知识板块二 弧长同步训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦圆的计算三大核心模块，以“条件转化-方法迁移-空间建模”为主线，系统构建弧长、阴影面积、圆锥展开的解题方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |弧长计算|4考点（隐角度/半径/定路径/隐路径）|辅助线构造圆心角、网格定位半径、动态路径转化|从弧长公式要素（圆心角、半径）到动态路径问题，层层递进| |阴影面积计算|2方法（和差法/割补法）|和差法（图形面积加减）、割补法（重组图形）|基于扇形与多边形面积关系，实现复杂图形简化| |圆锥侧面展开图|3考点（分割/拼接/最短路径）|分割表面积分析、拼接对应关系、展开化曲为直|通过侧面展开图建立弧长与底面周长联系，培养空间观念|

知识板块二弧长、扇形、圆锥 拆分突破5圆的有关计算（一）弧的长度 必刷考点一隐角度求弧长 1.如图，AB,CD是⊙0的弦，延长AB,CD相交于点P.若∠P=30°，∠A0C=80°，0A=9,则BD 的长为 B 必刷考点二隐半径求弧长 2.(2026南充)如图，在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B, C均为格点（即小正方形的顶点），AC经过点B,D.若∠BAD=25°，则BD的长为 B 必刷考点三定路径求弧长 3.已知一个圆心角为240°，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示(A,B两点触地放 置)，向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是 B B 必刷考点四隐路径求弧长 4.如图，AC为⊙0的直径，点B为.AC上一动点，∠ABC的平分线BE与∠CAB的平分线 AF交于点D,点E,F均在⊙O上，当点B从点A运动到点C时，记点D运动路径长 为s1,点F运动路径长为s2,则S1的值为 S, E A 0 C D B 拆分突破6圆的有关计算（二）阴影部分的面积 必刷考点一和差法 1.如图，在ABCD中，AD= B,2BAD=45,以点A为圆心，AD为半径画 于点E,连接CE.若AB=3V2,则图中阴影部分的面积是 D E B 2.(2026大连)如图，在△ABC中，AB=5,将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE,点B 经过的路径为BD,则图中阴影部分的面积为 E D C 30° A B 3.如图，AB为⊙0的直径，过圆心0作0C⊥AB,交⊙0于点C,以点C为圆心，CA为半径作 花，若S阴影=4，则⊙0的半径为一 0 B C 必刷考点二割补法 4.如图，在扇形AOB中，∠A0B=90°，点C为OA的中点，CELOA交AB于点E,以0为圆心， 0C为半径作CD与OB交于点D,若0A=4,则阴影部分的面积为 E B D A 拆分突破7圆的有关计算（三）圆锥的侧面展开图 必刷考点一分割圆锥 1.将一个底面直径为12cm的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了96 cm2,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 必刷考点二拼接圆锥 2.(2026襄阳)如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片FCD后，分别 裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为 只V15,则圆锥底面半径的长为 E B F 必刷考点三最短路径 3.如图，已知C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB=6,AB=4,一只蚂蚁沿 着圆锥的侧面从点A爬到点C,则蚂蚁爬行的最短路程为 知识板块二弧长、扇形、圆锥 拆分突破5圆的有关计 算（一）弧的长度 1,T解：连接OB,0D,BC,则∠P=∠ABC-∠BCD=(∠AOC-∠BOD)=30°， .∠BOD=∠AOC-2×30°=20°， .BD的长为 20×π×9 =， 180 2.50江解：作线段4C,A8的垂直平分线，交点即为圆心0，连接03,60 18 由条件可知∠B0D-2∠BAD=50° 0B=12+32=10, ∴lan-50n×0-58/0m 180 18 3.6T解：.∠A0B=360°-240°=120°， .∠AB0=30°， ÷圆心0旋转的长度为2×60rX3-2, 180 圆心0移动的距离为 240πx3=4元，.圆心0所经过的路线长=214π=6元 180 4.√2解：连接EA,C,设⊙0的半径为R,则EA=V2R, ,∠EAC=∠EBC=∠EBA,∠CAF=∠BAF, ,'.∠EAC+∠CAF=∠EBA+∠BAF, ∴∠EAF=∠EDA, ..EA=ED, .点D在以E为圆心，EA为半径的圆上， ∴.点D运动路径是以EA为半径，圆心角为90°的弧长， 点F运动路径是以OA为半径，圆心角为90°的弧长， s,=90nx92R-2R5,=90R=zR ,S2 180 2 18021 .1=2. S, 拆分突破6圆的有关计 算（二）阴影部分的面积 1.5V2-π解：过点D作DF⊥AB于点F. AD=2AB,2 BAD=45,A B-32 3 AD=2×32=22, Dp=22×2=2 2 AE-AD-22 EB-AB-AE-2 =3V2×2- 45n×1221x2 360 2 ×2=52-π. 2. 12 解：由题意，得S△AED=S△ABC,,由图形可知， Sm=S△AED+S扇形ADB-S△ABC, .Sm=S扇形ADB=30πX502= 25 12 3.2解：由题意知∠ACB=90°，设⊙0的半径为r, 则AC=√0A2+0C2=2x .S图形=S02=(S扇形ACB一S△ABC) r2 90π×R2r22rxr 2 360 2 =4, ∴.r2=4,解得r=2, .⊙0的半径为2. 423+号解：连接旭，0B则△0E为等边三角形， .∠C0B=60°， ∴.CE=V0E2-0C2=930C=2V3, 5×2×283-283, 30 S西形瓶060办x42-=4刀 3 90 S肉o96 π×22=π， ∴.S甲形=SAOCE+S稀B03肉形 =23+4π-π=23+ 3 3 拆分突破？圆的有关计 算（三）圆锥的侧面展开图 1.216°解：由条件可知表面积增加两个等腰三角形的面积， 设锥份商为h,则12×h= 2解得h=8, :底面半径为r=2=6, 圆锥的母线为1=r+R=10, 设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为0。则 日×10π=12元， 180 解得9=180X121=216. 10π 2.1解：设CF=2r,BF=R,则 1×2πR=2r, .R=4r R2=h2+r2, .16r2=15+r2, .r2=1, r>0, .r=1, .圆锥底面半径的长为1. 3.3V3解：由题意知，底面圆的直径AB4,故底面周长等于4π，设圆锥的侧面展开后的 扇形圆心角为n°，.4π=mx6 ,解得n=120, 180 ∴.展开图中∠ASC=120°÷2=60°， ,SA=SB,∠ASB=60°， ∴.△SAB为等边三角形，又，C为SB的中点， .ACLSB,.在直角三角形SAC中，SA=6,SC=3, .AC=3V3, 所以蚂蚁爬行的最短路程为33