河北省石家庄市、张家口市部分学校2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

9月高二数学检测 参考答案 1.【答案】B 【解析】点(x,y,z)关于xOy平面对称时，x,y坐标不变，z坐标变号，因此点 (6,-7,8)关于xOy平面的对称点坐标为(6，-7，-8).故选B. 2.【答案】A 【解析】因为4，B,C三点共线，所以向量AB,4C共线，所以6-8，解得a=-4. _3a 故选A. 3.【答案】B 【解析】因为直线1与平面α平行，直线1的方向向量为s=(1,1-b),平面a的法 向量为n=(1,2,3),所以sn=1+2-3b=0,解得b=1.故选B 4.【答案】B BM 【解析】如图，连接AB,.因为BM:MC=1:2,所以B,M= A 5BC=3BC=5AC-A8),所以AM=AB+BM= 4-aB+ac-西-号4西+4c+4-a++6版选B 5.【答案】C 【解析】因为Rt△ABC的两直角边的长为6和8，所以斜边的长为10，所以外 接圆的半径为5.由Rt△ABC的三个顶点在半径为5的球面上，可知球心在平面 ABC上，所以球心到平面ABC的距离为O.故选C. 6.【答案】D D G 【解析】如图，取AB的中点N,CC的中点P,AD,的中点M, M 连接EN,NF,FP,PG,GM,ME,易知过E,F,G三点的截面为正六 边形NFPGM,其面积为5(N5x6=3N5故选D, 4 B 7.【答案】B 高二数学第1页共8页 【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系，则A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),D(0,0,2W2),M1,2,2V2), AM=（-1,2,2V2),DB=(2,2,0),DD=(0,0,2W2)设平面BDD,的法向量为 A-化，-小.则D丽=0即220可取1-L-10)设直线4M与平面 nDD=0,2V2z=0, BDn所成角为9，故im6-o(M,n AM.n 33v26 AM nl 13×√226 故选B 8.【答案】B 【解析】如图，以O,为坐标原点，OB,O,P,O,O所在直线分别 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(-5,0,0),B(5,0,0), C(0,3,-6),P(0,5,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则 (nAB=0,即 10x=0, 可取n=(0,2,1),故点P到平面 nAC=0,5x+3y-6z=0 ABC的距离为d= AP列_10 25故选B, 5 9.【答案】ABC 【解析】对于A,因为a=(1,2,-m),b=(-4,3,2),且a⊥b, 所以1×(-4)+2×3-2m=0,解得m=1,故A正确： 对于B,a=(1,2,-1),c=（4,0,-3),所以ac=1×4+2×0+(-1)×(-3)=7, 故B正确： 对于C,a=(1,2,-1),则3a=(3,6,-3)，又b=(-4,3,2), 所以3a-b=(7,3,-5)，故C正确； 对于D,a=(1,2-1),则1a5V1P+22+(-1)2=√6，又b+c=(0,3,-1), 则a(b+c)=1x0+2x3+(-)x(-1)=7,b+=V3+(-1)=10, 高二数学第2页共8页 所以cos(b+c,m)= (b+c).a 7 7V15 ,D错误故选ABC |b+cla|V10x√630 10.【答案】ABC 【解析】对于A,因为AA,AD,AC是三个不共面的向量，所以{AA,AD,AC 可构成空间向量中的一组基底，故A正确： 对于B,AC.BD=(AB+AD-AA)(AD-AB) =AB.AD-AB+Ad-AD.AB-A4·AD+AA·AB 方1+1-号+行0，放4CLD,设BF 对于C, 4C=(4+4B+AD=4+4B+4D+24AB+2AB.4D+244AD =111+3x2x6,则4C=6,故c正确： 对于D,如图，过点A作AE⊥平面ABCD,垂足为 D E,连接EB,ED,由∠AAB=∠AAD=60°，且 A AB=AD=AA=1,得△4BD为等边三角形，则 B AB=AD.因为AE⊥平面ABCD,所以AE⊥EB, AE⊥ED,由三角形全等可得EB=ED,故E在∠BAD的平分线AC上，因 此A4与平面ABCD所成角为∠AAC,由AC=AB+AD,得 ac=+a0+2460=11+2x1x1x=3,即4C=5.又 M44C=4AB+M4MD=1xI×2+1x1×2=1,所以 高二数学第3页共8页 cos∠A,AC= a4AG33,故直线4与平面ABCD所成角的余弦值 为 ,故D错误.故选ABC 3 11.