与补角 完成下列填空： （1） 角的余角为____。 （2） 角的补角为____。 （3） 一个角的余角是，这个角为____。 （4） 一个锐角的补角与余角相差____。 解第（1）题 。 解第（2）题 。 方法：先辨认余角或补角，再确定相减总量。 注意：原角与其余角、补角的对象要对应。 针对训练 训练3　填空：由关系反求与比较 完成下列填空： （1） 角的余角为____。 （2） 角的补角为____。 （3） 一个角的余角是，这个角为____。 （4） 一个锐角的补角与余角相差____。 解第（3）题 。 解第（4）题 。 方法：先用总量反求原角，再比较余补角。 注意：同一锐角的补角恒比余角大90°。 针对训练 训练4　判断并说明理由 （1）两个45°的角互为余角。 √ ，符合互余的定义。 （2）两个互补的角一定一个是锐角，一个是钝角。 × 两个角也互补。 （3）如果两个角相等，那么它们的补角也相等。 √ 等角的补角相等。 （4）两个角不共顶点，所以不可能互为余角。 × 互余只要求两个角的和为。 方法：把互余互补翻译成角度和逐项检验。 注意：否定“一定”时，给出一个具体反例。 方法总结 填空与判断：定义是检验标准 方法1　用等式检验 ① 把文字关系写成角度和。 ② 需要反求时，用总量减去已知角。 方法2　用反例纠正绝对说法 ① “一定”不成立时给出具体反例。 ② 两个直角可以互补。 ③ 角的位置不能代替度数条件。 针对训练 训练5　计算：含度与分的角 已知，求它的余角和补角。 答：余角为；补角为。 解 ，相减得。 ，相减得。 检验两个结果相差。 方法：分不够减时，先向度借1换成60分。 注意：退位后度数减1，分的数值才能加60。 针对训练 训练6　解方程：余角比原角小18° 一个角的余角比这个角小。求这个角及它的补角。 答：这个角为，补角为。 解 设这个角为，则。 解得。 它的补角为。 方法：用同一未知数表示原角和它的余角。 注意：“余角比原角小”须按比较方向列式。 方法总结 计算题：先列关系，再完成运算 方法1　含度分的计算 ① 减数的分较大时，先向度借1。 ② 1°化为60′，不能按十进制退位。 ③ 把结果代回角度和检查。 方法2　方程求角 ① 设原角为x°，再表示余角或补角。 ② “比……小”要明确比较对象。 ③ 解方程后回答题目要求的每个角。 针对训练 训练7　作图：画出余角和补角 用量角器画，再在同一顶点画出它的一个余角和一个补角，并标出角的名称。 答：余角可为；补角可为。 画。 画，则。 画，则。 方法：用直角和平角作为作图的总量。 注意：把新得到的角名写清，勿只写度数。 针对训练 训练8　说理：等角的补角 如图，与分别在同一直线上，。说明与的大小关系。 答：。 与互补。 与互补。 等角的补角相等，所以两角相等。 方法：先说明互补，再应用等角补角相等。 注意：两条直线中的对应角要逐一匹配。 方法总结 作图与说理：围绕90°与180°展开 方法1　作图形成总量 ① 求余角可先画直角，再去掉原角。 ② 求补角可反向延长原角的一边。 ③ 标清新角的顶点和两边。 方法2　说理完整引用性质 ① 先说明哪两个角互余或互补。 ② 再指出对应的原角相等。 ③ 最后使用同角或等角的性质。 针对训练 训练9　综合：直角内的两条平分线 如图，，在角内，分别平分。求的度数。 答：。 。 ，。 。 方法：先把两个半角相加，再代入整体直角。 注意：两条平分线分别平分相邻的两个角。 针对训练 训练10　综合：求一对补角 两个角互补，其中较大的角比较小的角的2倍大。求这两个角的度数。 答：较小角为，较大角为。 解 设较小角为，较大角为。 ，解得。 较大角为，两角之和为。 方法：用小角表示大角，再利用互补列方程。 注意：30°加在两倍角外，不能放进倍数内。 方法总结 综合题：把平分关系与总量连接起来 方法1　图形中的整体关系 ① 直角对应90°，平角对应180°。 ② 分别写出两个平分关系再相加。 ③ 保留字母计算可避免多设未知数。 方法2　一对角的方程 ① 用一个未知数表示两个角。 ② 互余或互补给出总和方程。 ③ 检查大小关系和题设倍数关系。 针对训练 训练11　应用：调整探照灯 如图，水平地面方向与竖直立柱方向成直角，探照灯光线与夹角为。灯光与竖直方向的夹角多大？若再向上转，该夹角变为多少？ 答：原夹角；调整后为。 。 向上转动后，灯光更接近竖直方向。 新夹角为。 方法：先由直角求夹角，再计算转动后的角。 注意：光线靠近竖直方向时，夹角应减小。 针对训练 训练12　应用：道路交会处的转向 如图，东西方向的直路经过三点，支路与向东的夹角为。从路口朝西的方向转向支路，沿较小角转动多少度？ 答：沿较小角转动。 组成平角，度数为。 与互补。 。 方法：先辨认相反方向，再用平角减已知角。 注意：所求是从西向支路转过的较小角。 方法总结 应用题：用实际方向确定互余或互补 方法1　把情境转化为图形 ① 水平与竖直方向构成直角。 ② 相反方向构成平角。 ③ 把变化前后的方向分别画成射线。 方法2　计算后解释实际含义 ① 以90°或180°为总量列式。 ② 结合转向判断应增加还是减少。 ③ 答案写清夹角或转动角及其单位。 $