周测02 一元二次方程根与系数的关系 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级上册“一元二次方程根与系数的关系”周测试卷，整合多地阶段检测真题，通过基础计算、综合应用及创新情境题（如“差根方程”“常定数”），考查运算能力、推理意识与模型意识，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|根的和差计算、系数关系应用（如相反数根）|结合对称点等几何情境，考查抽象能力| |填空题|6/18|两根代数式变形（如平方和）、参数关系|立足基础，强化符号意识| |解答题|6/58|判别式与系数综合、创新定义应用（如“差根方程”）|融入直角三角形情境，发展模型意识与创新思维|

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册周测 周测02一元二次方程根与系数的关系 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.(2526九年级上厂西挂林阶段检测)已知，六是方程-10x-15=0的两个实数根，则名 () A.10 B.-10 C.15 D.-15 2.(25-26九年级上云南昆明阶段检测)已知“，b是方程r-x-6=0的两个实数根，则a+16+)的 值是() A.-4 B.-6 C.6 D.8 3.(25-26九年级上河北石家庄阶段检测)设一元二次方程-2r-3=0的两个实根为”和，则 x二（) A.-2 B.2 C.-3 D.3 -b+b2-4ac 4.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)当a=1,b=m,c=-15时，若代数式2a 的值为 -b-b2-4ac 3,则代数式 2a 的值为() A.5 B.-5 C.1 D.-1 5.(2026河北唐山模拟预测若点12-与点B(-) 关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程 x2+mx-3=0 根的说法正确的是() 115 A.有两个相等的实数根 B.x=1是原方程的一个根C.两根之和为-2D, 两根之积为-3 6。（2026山东济南一模)若关于x的方程+(m-3列x+m+1=0 的两根互为相反数，则m的值是 () A.+v3 B V3 C-v3 D.~1 7.（25-26九年级上：山东聊城期末)若关于x的一元二次方程+r+c=0a≠0 各项系数满足 a+b+c=0,则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是() A必有两个不相等的实数根 B.当a=C时，有两个相等的实数根 C.当a,c同号时，方程有两个正的实数根D.当a,b同号时，方程有两个异号实数根 8.(25-26八年级下·重庆渝中·期末)已知整 M()=a,+a1++a+,其中p,为整 数，大与均为正整数，且<a小K<a<a,记=a+a++a+h,请选出正确的选 ,记 项() A.若W=9,则满足条件的多项 M:()一共有8个 B.当k=2026,且W取最小值时，将全部符合条件的多项式 M,as()相加，结果是单项式 c.4()= 有两个实数根为元，若+戈=1， ,则"的最小值为8 D.以上选项均不正确 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 2+X )。(25-26九年级上天津河东期末)已知方程+-m=0的两根分别为2，，则2+ 的值为一 10,(25-26九年级上海南省直辖县级单位阶段检测)关于x的方程2r-2x-4=0 X1 X2 两根分别为、， 则+5巧」 的值为 215 11.(25-26八年级上·上海浦东新期末)若m,n是方程x2-2x-1=0的两个实数根，则mn-4m-4n的值 为一 12.(2526八年级上上海普陀期末)已知、是一元二次方程2--8=0的两个实数根，则 云+的值是一· 13.(25-26八年级下江苏苏州期末)已知一元二次方程x+3x-2=0的两个实数根分别为a、b,则代 数式a2-3b+3的值为. 4.(2526八年级下渐江台州期末)若方程+m+=0的两根分别是方有++m-5=0的两根 的相反数，则mn=」 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15.(8分)(25-26九年级上广东期中)已知关于x的一元二次方程x2-x+2m-4=0有两个实数根. (1)求m的取值范围： (②)若方程的两根满足5=㎡7 求m的值. 16.(8分)(25-26九年级上陕西安康期中)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根 x1,2 (1)求m的取值范围， ②)当+号=6所 时，求m的值. x2+(2k+1)x+k2+1=0 17.(10分)(25-26八年级下·黑龙江大庆期末)已知关于x的一元二次方程 (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围： ②若方程的两个实数根，满足+，求k的值。 315 18.(10分)(25-26八年级下吉林长春期末)在复习一元二次方程r+r+c=0a≠0) 时，旺仔同学 总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式△=b-4ac； -b±√公 知识点二：求根公式=2a: b 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，x,则 a a. 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围： ②)若一元二次方程”-2x-1=0的两个实数根为， X1,X2 ①计算+5=5= ②求年-1-的值： 1+1=k-1 3)若一元二次方程x2-2x+k1=0的两个实数根为x,2,且x,直接写出k的值. 19.(10分)(25-26八年级下·浙江台州·期末)对于代数式ax+bx+c,若存在实数n,使得当x=n时， 代数式的值等于常数，则称n为这个代数式的常定数.例如，对于代数式axr2-2ax+1,当x=0时， 代数式的值为1，当x=2时，代数式的值为1，所以0和2是这个代数式的常定数，当x=1时，代数 式的值为a-2a+1=1-a,不是恒定的常数，所以1不是这个代数式的常定数. (1)判断：x=2 (是或不是)代数式mx2-3mx+4的常定数. (②)代数式mx2-5mx+4是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由. B)已知代数式mx2-2+4,当x分别为0和1时，代数式的值均为4，若2mx-3-mx-3)-6m存 415 在两个常定数和，求+5 ‘的值. 20.(12分)(25-26八年级下广东深圳期末)已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0有两个实数根 ,,若满足 -2=1 则此类方程叫做“差根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问 题： (1)下列是“差根方程”的是一 (填写序号) ①x2-x=0:②x2-4x-5=0 (2)已知关于x的方程x2+2ar=0是“差根方程”，求a的值. B)记知△AB 是直角三角形，斜边8C的长为万，者 ,若4A C的两边MB、1C的长是一个二次项系数 为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”， 5/52026-2027学年度苏科版数学九年级上册周测 周测02一元二次方程根与系数的关系 (考试时间：45分钟，分值：60分) 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1.