【答案】AC 【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建 立空间直角坐标系， 则A(4,0,0),A(4,0,4),B(4,4,4),C1(0,4,4),D(0,0,4),E(0,0,1), 设F(a,4,b),0≤≤4,0≤b≤4，则AF=(a-4,4,b). 对于A,过点E作直线与AB平行，该直线与棱CC,交于点E,点E即为棱CC 上靠近点C的四等分点F,此时A,E,B,F四点共面，故A正确： 对于B,因为点F为正方形BB,CC的中心，所以F(2,4,2),则AF=(-2,4,2), 设平面BEC1的法向量为m=（x,y,z),则 m=0即4=0， m~B,E=0,-4x-4y-3:=0,可取 =(0,3,-4),所以AF.m=4≠0，故B错误； 对于C,点F到平面AA,D,D的距离恒为4，则V4-Dsr=V,ADg 3x21x44=8 11 为定值，故C正确： 对于D,因为E(0,0,1),F(a,4,b),所以EF=Va2+42+(b-1}=Na2+(b-1}+16, 又0≤a≤4,0≤b≤4，所以当a=4,b=4,即点F在点B,处时，线段EF的长度最 大为√41，故D错误.故选AC. 12.【答案】30° 【解析】如图，取AC的中点O,连接BO,过点O作OD∥CC, 因为△ABC为等边三角形，所以BO⊥AC.因为CC1⊥平面 ABC,即OD⊥平面ABC,所以OA,OB,OD相互垂直.以O为 B 坐标原点，OA,OB,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建 高二数学第4页共8页 立空间直角坐标系，则B(0,V3,0,C（-1,0,2√2)，D(0,0,2V2).因为OD∩AC=0, 所以B0⊥平面ACC,A,所以平面ACC4的一个法向量为n=(01,0)设直线 BC,与平面ACC4所成角为B,所以n8=os(BC,n BC列√51 BC.u 2W3×12' 所以直线BC,与平面ACCA所成角为30°， 13.【答案】36π 【解析】设球O的半径为r,因为球与圆柱的上、下底面和母线均相切，则圆柱 的底面圆半径为，圆柱的高为27，故22，-4-18元，解得r=3,故球0 3 的表面积为4r2=4元×32=36元 14【答案】-3}（第空3分，第空2分） 【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建 立空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),M(2,2,1),N(0,0,1),所以AM.C= AM.CN -3,所以异面直线AM与CN所成角的余弦值为 -3到 3 AMCN 5x5 5 15.(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.·······2分 因为AA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, 所以A4⊥BD.···························4分 因为AC∩AA=A,AC,AA1c平面ACCA, 所以BD⊥平面ACCA.··························6分 (2)解：以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建 立空间直角坐标系，则B(2,2,0),D(0,0,0),E(0,2,1),BE=（-2,0,1).·····8分 由(1)得，BD⊥平面ACCA, 所以平面ACCA的一个法向量为DB=(2,2,0),············10分 设直线BE与平面ACC,A所成角为日， 高二数学第5页共8页 BE·DB 所以sin0=os(⑧E,D= 上4√10 V5×255' 所以直线BE与平面ACC,A所成角的正弦值为1 ··········13分 5 16解：（1)以A为坐标原点，AB,AD,A4所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),4(0,0,2), AC=(（1,2,-2),BD=（1,2,0),·········· ·····4分 则异面直线4，C与BD所成角的余弦值为cas(4C,BD) AC.BD 3 AC BD 3×V55 ···7分 (2)因为4C=(（1,2,-2),·· ····9分 所以AC 认，2-2)是直线4C的一个单位向量··…··1分 又AB=(1,0,-2),··· ····13分 所以点A(2,0,2)到直线B,E的距离为 4 25 ···15分 17.(1)证明：如图，连接AC交BD于点O,连接OE D 因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点.·····2分 B 又因为点E为CC的中点，所以OE∥AC.·········4分 D 因为OEC平面BDE,AC,寸平面BDE, 所以AC1∥平面BDE.