河北省保定市博野县部分校2026-2027学年高二上学期9月联考数学试题（创新班）

高二数学参考答案及解析 CX01 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D D A C C B BC ACD ABC 1.A【解析】以(-1,2)为圆心，W3为半径的圆的方程为(x+1)2+(y一2)2=3.故选A 2.C【解析】方法1：因为a+1一a,-上-1 工1百斤文a2—a1=1—2，久3一2一23,24红3— 11 11 34,a,a会1≥2沙，以上各项相加得a,=1十3+子3+十1 =2 n-l n a≥2》.因为a:=1也适合上式所以a.=2-a∈N).所以a=2六器放选C 方法2：由aa十日十得+中=：十只，所以数列，十归为常数列，又a,=1,所以 a.+女-2.所以e十品-2，即a0-2-0-器放选C 3.D【解析】因为直线1：y=x十3被圆C:(x一2)2+(y一3)2=4截得的弦长为23，所以圆心C(2,3)到直线l 的距离4=4-65-1，所以2k-3+3-2=1,解得表-士号故远D √2+1R2+1 4D【解折】0=ON+0)=oi+号0心=是0i+A+o元=Oi+骨×号A店+ 20-0i+号o成-0)+20心-i+号o成+0d,所以0店-立+b+2放选n 5.A【解析】x2十y2+2y=0①，x2+y2十4x=0②，①-②得2y-4x=0,即圆P与圆Q的公共弦所在的 直线方程是y=2x,因为圆P的圆心为P(0,一1)，半径r1=1,所以圆心P到直线y=2x的距离为d= 后所以AB-2后-子=2-写-4，易知PQ⊥AB,PQ=5,则四边形PAQB的面积为 S-2引AB1·PQ-3×45×5=2故选A 6.C【解析】设由前l0项构成的等差数列的公差为d,从第9项起构成的等比数列的公比为q,由ag,a1o, 。皮等比数到可限a一会手-智-名智”-水得1或一又，浴各项约 a9 a6+3d 为整数，所以d=1,所以ag=a6十3d=-2十3=1，a10=a6十4d=2,所以g=20=2,所以am= n-8,n≤10， 2m9,n≥9， 所以a2=-6,a14=32,所以a2十a14=26.故选C. 7.C【解析】设|F1F2|=2c,因为3QF2|=4|PF2,所以可设|QF2|=4t(t>0),则|PF2|=3t,又因为 QF2⊥PF2,所以在直角△PQF2中，|PQ2=|PF212+|QF2|2=25t2,所以|PQ|=5t,由椭圆定义可知 |PF1=2a-3t,QF1=2a-4t,由|PF1l+|QF1=|PQ,即4a-7t=5t,解得a=3t,所以|PF1|= 2a-3t=3t=PF2,QF1=2a-4t=2t,又QF2|=4t,|PF2|=3t,|F1F2|=2c,在△PF1F2中，可得 高二数学参考答案第1页（共6页） ZPp1F2=S,在△QFE2中，由余弦定理，可得cos∠QFF2=2Ct,因为∠PF1F2+∠QF西 co8PFE+cos/QF F=0,即c3=0.解得c=3,又PF=1PF,3 2ct a=3t,所以椭圆离心率e=C-5. a=5故选C 8.B【解析】由题意知，a1十2a:十3a十…十u=1,即a1十2a十3a,十十a.=,所以当m≥2时， n a1十2a影十3a,+…十(n-1Da:1=n-1,两式相减得m,=1,即a,-(n≥2)，又因为a1=1满足上式， 所以a,∈N.所以aa十-（日-则工-1-号+台-号+号 ++日2-号(g1》所以2江，-2-（中+2号又 工，<受六(>0)对任意的a∈N恒成立，即2T,<及-士对任意m∈N恒成立，所以及->是，又 k>0,整理得(-2》e+号)≥0，解得k≥2，所以实数的最小值为2，故选B 9.BC【解析】由双曲线方程可知，a2=9,b2=27,所以a=3,b=3√3，c2=a2+b2=36,所以c=6,所以实 轴长为2a=6,虚轴长为2b=63,离心率e=。=2,故A错误，B,C正确：双曲线渐近线方程为y= ±√3x,所以两渐近线的倾斜角分别为60°，120°，所以两渐近线夹角为60°，又tan60°=√3，故D错误.故 选BC. 16AGD【解】对于A.因为-月2-专名-号8-8器所以a=a··名 al a2 a225-2X 202521 a2025 2026一2026=1013：所以A正确；对于B,因为a.=2”-,所以S.=a1十 a2++a.=2-1+2-2+…+2°-n=21+2+…+2-(1+2+…十m=21-2）_m十1)n= 1-2 2 2-2-（nn=2t-n++兰，所以B错误；对于Ca1a:aga,-十有当n≥2时，a1aa 1 2 2 1 -日4，。a暖--中6≥201-满是上式因底，为=1- 1 am-1= n+7(n∈ n 3an N,则数列a单调递增，所以C正确对于D,因为a+1二2a十所以1-2.十中1-1.1士 an+1 3an 3 an ”3 即61=，十号，所以61-1=日，-1D,又6：-1=-1=号所以数列6。