(25-26八年级下广西贺州期末)已知方程2-5x+1=0的两根分别为，5，则+号。 的值为 () 5 5 A.2 B.2 C. 11 2.(25-26八年级下山东青岛期未)若。’B是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根，则a+B的值为 (). 1 1 A,3 B.-3 C.3 D.-3 3。(25-26九年级上广西南宁阶段检测)若一元二次方程-红+3=0的两个实数根为，5，则+ 的值是() A.7 B.4 C.3 D.-3 4.(25-26九年级上湖北爽阳阶段检测)已知、”是一元二次方程-3x+1=0 的两个实根，则 x+x2-xx2 的值为() A.-4 B.-2 C.2 D.4 5.(25-26八年级上上海阶段检测)已知方程x-3x+k=0的一个根是另一个根的2倍，则k的值是 () A.1 B.-1 C.2 D.-2 6(25-26九年级上四川泸州期末)定义：若关于x的一元二次方程“r++c=0a≠0) 的两个实数根 113 分别为，，<)分别以，云为横坐标和纵坐标得到点 M(:,）,则称点M为该一元二次 方程的衍生点.已知不论 (k≠0为何值，关于x的方程+伽+C=0的衍生点M始终在直线 y=-c+2(4+)上，则b,c的值为（） A.b=2,c=8 B.b=-2,c=-8 C.b=10,c=-16 D.b=-10,c=16 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7.(25-26九年级下上海长宁·期中)如果关于x的方程x2-4Cx+2c-2=0有一根是x=0,那么该方程的 另一根是 8.(25-26九年级下北京期中)若是一元二次方程+5x+3=0的两个根，则了+ 9。(25-26八年级下北京期末)若，是方程+x-1=0的两根，则++不的值为 10.(25-26八年级下浙江宁波期末)若关于的一元二次方程2x+2mr+m-1=0 X1 X2 的两个根为， 则5+5 的值为 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11.(8分)(25-26九年级上贵州贵阳期中)已知关于x的方程x2-2x+m-2=0. (1)该方程有两个不相等的实数根，求m的范围； (②)若该方程有一个根x=2,求m的值及另一个根。 m+1)x2-2mx+m-1=0 12.(10分)(25-26八年级下·浙江丽水·期末)已知关于的方程 (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解： (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根： 213 x1-x2 ②已知和七是该方程的两个根，求出2的值.（用含m的代数式表示） x-1)(x-2)=m2 13.(12分)(25-26八年级下河北张家口期末)已知关于x的方程 (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根： ②)若，是方程的两根。 ①当专1 时，求m的值： ②直接写出代数式≤-1-)的最小值. 3/3 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册 周测 周测02 一元二次方程根与系数的关系 （考试时间：45分钟，分值：60分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．（25-26八年级下·广西贺州·期末）已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定方程中二次项系数和一次项系数后代入公式计算即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程 ， 若方程两根为 ， 则两根之和 ， ∵ 原方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入计算即可求解． 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 3．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）若一元二次方程的两个实数根为，，则的值是（   ） A．7 B．4 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，两根之和为 进行计算即可． 【详解】∵ 方程 中，，， ∴ ． 故选：B． 4．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知、是一元二次方程的两个实根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；设方程的两个根为r和，利用根与系数的关系求和与积，解出r后求k. 【详解】解：设方程的两个根为r和， ∴两根之和， ∴， ∴， ∴另一个根为， ∵两根之积， ∴. 故选：C. 6．（25-26九年级上·四川泸州·期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，（）分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线上，则b，c的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的衍生点定义、直线过定点问题及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，正确理解衍生点的定义是解题的关键． 将直线方程化为含参数的形式，求出定点坐标，衍生点即为该定点，从而得方程的两个根，再利用根与系数的关系求b和c． 【详解】解：直线可化为， 则， 解得， 即， 由于直线恒过定点， 则不论为何值，衍生点M始终在该直线上， 即衍生点M的坐标为， 则方程的两个根为、， 由根与系数的关系，得： ， 则， 即， 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7．（25-26九年级下·上海长宁·期中）如果关于x的方程有一根是，那么该方程的另一根是________． 【答案】4 【分析】先根据一元二次方程根的定义，将已知根0代入原方程求出参数的值，再利用根与系数的关系计算出方程的另一根． 【详解】解：将0代入方程中， 得 解得， 设方程的另一根为， ∵其中一根为， ∴ 解得． 8．（25-26九年级下·北京·期中）若是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【分析】确定方程的二次项系数与一次项系数后，代入公式即可求解. 【详解】解：对于一元二次方程 ， 若方程的两个根为 ，则 , ∵一元二次方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 9．（25-26八年级下·北京·期末）若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的值，最后代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的根， ， 整理得， 又，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得， 将，代入代数式得． 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为完全平方公式的展开形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中，，， 由根与系数的关系可得：，， 将所求代数式变形得：， 代入计算得：， 故的值为． 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11．