···· ···6分 (2)解：以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建 立空间直角坐标系，则 A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),E(0,2,1),AB=(0,2,0),BE=(-2,0,1),DB=(2,2,0) 高二数学第6页共8页 设平面BDE的法向量为=(x,为，)， 则 mD6=0即2x2y=0可取m=L-1,2.…10分 m·BE=0, -2x+21=0, 设平面ABE的法向量为n=(x2,y2,22), m:A5=0即2y=0, 则 可取n=(1,0,2).·········12分 n:BE=0,-2x+2=0, 设平面BDE与平面ABE所成角为O, 所以cos8=【 V30 mm6x√56 所以平面BD2与平面4BB夹角的余弦值为50...·15分 6 18.(1)证明：直三棱柱ABC-AB,C,中，A41⊥平面ABC,又AB⊥AC,所以 A41,AB,AC相互垂直. 以A为坐标原点，AB,AC,AA,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角 坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,2),B(2,0,2),C1(0,2,2), ··········4分 所以AD=(1,1,-2),BC=（-2,2,0), 所以4D·BC=0,所以AD⊥BC.···· ···········7分 (2)解：因为CE=CC1=22,所以E(0,2,22).··········9分 设平面AB,E的法向量为n=(x,y,2), nA8=0,即2x+25=0,可取n=元-1)12分 则 nAE=0,2y+22z=0, 设直线AC,与平面AB,E所成角为6， AC.n 故sin=cos(AC,n 2元-2 ACm2W2×√2+24’ ·········15分 高二数学第7页共8页 解得元=4-0或=40 3 3 (舍去)···············17分 19.(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.······1分 因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD······2分 因为AD∩PA=A,AD,PAC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD.··························4分 (2)解：因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD,所以AB,AD,AP相互垂直.············6分 以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角 坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)······8分 设M0小.因为册-，所以=历，即0-2)=02-2小， 所以M(0,22,2-22).··········· ·······…9分 设平面ABM的法向量为m=（x,y,2）, 则m6=0即2x=0, n4近=0,12元+(2-22)z=0,可取m=(0,元-L)…1分 设平面PBC的法向量为n=（a,b,c), 则 m-C=0即2b=0, 可取n=(1,0,1).··············13分 n.BP=0. -2a+2c=0, 因为平面ABM与平面PBC所成角为60°， 所以cos60=cos(m,- m-n V2-1)+22x 解得入= ··················15分 （3)解：由（2)每平4给法向显为m=Q-》, BC.m 所以点C到平面ABM的距离为d =2.···········17分 高二数学第8页共8页9月高二数学检测 考试说明：1.本试卷共150分。考试时间120分钟。 2.请将各题答案填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.在空间直角坐标系中，点(6，一7,8)关于xOy平面的对称点坐标为 A.(-6,7,-8)B.(6,-7,-8)C.(-6,7,8) D.(6,-7,8) 2.已知向量AB=(6,8,6),AC=(-3,a,-3),若A,B,C三点共线，则a= A.-4 B.4 C.±4 D.-2 3.在空间直角坐标系中，直线1的方向向量为s=(1,1,一b),平面α的一个法向量 为n=(1,2,3),若直线l与平面a平行，则b= A.-1 B.1 C.2 D.3 4.如图，在三棱柱ABC一A1B1C1中，点M在线段B1C1上，且B1M:MC1= 1:2.