一1)是以号为首项， 1 名为公比的等比数列，所以6,1-子·（传》广-号，所以么-子+1，所以工，- -》 十n=n十 1-<n+1,所以D正确放选ACD 11.ABC【解析】因为A1B=A言=DC=AC-AD,所以A1B与AD,AC共面，故选项A正确； 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系， 高二数学参考答案第2页（共6页） B x 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),AC1= (1,1,1),BD=(-1,1,0),BA1=(-1,0,1),CB1=(0,-1,1),CD=(-1,0,1),显然AC·BD=0, AC·BA=0,即AC⊥BD,AC⊥BA,所以向量AC是平面A,BD的法向量，同理AC是平面 B1CD1的法向量，而A1∈平面A1BD,A1平面B1CD1,因此平面A1BD∥平面B1CD1,由AM= aAB+bAD+cAA1,且a十b十c=1,得点M∈平面A1BD,则点M到平面B1CD1的距离等于点A1到 平面B,CD,的距离，所以三棱锥M-B,CD,的体积V-a=Vm=Ve-=日×2×1X1X 1 1-石故选项B正确：由题可知E1,）,F(分2)，A成=aA+hAd+AM=ab,c),成- (-仁0,2)，由EFLAM,.得成·A城i=-a+0Xb+分c=0,得a=c,放选项C正确：当a+6+ c=1时，AM=1,则点M在以A为球心，1为半径的球面上运动，而=√/（②）+()+1-5 √6 因此MF的最小值为g-1,故选项D错误.故选ABC 12.【答】 【解桥】由a:=号a1=1-1,得a,=1-1-1-2=1, an 号-3a,=1-=1-3=-2,4=1-1-1+ a2 13 3 2-2=01,可得数列{a}是周期为3的周期数列，又2026-3×675十1，因此a22s=Q1=2 16.【答案】盟 【解析】设此等差数列为{am},首项为a1,公差为d,由题可知a1十a2十a3十a4-3,a7十a8十ag-4,即 a+d=3,+2山=4，联立解得a1-品d-品所以S=0,+4=6×号+15X品-器 高二数学参考答案第3页（共6页） 14.【答案】(1，√2] (x-1)2+y2=r2, 【解析】联立 消去y,整理得(1-b2)x2-2x十1十b2-r2=0.(※) 若圆与椭圆有4个公共点，则方程（※）在（一1,1）上有两个不相等的实数根.令∫(x)=(1一b2)x2一 4=4-4(1-b2)[1十b2-x2]>0,① f(1)=-x2<0,② 2x+1+b2-r2(b>1),则有f(-1)=4-x2<0,③ 由②③可知r2>4.由①可知r2< -1K1-6<1.④ 6 6”-16>1),所以6”-1>4，即≠2.由④可知1-1>1，所以62<0（舍去）或2>2.因此，若圆与 裤圆有4个公英点，则6>2，即6>.放若圆红一1十y2=(,>0)与椭圆x2+茶-16>1D至多有 3个公共点，则必有1<b≤2， 15.【解】(1)因为直线1：ax-y+号-0与直线12：2x-2y-9=0平行， 所以号-二号+解得a-1 (5分) ,1 (2)由(1)知直线1：x一y+2=0,即2x-2y十1=0， (7分) 设直线l:2x-2y十m=0, (8分) 因为直线l到L1的距离与1到l2的距离相等，所以m一1=m十9 ,解得m=-4, (10分) √22+22√22+22 故直线1：2x一2y一4=0，即直线1的方程为x一y一2=0. (13分) 16.【解】(1)证明：由题意可得，当n=1时，a2=2a1十2=6， (1分) 当n≥2时，am+1=2Sn十2，an=2Sm-1十2，两式相减得am+1=3am, (3分) 当n=1时，a2=3a1=6,满足上式， (4分) 所以数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列， (6分) ②由1知a,=2X31,所以c-忍=m×(兮八， (7分) 所以T.=1×(g)'+2x(3)+3×(3)'++×(g)”,@ (9分) 所以号工.=1x(合》'+2x兮》'+3×（兮）》'++a-1x(得》广+mx(传)，@ (10分) @-@,得号r.=(传}'+（传）'+)++侵》”-x传)*=君2×传)”-×（传》"， (13分) 所以工.=-是×得”-多×）》--（经+）g”: (15分) 17.【解】解法1：折叠前，因为PA⊥AB,CDAB,所以PA⊥CD,所以PD⊥CD,AD⊥CD, (2分) 折叠后，PD⊥CD,AD⊥CD仍然成立， 高二数学参考答案第4页（共6页） 又因为二面角P-DCB为直二面角，所以PD⊥AD, (3分) 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, 由已知条件可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2), (4分) 则AB=(0,2,0),DB=(2,2,0),AP=(-2,0,2), (5分) 1因为P元=P吃，所以E0,,),D应-(o,音)， (6分) 设平面BDE的法向量为m=(x1,y1,之1)， m·DB=2x1十2y1=0, m·D成=导+-0， 令x1=1,则y1=一1，之1=1， 所以平面BDE的一个法向量为m=(1,一1,1)， (8分) 可得AP·m=-2×1+0×(-1)+2X1=0, (9分) 又因为AP中平面BDE,所以AP平面BDE. (10分) (2)因为E为PC的中点，所以E(0,2,1),BE=(-2,0,1), (11分) 设平面PAB的法向量为n=(x2,y2,之2)， n·AP=-2x2+2z2=0, 则 令之2=1，得x2=1,y2=0,所以n=(1,0,1), (13分) n·AB=2y2=0, 设直线BE与平面PAB所成角为O, 所以sin0=lcos,B21=BE·n_1 =√10 BE1n|√5X210 所以直线BE与平面PAB所成角的正弦值是罗 (15分) 解法2：(I)连接AC交BD于点F,连接EF, 因为CD=2AB,CD∥AB,所以CF=2AF, (2分) 由题意可知，PC=3PE,所以CE=2PE,所以AP∥EF, (4分) 又因为EFC平面BDE,AP中平面BDE,所以AP平面BDE. (5分) (2)同解法1. 18.【解析】(1)因为2an=am-1十an+1(n≥2)，所以数列{an}是等差数列. 设公差为d,则a,一a4=3d=6,所以d=2, (2分) 由题可知a4·a12=a号，即(a1+3d)(a1十11d)=(a1十6d)2,解得a1=3, (3分) 则数列{an}的通项公式为an=a1+(n一1)d=2n+1. (4分) (2)由题意可知，当2-1≤n≤2-1时，b≤(an)m,则ba≤a本1=2X2-1十1=2*+1， 即b6≤2+1，① (6分) 当2-1≤n≤2-1时，(an)mx≤b+1-2,则bs+1≥a,-1+2=2(2-1)+1+2=2+1+1, 高二数学参考答案第5页（共6页） 即b≥2+1(k≥2).② (9分) 由①②可得b=2十1(k≥2)，又b1=3满足上式，所以bn=2m十1，n∈N. (11分) (3)由(2)知nbn=n·2m十n, 所以S,=1×21+1+2×2+2+…+n…2+m=1×2+2×2+…十n·2+1+n)n 2 (13分) 设Tn=1×2+2×22+…十n·2”,则2Tn-1×22+2X23+…十n·2+1,两式作差可得 -T,=2+2++2-nX21-21-2）-nX21=-2+1-m)·21, 1-2 所以Tn=(n-1)·2+1+2, (15分) 所以S,=(n-1)·2+1+2+n1十n) (17分) 2 19.【解】(1)由题可知点M,N关于x轴对称，不妨设点M的坐标为(xo,23), 双线号名1的蒲近线方程为y一士2. 3x, 因为点M在双曲线的渐近线上，所以23。=23，解得=3，所以点M的坐标为3,23)，(2分》 又点M(3,2√3)在抛物线y2=2px上，所以12=2p×3,所以p=2,故抛物线的方程为y2=4x.(4分) (2)(i)设l:x=ty十m,代人抛物线C的方程y2=4x,并整理得 y2-4ty-4m=0,△=16t2+16m>0,即t2+m>0,y1+y2=4t,y1y2=-4m, (6分) 9 (y1-y2)2-16t2+16m,则|AB|2=(1+t2)(16t2+16m)=9,所以m 16(e2+1)-t, Q到y轴的距离d-1含2-台1+yg)+m=2+m=162+D+t=16+D++1D-1 9 9 2 9 用十：+1》-心当日仅当：=0时取等号，所以Q到y猎的距离的最个值为品 (10分) (i)证明：将l:y=nx-1(n∈N*)代入y2=4x,消去y,得n2x2-(2n+4)x+1=0. (11分) 则+-20兰44=1做+160， 因为FPA1+FB=(a十）+（十）=x十：十p, 所以a=tp是+2 (13分) 当时 (14分) 所以=a+++叶培<2++-…叶)=a+8是<3+8 即Sn<2n+8. (15分) 当n=1时，Sm=a1-2=6<2×1十8，满足上式. (16分) 所以Sn<2n十8成立. (17分) 高二数学参考答案第6页（共6页）绝密★启用前 高二数学 CX01 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.以（一1,2）为圆心，W3为半径的圆的方程为 A.(x+1)2+(y-2)2=3 B.(x+1)2+(y+2)2=3 C.(x-1)2+(y+2)2=3 D.(x+1)2+(y-2)2=√3 2.在数列{a}中，a1=1,a+1=a,十 1 n十1，则ao= A B.3 c碧 D.2 3.直线l:y=kx+3被圆C:(x一2)2+(y一3)2=4截得的弦长为2√3，则的值为 A司 B号 c n号 4.在三棱锥O-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,若点M在棱AB上，且AM=2MB,N是OM 中点，G是CN中点，则OG等于 A 1 6b+6c B 7 ,2 4a+38 1 1,,1 1 C.4a+6b+2c 1,,1 D.12a+66+2c 5.已知圆P:x2+y2+2y=0与圆Q:x2十y2十4x=0交于A,B两点，则四边形PAQB的面 积为 A.2 B.4 C.6 D.8 6.已知数列{an}的各项均为整数，a6=一2，a11=4,前10项依次成等差数列，从第9项起依次成 等比数列，则a2十a14= A.13 B.19 C.26 D.32 高二数学第1页（共4页） 7.已知椭圆C若+差-1a>6>0)的左右焦点分别为F,下，过日，作直线L与椭圆相交于 y2 P、Q两点，若QF。⊥PF2,且3QF,=4PF2|,则椭圆的离心率为 A号 B③ 3 C⑥ 5 8.定义P,=十2a:十3a十+a(n∈N)为数列{an)的“均匀平均值”.若数列(a,)的“均 n 匀平均值”为1，设数列aa,的前n项和为T.,且T,<盘-六(>0)对任意的a∈N恒 成立，则实数的最小值为 A.3 B.2 c D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知双曲线C:。二之2=1，则下列说法正确的是 A.双曲线实轴长为3 B.双曲线虚轴长为6√3 C.双曲线离心率为2 D,双曲线的两渐近线夹角的正切值为 3 10.已知数列(an),(仍n),记数列{an),bn)的前n项和分别为Sn,Tm,则下列说法正确的是 A若a1=2ahn并7a,则a3w=103 1 B若am=2”-n,则Sn=2+1_n2+n-4 2 1 C若a1aaa,一n市，则数列a,单调递增 3 3an D.若a=,a+12a.十bn=。,则Tm<n十1 11.已知正方体ABCD-A1B1C,D1的棱长为1，向量AM=aAB+bAD+cAA1,a,b,c∈ [0,1],E,F分别为平面BCCB1,平面A1B1C1D1的中心，则 A.A1B1与AD,AC共面 B当a+6十c=1时，三棱锥M-B,CD,的体积为后 C.当EF⊥AM时，a=c a2七6+c2时，MF的最小值 高二数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12,已知数列a,)满足a,一号a+1=1-1,则as= a 13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节 的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面6节的容积共 升. 14.若圆(x一1)°+y=(,>0与椭圆+片-1(6>1D至多有3个公共点，则6的取值范围 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知直线1：ax-y+号=0与直线122x-2y-9=0平行. (1)求a的值； (2)若直线1到11的距离与1到12的距离相等，求直线1的方程， 16.(本小题满分15分)已知数列{an)的前n项和为Sm,且am+1=2Sn十2，a1=2. (1)求证：数列{an}为等比数列； (2)设c.=3a 2n ，n∈N,求数列{cn}的前n项和Tn. 17.(本小题满分15分)如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PA⊥AB,CD∥AB, 且PA=CD=2AB=4.将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P-DC-B,连接PA、 PB,设点E是棱PC上的一点 (1)若PC=3PE,证明：AP∥平面BDE; (2)若E为PC的中点，求直线BE与平面PAB所成角的正弦值. 高二数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)已知数列(an}满足2an=an-1十an+1(n≥2)，a7一a4=6,a7是a4与a12的 等比中项 (1)求数列{a,}的通项公式： (2)若数列{bn}对任意的k∈N”,当2-1≤n≤2一1时，都有b≤an≤b+1一2成立，且b1=3, 求{b}的通项公式； (3)求{nbn}的前n项和Sn ,本小题满分17分)已知抛物线C:y=2z(>0)与双曲线。-21的渐近线在第一 象限的交点分别为M,N,且|MN|=4√3. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线1与抛物线C交于A(x1y1),B(x2,y2)两点，O为坐标原点，F为C的焦点. (1)若|AB|=3,且AB的中点为Q,求Q到y轴距离的最小值； (i若已知直线l:y=nx一1(n∈N),且FA+FB=a,设数列a。-名}的前n项和 为Sn,证明：Sn<2n+8. 高二数学第4页（共4页）