（8分）（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）已知关于x的方程． (1)该方程有两个不相等的实数根，求m的范围； (2)若该方程有一个根，求m的值及另一个根． 【答案】(1) (2)，另一个根为 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解关于x的方程有两个不相等的实数根，得，再求出m的范围，即可作答． （2）记另一个根为，结合该方程有一个根，以及根与系数的关系，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，………………2分 ∴， ∴ 解得． （2）解：依题意，记另一个根为，………………4分 ∵关于x的方程有一个根， ∴， ∴，………………6分 ∵， ∴， 解得．………………8分 12．（10分）（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)①见详解 ②． 【分析】（1）根据一元一次方程可知，求出m的值，代入求解即可； （2）①根据根的判别式证明即可； ②根据根与系数的关系得到，，根据完全平方公式得到，可知的值． 【详解】（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程， 把代入，得， 解得， ∴该方程的解为；………………3分 （2）①证明：由题可得，，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根；………………6分 ②解：∵和是该方程的两个解， ∴，，………………8分 ∴， 所以．………………10分 13．（12分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)见详解 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）将，整理得 ，………………2分 ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根………………4分 （2）解：①把代入方程，得，………………6分 ．………………7分 ②将，整理得………………9分 ∵，是方程的两根， ，，………………10分 ∴， 所以代数式的最小值为0．………………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册 周测 周测02 一元二次方程根与系数的关系 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（25-26九年级上·广西桂林·阶段检测）已知是方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）已知，是方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，通过根与系数的关系求出和的值，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：A 3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）设一元二次方程的两个实根为和，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：是解题的关键． 直接应用一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理在初中教材中称为根与系数的关系）求解． 【详解】∵一元二次方程 中，，，， ∴根据根与系数关系，． 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）当，，时，若代数式的值为3，则代数式的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得． 【详解】解：∵一元二次方程为的两个根为， ， ∴ ， ∵代数式的值为3， ∴代数式的值为， 故选：B． 5．（2026·河北唐山·模拟预测）若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 【答案】D 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出m的值，再代入一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断各选项即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数 ∴ 将代入方程得 方程中，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根，A错误； 将代入方程，左边 ∴不是原方程的根，B错误； 对于一元二次方程，两根之和为 ∴两根之和为 ，C错误； 对于一元二次方程，两根之积为 ∴ 两根之积为 ，D正确． 6．（2026·山东济南·一模）若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的可能取值，再根据方程有两个实根要求判别式非负，筛选出符合条件的的值即可． 【详解】解：设方程两根为，， ∵方程两根互为相反数， ∴， 对于一元二次方程，由根与系数的关系得：， ∴， 解得：，即， ∵要使方程有两个实根， ∴判别式，即， 代入得：， ∴，即， ∵，， ∴． 7．（25-26九年级上·山东聊城·期末）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，A、B通过根的判别式进行判断，C、D结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵一元二次方程的各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故A错误，符合题意；B正确，不符合题意； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故C正确，不符合题意； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为， ∴方程有两个异号实数根，故D正确，不符合题意， 故选：A． 8．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）已知整式，其中为整数，与均为正整数，且，记，请选出正确的选项（     ） A．若，则满足条件的多项式一共有8个 B．当，且取最小值时，将全部符合条件的多项式相加，结果是单项式 C．有两个实数根为，若，则的最小值为8 D．以上选项均不正确 【答案】B 【分析】先根据题干给出的系数绝对值递增条件，结合整数性质，对每个选项逐一分析，分别计算验证，判断选项正误. 【详解】选项A：当时，为正整数， 时，满足条件的多项式共个； 时，满足且和为的绝对值组合共组，每组对应个多项式，共个； 时，最小系数绝对值和为， 不存在.总共有个满足条件的多项式，A错误. 选项B：当，取最小值时， 系数绝对值为从小到大排列的个最小正整数， 即， 仅最高次系数符号固定为正，其余系数每个都可取正负， 所有符合条件的多项式相加时，任意次数低于的项，系数正负个数相等，相加和为， 仅剩余最高次项，结果为单项式，B正确. 选项C：对于， 由， 整理得， 由， 得， 故， ∵判别式， 由得， 故，不存在两个实根，C错误. 选项D：∵B正确，故D错误. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（25-26九年级上·天津河东·期末）已知方程的两根分别为，，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：方程的两根分别为，， ． 