若AB=a,AC=b,AA1=c,则AM可表示为 BIM A. b十c 2 3a+3 B.a十g b+c 2 2 1 2. C.3a+3b+3c D.3a+3b+39 A 5.Rt△ABC的三个顶点在半径为5的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球 心到平面ABC的距离是 A.2 B.3 C.0 D.5 6.如图，在棱长为2的正方体ABCD一A1B,C1D1中，E,F,G分别为棱AA,, BC,D,C1的中点，则过E,F,G三点的截面的面积为 A.5 D G C B.2√5 A B ED C.3 D.3√3 7.在直四棱柱ABCD一A1B,C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱 AA1=2√2，点M为棱B,C1的中点，则直线AM与平面BDD1所成角的正弦 值为 A.3 B 3√26 3√13 2√26 D, 13 26 13 13 高二数学第1页共4页 8.某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为6，上底面的直径为10，已知 AB为上底面的直径，圆台的高h=6,点P是上底面圆周上一点，且AP= BP,PC是该圆台的一条母线，则点P到平面ABC的距离为 A.5 B.2√5 C.35 D.45 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知空间向量a=(1,2,一m),b=(-4,3,2),c=(4,0,一3)，若a⊥b,则 A.m=1 B.a·c=7 7 C.3a-b=(7,3,-5) D.cos(b+c,a)= 30 10.如图，平行六面体ABCD一A1B,C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1， 且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，下列说法中正确的是 A.{AA,AD,AC}可构成向量中的一组基底 B.A,C⊥BD B C.体对角线AC1的长为√6 D.直线AA,与平面ABCD所成角的余弦值为5 B 11.在棱长为4的正方体ABCD一AB,C1D1中，E为棱DD1上靠近D的四等分 点，F为正方形BB,C1C内一动点，则下列说法正确的是 A.A,E,B,F可能四点共面 B.若点F为正方形BB,C1C的中心，则AF∥平面B,EC1 C三棱锥A,一DEF的体积为定值 D.线段EF长度的最大值为4√3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在正三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2√2，底面三角形的边长为2，则 BC,与侧面ACC1A,所成的角是 13.圆柱内有一个球O,球与圆柱的上、下底面及母线均相切.若圆柱与球的体积 之差为18π，则球O的表面积为 14.已知在棱长为2的正方体ABCD一A1B,C1D1中，M,N分别为棱BB1,DD 的中点，则AM·CN= ,异面直线AM与CN所成角的余弦值为 高二数学第2页共4页 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图，正方体ABCD一A,B,C,D,的棱长为2，点E为棱CC1的中点. (1)证明：BD⊥平面ACC1A1; (2)求直线BE与平面ACC1A,所成角的正弦值. C B D 16.(本小题满分15分) 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,BC=2,AA1=2. (1)求异面直线A1C与BD所成角的余弦值； (2)求点B到直线A,C的距离. A B 17.(本小题满分15分) 如图，在棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点. (1)证明：直线AC1∥平面BDE; (2)求平面BDE与平面ABE夹角的余弦值. D A E D B 高二数学第3页共4页 18.(本小题满分17分) 如图，在直三棱柱ABC一A1B,C1中，AB⊥AC,且AB=AC=AA1=2. 点D为棱BC的中点，点E在线段CC1上，且CE=CC1(0<λ<1). (1)证明：A1D⊥BC; ②)若直线AC,与平面AB,E所成角的正弦值为2，求入的值 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，PA⊥平面 ABCD,且PA=2,点M在线段PD上，设pD=入(0<A< (1)证明：CD⊥平面PAD; (2)若平面ABM与平面PBC所成角为60°，求入的值； (3)在(2)的条件下，求点C到平面ABM的距离. 高二数学第4页共4页