故答案为： ． 10．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）关于x的方程的两根分别为、，则的值为________． 【答案】 3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据二次方程根与系数的关系求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． ∴． 故答案为3． 11．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，关键是利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再对所求代数式进行变形代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据韦达定理，得，； 将变形为，代入得； 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再通过恒等式 计算所求值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，， 根据根与系数的关系，有： ， ， 则， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知一元二次方程的两个实数根分别为、，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，根据根与系数的关系有：，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为、， ∴，， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到关于的方程组，求解得到的值后即可计算出的结果． 【详解】解：设方程的两根为， 由题意可知，方程的两根为， 根据一元二次方程根与系数的关系， 对可得，； 对可得，， 整理得，； 联立得方程组， 解得， 因此． 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15．（8分）（25-26九年级上·广东·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据根与系数的关系可得，则有，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，………………2分 解得：；………………4分 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，………………6分 解得：， ∵， ∴．………………8分 16．（8分）（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即．………………2分 解得．………………4分 （2）解：且， 即．………………6分 ， ．………………8分 17．（10分）（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】(1)实数的取值范围是 (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． （2） 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于的方程，求解后结合（1）中的范围筛选得到正确的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，………………2分 解得． 即实数的取值范围为．………………4分 （2）解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴， ，………………6分 又∵， ∴ ，解得，． ………………8分 由（1）知，故不符合要求舍去，因此．………………10分 18．（10分）（25-26八年级下·吉林长春·期末）在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算_，_； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)① ，；② (3) 【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k的取值范围； （2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果； （3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于的方程，求解后舍去不符合条件的解得到的值． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 的取值范围为；………………2分 （2）解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，，………………4分 ② ；………………6分 （3）解：方程有两个实数根， 判别式，………………7分 解得：， 由根与系数的关系得：、，………………8分 ， ， ， 整理得：，………………9分 解得：或， ， ．………………10分 19．（10分）（25-26八年级下·浙江台州·期末）对于代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于常数，则称为这个代数式的常定数．例如，对于代数式，当时，代数式的值为1，当时，代数式的值为1，所以0和2是这个代数式的常定数，当时，代数式的值为，不是恒定的常数，所以1不是这个代数式的常定数． (1)判断：__________（是或不是）代数式的常定数． (2)代数式是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由． (3)已知代数式，当分别为0和1时，代数式的值均为4，若存在两个常定数和，求的值． 【答案】(1)不是 (2)有常定数，常定数为和 (3) 【分析】（1）根据常定数的定义判断即可； （2）原式变形为，根据常定数的定义得出，解方程即可； （3）先根据当时，代数式的值为4，求出，代入并化简得，根据常定数的定义得出，化简后根据根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）解：当时，代数式的值为，不是恒定的常数， 所以不是这个代数式的常定数；………………2分 （2）解：有常定数，常定数为和 理由：若有常定数， 则，………………4分 解得或 故代数式有常定数，常定数为和；………………6分 （3）解：当时，代数式的值为4， ∴， ∴， ∴………………7分 ，………………8分 ∵存在两个常定数和， ∴，即，………………9分 ∴.………………10分 20．（12分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”；………………2分 （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，，………………4分 方程是“差根方程”， ，………………5分 ， 或， 解得：或；………………7分 （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ，………………8分 、是“差根方程”的两个实数根， ， ，………………9分 ， ， ， ，………………10分 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为．……………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $